线性代数第2章矩阵及其运算自然科学

1/1线性代数第2章矩阵及其运算-自然科学

其次章矩阵及其运算

1

1

向前

向后

返回

第一章

矩阵

一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思索题

其次节矩阵及其运算2

向前

向后

返回

nnnnmmmnnm

axaxax

baxaxaxbaxaxaxb+++=??+++=??

??+++=?1111221121122222

11221.线性方程组的解取决于

,,,;,,,,ijaimjn==1212系数

,,,ibim=12常数项一、矩阵概念的引入

3

向前

向后

返回

nnmmmn

maaabaaabaaab????????????

11

12112122221

2

对线性方程组的讨论可转化为对这张表的讨论.

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开拓了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,假如从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.

A

B

C

D

4

向前

向后返回

四城市间的航班图状况常用表格来表示:

发站

到站A

BCDA

BCD

其中表示有航班.

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上

0,就得到一个数表:

5

向前

向后

返回

1111111

00

00这个数表反映了四城市间交通联接状况.

ABCD

ABCD

06

向前

向后

返回

二、矩阵的定义

由个数排成的行列的数表

nm×mnnjmiaij,,2,1;,,2,1==nnmmmn

aaaaaaaaa11121212221

2

称为矩阵.简称矩阵.nm×nm×记作

其次章矩阵及其运算

2

7

向前

向后

返回

??

?

??

?

?

?

??

??

??=mnmmnnaaaaaaaaaA11

22221

11211

简记为

.

ijnmijnmaaAA===××元

的

矩阵nmA,.

,简称为元的元素个数称为这Anm×元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.

主对角线副对角线8

向前向后返回例如???????10359643是一个实矩阵,

42×?

????

???

?

?2222222613i是一个复矩阵,33×????

??????421是一个矩阵,13×

9532是一个矩阵,

41×

4是一个矩阵.

11×9

向前

向后

返回

例如

????

??????2222222613i是一个3阶方阵.

几种特别矩阵

(2)只有一行的矩阵

,,,,21naaaA=称为行矩阵(或行向量).

(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作10

向前

向后

返回

,????

??=??????

naaBa12只有一列的矩阵

称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.

?????

?

?????

?

??nλλλ0000002

1（3）形如的方阵,OO不全为0

11

向前

向后

返回

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零

矩阵记作或.

nm×mnO×O留意.000000

00000000000000≠????

??

???????

?不同阶数的零矩阵是不相等的.

例如

记作

,,,.

nAdiagλλλΛ==1212

向前

向后

返回

(5)方阵

??

??????

??

??==10

001

000

1

nEE称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念

OO

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.

全为1

其次章矩阵及其运算

3

13向前向后返回2.两个矩阵为同型矩阵,并且

对应元素相等,即

ijijbBaA与=,

,,2,1;,,2,1njmibaijij===则称矩阵相等,记作BA与.

BA=例如?

??

????????????????

?9348314736521与为同型矩阵.

14

向前向后返回例1之个变量与个变量mnyyymxxxn,,,,,,2121间的关系式

??????

?+++=+++=+++=.

,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的

到变量表示一个从变量mnyyyxxx,,,,,,2121线性变换.

.

为常数其中ija15

向前

向后

返回

??????

?+++=+++=+++=.

,,

22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay?????

?

????

????=mn

mmnnaaaaaaaaaA

1

1

22221

11211

系数矩阵16

向前

向后

返回

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为???????===n

nxyxyxy,,2

211称之为恒等变换.

???????===n

nxyxyxy,,2211对应????

???

???????100010001单位阵.17向前向后返回线性变换??

?+=?=.

cossin,sincos11yxyyxx????对应

??

?

?

???????cossinsincosX

Y

O

θ

?

yxP,

111,yxP这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.

?18

向前向后返回例2设

,131

,

213321??

?

?

??=??????=zyxBA.,,,zyxBA求已知=解

,

BA=∵.

2,3,2===∴zyx

其次章矩阵及其运算

4

19向前向后返回三、小结

(1)矩阵的概念??

?

??

?

?

???

????=mnmmnnaaaaaaaaaA11

22221

11211列的一个数表

行nm20

向前向后返回(2)特别矩阵????

