高校工程数学复变函数教学课件

高校工程数学复变函数教学课件BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目录CONTENTS课程介绍与背景复变函数基本概念与性质解析函数与初等函数积分与路径无关性定理级数与留数定理保形映射与共形映射总结回顾与拓展延伸BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01课程介绍与背景03拓展学生的视野，了解复变函数在工程领域中的应用，培养学生的工程意识和实践能力。01培养学生掌握复变函数的基本理论和方法，理解复变函数的性质和应用。02提高学生的数学素养和抽象思维能力，为后续专业课程的学习打下坚实基础。复变函数课程的目的和意义电气工程在电路分析、电磁场理论等方面，复变函数提供了有效的数学工具。机械工程在振动分析、流体力学等领域，复变函数可用于解决复杂的数学问题。计算机科学在图像处理、信号处理等方面，复变函数具有重要的应用价值。工程数学中的复变函数应用0102复变函数的基本概念与性质包括复数、复平面、复变函数、极限与连续等概念。解析函数与初等函数包括解析函数的性质、初等函数的解析性及其性质等。复变函数的积分包括复积分的概念、性质与计算，柯西积分公式与解析函数的边值问题等。级数与留数包括复数项级数、幂级数、泰勒级数与洛朗级数，留数定理及其应用等。保形映射与共形映射包括保形映射的概念、性质与应用，共形映射的概念、性质与应用等。030405课程内容与结构安排BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02复变函数基本概念与性质形如$z=a+bi$（其中$a,b$为实数，$i$为虚数单位）的数称为复数。复数定义复数相等复数运算两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。包括复数的加法、减法、乘法和除法，运算规则与实数类似，但需注意虚数单位的特殊性。030201复数及其运算规则回顾复平面以实轴和虚轴为坐标轴组成的平面称为复平面，复平面上的点表示复数。极坐标表示法复数$z=a+bi$可用极坐标表示为$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r=|z|=sqrt{a^2+b^2}$，$theta=argz$为$z$的辐角。复平面与极坐标表示法复变函数定义设$D$是复平面上的一个区域，若对$D$内的每一个复数$z$，都有唯一确定的复数$w$与之对应，则称$w$是$z$的函数，记作$w=f(z)$。复变函数的性质包括连续性、可微性、解析性等。其中解析性是指函数在其定义域内处处可微，且满足柯西-黎曼方程。复变函数的定义及性质BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03解析函数与初等函数解析函数的零点孤立，且无穷远处也为孤立奇点。性质定义：若函数$f(z)$在区域$D$内的每一点都可微，则称$f(z)$在$D$内解析。解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。解析函数在其定义域内无穷次可微。解析函数的定义及性质0103020405多项式函数在其定义域内是解析的。多项式函数三角函数与指数函数在其定义域内也是解析的。三角函数与指数函数对数函数与幂函数在除去使其无定义的点外是解析的。对数函数与幂函数初等函数的解析性讨论幂函数图像根据指数的不同而有所变化，具有不同的单调性和凹凸性。对数函数图像为单调增的曲线，具有对数变换的性质。指数函数图像为单调增或减的曲线，具有无记忆性、可微性等性质。多项式函数图像为平面曲线，性质由多项式的次数和系数决定。三角函数图像为周期函数，具有周期性、奇偶性等性质。典型初等函数的图像与性质BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04积分与路径无关性定理复变函数的积分定义通过类比实变函数的积分，引入复变函数在某一曲线上的积分概念。积分存在条件分析复变函数在某一曲线上可积的条件，如函数在该曲线上的连续性等。积分性质探讨复变函数积分的性质，如线性性、可加性等。复变函数的积分概念引入柯西积分公式及其推论柯西积分公式介绍柯西积分公式的基本形式，该公式建立了复平面上某一闭曲线上的积分与函数在该闭曲线内部点的值之间的关系。