???方阵;

nm=行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;

零矩阵.

.

100

01000

1

???

?

?

??

?

????

??

,

21??????

?

???????=naaaB,,,,21naaaA=????????????

?

?nλλλ000000

2121向前向后返回思索题

矩阵与行列式的有何区分?

22

向前向后返回思索题解答

矩阵与行列式有本质的区分，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.

23

向前

向后

返回

其次节矩阵的运算

一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的其它运算五、小结、思索题

24

向前

向后

返回

１、定义

??????

?

???

??

??+++++++++=+mnmn

mmmmnnnnbababababababababaBA

221

12222

2221

211112

121111一、矩阵的加法

设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为

nm×,bB,aAijij==ABBA+

其次章矩阵及其运算

5

25

向前

向后

返回

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

例如??????????+????????????

1235189190654368321++?+????=+?++????+++??1213859169504336281.

??

??=???????

1311474468926

向前

向后

返回

2、矩阵加法的运算规律

;

1ABBA+=+.

2CBACBA++=++??

?

?

?

?

?

?????

???????????=?mnmmnnaaaaaaaaaA

1

1

222

21

112113,.

+?=?=+?AAOABAB4,

ija?=.

负矩阵的称为矩阵A27向前向后返回1、定义

.

1

1222

21112

11??

?

?

?

?

?

?????

??==mnmmnnaaa

aaaaaaAAλλλλλλλλλλλ

二、数与矩阵相乘

规定为或的乘积记作与矩阵数,λλλAAA28

向前向后返回;

λμλμμλ==AAA1;2AAAμλμλ+=+.

3BABAλλλ+=+2、数乘矩阵的运算规律

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线

性运算.

（设为矩阵，为数）

μλ,nm×BA、29

向前

向后

返回

１、定义

∑=+++==skkj

iksjisjijiijbabababac1

2211,

,,2,1;,2,1njmi==并把此乘积记作

.

ABC=三、矩阵与矩阵相乘

设是一个矩阵，

是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中

ijaA=sm×ijbB=ns×nm×ijcC=AB30

向前

向后

返回

例１

××?????

=????

???????C2222242412362

2×??????=16?32?816设

,

A?????=????????

101211300514?????

?=??

??????

B0

3

41213111

21例2

?

其次章矩阵及其运算

6

31

向前向后

返回

故

??????

??

??

?==?????

???????

?

???

CAB03

410121

2

11

1303

1105141

21.

?

????????

?=解,

43×=ijaA∵,

34×=ijbB.

33×=∴ijcC5?6710

26?2?171032

向前

向后

返回

留意只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.?????

?????

?

??

?

??106861985123321例如

???

?

??????123321132231×+×+×=.

10=不行乘.??

??=??????321231×××????×××????×××??313233212223111213????=?

????

?36924612333

向前

向后

返回

２、矩阵乘法的运算规律

;1BCACAB=,2ACABCBA+=+;

CABAACB+=+BABAABλλλ==3（其中为数）;

λ;

4AEAAE==若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且5nk

Ak

个

kk

AAAA=,AAAkmk

m+=.

mkk

mAA=

为正整数k,m34

向前

向后

返回

留意矩阵不满意交换律，即：

,BAAB≠.

BAABkkk≠例设??

=??

????A1111???=??

???

B1111则

,

0000??

?

???=AB,

??=??????

BA2222.

BAAB≠故35

向前

向后

返回

但也有例外，比如设

,

2023???

??

?=A,

???

=?????

B1111则有

.

BAAB=?,???=?????AB2222,???=?????

BA222236

向前

向后

返回

例3计算下列乘积：

解(1)

,

Tβα=×+×+×=111123323,,.TTnAAαβαβ??

????

===??????

??

??

111121

233设，令求nTn

TnT

Aαβαβαβ?∴==1,Tαβ??

??=?????

?1

12132

1233321.

TnTnAβααβ??==113

其次章矩阵及其运算

7

37

向前

向后

返回

??

?

?

????????????????3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb解,++ababab121222323??

?

?

?

?????321bbb.

2223223311321122

33322222111bbabbabbabababa+++++=??

?

?

????????????????321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb(,=++ababab111212313)++ababab131********

向前

向后

返回

解

????

?????

???????????=λλλλλλ0010

01

0010012A.0

0202322

2????

?????

?=λλλλ

λ.0

010

01

kAA求设???

?

????

?

?=λλ

λ例4

39向前向后返回????

?

?????????????

?

?==λλ

λ

λλλλ

λ0

10

01

020

1222

2

23AAA????

?

????

?=323

2

30

03033λλλλλλ由此归纳出

20

00

211

21

≥??????

?

??????

??=???kkkkkAk

kk

kkk

kλλλλλλ40

向前向后返回用数学归纳法证明当时，明显成立.

2=k假设时成立，则时，

nk=1+=nk,

00100100021121

1??????????????????

???

??

??==???+λλλλλλλλ

λnnnnnnnnnnnnAAA41

向前

向后

返回

所以对于任意的都有

k.0

00

21121

?

?????

?

??????

??=???kkk

kkkkkkkkAλλλλλ

λ,0

0102

111

1

11

????

?

?

???????

?+++=++?+nn

nnn

nnn

nnλ

λλλλλ42

向前

向后

返回

定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.ΤAAA例

,

854221??????=A;

825241?

????

???

??=TA,

618=B.

618??

?

???=TB１、转置矩阵

四、矩阵的其它运算

其次章矩阵及其运算

8

43

向前

向后

返回

转置矩阵的运算性质

;

1AAT

T=;2TTTBABA+=+;3TTAAλλ=.

4TTTABAB=44

向前

向后

返回

例5已知

,,???

?????==????????

??

AB171202323132201.

TAB求解法1

???

?????=????????

??

AB∵171202323132201,

???=????0143171310.

????

∴=???????

T

AB017141331045

向前

向后

返回

解法2

T

TTABAB=????????=??????????????142217*********.??

?

?=????

??

?017141331046

向前向后返回2、方阵的行列式

定义由阶方阵的元素所构成的行列式，

叫做方阵的行列式，记作或nAAA.

detA?

??

??

?=8632A例8

63

2=

A则.2?=运算性质;==T

T

AAA1;

2AAnλλ=

,==ABABBA3.

≠ABBA但47

向前

向后

返回

3、对称阵与伴随矩阵

定义

设为阶方阵，假如满意，即那么称为对称阵.

AnTAA=

n,,,j,iaajiij21==A.

A为对称阵例如???

?

??????=6010861612.

称为反对称的则矩阵假如AAAT?=对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

说明48

向前

向后

返回

例6

设列矩阵满意T

nxxxX,,,21=,

1=XXT.

,,2,EHHHXXEHnETT=?=且阵是对称矩

证明阶单位矩阵为证明T

TTXXEH2?=∵

T

T

TXXE2?=,

2HXXET=?=.是对称矩阵H∴2HHHT=

2

2TXXE?=TTTXXXXXXE44+?=T

TTXXXXXXE44+?=TTXXXXE44+?=.

E=

其次章矩阵及其运算

9

49

向前

向后

返回

例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明

T

AAC+=设T

TTAAC+=则AAT+=,C=所以C为对称矩阵.,

TAAB?=设T

TTAAB?=则AAT?=,

B?=所以B为反对称矩阵.22T

T

AAAAA?++=

,2

2B

C+=命题得证.

故50

向前

向后

返回

定义行列式的各个元素的代数余子式所

构成的如下矩阵

AijA???

??

?

?

???

????=?nnnn

nnAAAAAAAAAA2122212

12111性质.

EAAAAA==??证明

,ijaA=设,ijbAA=?

记则

jninjijiijAaAaAab+++=2211,

ijAδ=称为矩阵的伴随矩阵.

A

51

向前

向后

返回

4、共轭矩阵

定义

当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.

ijaA=ijaijaijaA=AA故ijAAAδ=?

ijAδ=.

EA=同理可得

*

=??

=????

∑nkikjkAAAa1ijAδ=ijAδ=.

EA=52

向前

向后

返回

;2AAλλ=.

3BAAB=运算性质

;1BABA+=+设为复矩阵，为复数,且都是可运算的:

BA,λ53

向前

向后

返回

五、小结

矩阵运算

?????????