推论及应用通过柯西积分公式，推导出一系列重要的推论和结论，如解析函数的平均值定理、莫雷拉定理等，并给出相应的应用举例。阐述路径无关性定理的内容，即如果函数在某区域内解析，则该函数在该区域内任意两点间的积分与路径无关。路径无关性定理通过具体实例，展示路径无关性定理在复变函数中的应用，如计算复变函数的原函数、证明某些复变函数的恒等式等。应用举例路径无关性定理及应用举例BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05级数与留数定理绝对收敛与条件收敛阐述复数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及它们之间的关系。收敛性判别法介绍复数项级数的收敛性判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等，并通过实例加以说明。复数项级数的定义与性质介绍复数项级数的概念，包括级数的部分和、收敛与发散等性质。复数项级数及其收敛性判别法幂级数的概念与性质幂级数展开与收敛域确定阐述幂级数的定义、性质以及收敛半径和收敛域的概念。常见函数的幂级数展开介绍常见函数（如指数函数、三角函数等）的幂级数展开式，并给出相应的推导过程。探讨幂级数在收敛域内的和函数、逐项求导与逐项积分等性质，并通过实例加以说明。幂级数在收敛域内的性质留数定理及其在计算中的应用介绍留数的定义及计算方法，包括可去奇点、极点与本性奇点的留数计算。留数定理及其应用阐述留数定理的内容，并探讨其在计算实积分、求解微分方程等方面的应用。通过实例详细展示留数定理在计算中的具体步骤和技巧。辐角原理与Rouche定理介绍辐角原理与Rouche定理的内容，并探讨它们在证明不等式、确定方程根的范围等方面的应用。通过实例加以说明。留数的概念与计算BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06保形映射与共形映射保形映射的定义及性质保形映射是一种在复平面上保持角度和定向的映射，即局部上可以通过解析函数实现的映射。定义保形映射具有保角性、保向性和共形不变性。其中，保角性指映射前后两曲线的夹角保持不变；保向性指映射前后两曲线的定向关系保持不变；共形不变性指映射前后两区域的形状相似。性质VS共形映射是一种在复平面上保持角度的映射，即局部上可以通过解析函数实现的映射，且该解析函数的导函数不为零。分类共形映射可分为线性共形映射和非线性共形映射。线性共形映射包括平移、旋转和相似变换等；非线性共形映射则包括幂函数、指数函数、对数函数等。概念共形映射的概念及分类幂函数幂函数是一种典型的非线性共形映射，其形式为$w=z^n$。幂函数在复平面上将原点映为自身，其他点则根据幂次$n$的不同而呈现出不同的映射特性。例如，当$n=2$时，幂函数将复平面上的单位圆映为实轴上的区间$[-1,1]$；当$n=3$时，幂函数将复平面上的单位圆映为一个三叶玫瑰线。指数函数指数函数是另一种典型的非线性共形映射，其形式为$w=e^z$。指数函数在复平面上将实轴映为射线$argw=0$，将虚轴映为单位圆$|w|=1$。此外，指数函数还具有周期性，周期为$2pii$。对数函数对数函数是幂函数和指数函数的反函数，其形式为$w=logz$。对数函数在复平面上将射线$argz=theta$映为直线$Imw=theta$，将圆环$|z|=r$映为平行于实轴的直线段$Rew=logr$。对数函数还具有多值性，即对于同一个$z$值，其对数值可以有多个不同的取值。典型共形映射举例与分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA07总结回顾与拓展延伸复变函数的定义与性质包括复变函数的定义、极限、连续、可导等概念，以及柯西-黎曼条件等重要性质。复变函数的积分包括复变函数的线积分、柯西积分公式与柯西积分定理等内容，以及其在解析函数中的应用。复数的表示与运算包括复数的代数形式、三角形式和指数形式，以及相应的运算法则和性质。课程重点内容总结回顾电气工程在电路分析中，利用复变函数可以方便地处理正弦交流电路的问题，如阻抗、导纳、功率因数等计算。机械工程在振动分析中，复变函数可用于描述简谐振动、阻尼振动和受迫振动等，进而求解系统的固有频率和响应等问题。航空航天工程在飞行器设计中，复变函数可用于分析机翼升力、阻力等气动性能，以及飞行器的稳定性和操纵性等。工程数学中复变函数的应用案例分享相关领域前沿动态介绍随着人工智能技术的不断发展，复变函数在