加法

数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵

对称阵与伴随矩阵方阵的行列式

共轭矩阵

54

向前向后返回（2）只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满意交换律.

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能

进行加法运算.

留意

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.

其次章矩阵及其运算

10

55向前向后返回思索题

问等式阶方阵为与设,nBA

BABABA?+=?22成立的充要条件是什么?

56

向前向后返回思索题解答

答

,

22BABBAABABA??+=?+∵故成立的充要条件为

BABABA?+=?2

2.

BAAB=57

向前

向后

返回

第三节逆矩阵

一、概念的引入

二、逆矩阵的概念和性质三、逆矩阵的求法四、小结、思索题

58

向前

向后

返回

,

111==??aaaa,

11EAAAA==??则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.

A1

?A一、概念的引入

在数的运算中，当数时，0≠a有

aa11=?a其中为的倒数，a（或称的逆）；

在矩阵的运算中，E单位阵相当于数的乘法运算中

的1，A那么，对于矩阵，1?A假如存在一个矩阵,使得

59

向前

向后

返回

二、逆矩阵的概念和性质

定义

对于阶矩阵，假如有一个阶矩阵

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.

nA,B,

EBAAB==BAnA使得.

1?AA的逆矩阵记作例设,,

?????

==?????????

AB111212111212,

EBAAB==∵.

的一个逆矩阵是AB∴60

向前

向后

返回

说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.

AA若设和是的可逆矩阵，

B

CA则有

,

,

ECAACEBAAB====可得EBB=BCA=ABC=.CCE==所以的逆矩阵是唯一的,即

A.

1?==ACB

其次章矩阵及其运算

11

61

向前

向后

返回

例

设,01

12

??

?

?

???=A.的逆阵求A解设是的逆矩阵,??

?

?

??=dcba

BA则

?????????????=dcbaAB01

12?

?

?

???=1001???

?

??=?????

???++?100122badbca利用待定系数法

62

向前

向后

返回

??????

?=?=?=+=+?,1,0,02,12badbca,

,,.

=??=????

=??=?abcd0112又由于

???????2110???????0112=???????0112,1001???

???=所以

.

A????

=????

10112AB

A

B??????

?211063

向前

向后

返回

定理1

矩阵可逆的充要条件是，且

,

11??=AA

AA0≠A证明若可逆，A.EAAA=??11使即有,11

==??EA

A故.

0≠A所以.

的伴随矩阵为矩阵其中AA?64

向前

向后

返回

,

0时当≠A?????

???

?

????=

????

???

?

????

1112111

21121

222122221212

nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAAA

AaAaAann=+++1112121111A

AaAaAannnnnnnn=+++2211,??????

???????

?=AA

A

A

O

O

65

向前

向后

返回

EAAAAA==?

?

,

EAA

AAAA==??

?.1

A

AA?

?=按逆矩阵的定义得

证毕

.

,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当AAAA≠=奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

.

为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得AA66

向前

向后

返回

,

1==?EBA,

0≠A故,1存在因而?A于是

EBB=BAA1?=

ABA1?=证毕

.

,1?===ABEBAEAB则或若推论证明

.

,,11

11AAAA=???且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质

??==AEA11

其次章矩阵及其运算

12

67

向前

向后

返回

且

可逆则数可逆若,,0,2AAλλ≠且

亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3ABBA1

111????=ABBAABAB1?=AEA,

1

EAA==?.

111

???=∴ABAB证明

=?1ABB1?1

?A.

111??=AAλ

λ68

向前

向后

返回

T

T

TAAAA11??=∵TE=,E=.

11

T

TAA??=∴.,

,0,10k

kAAEAA??==≠定义

时当另外证明

为正整数k.

1

212??=AA推广

1AmA1?mA1?1A.

,,4AA

AAT=且亦可逆则可逆若TT

1

?1?则

.

kkAA??=1

69

向前

向后

返回

,,

AAA??=1

15若可逆则有证明E

AA=?1

∵1

1=∴?AA.

.下略因此1

1??=AA有

为整数时当,,,0μλ≠A,

μλμλ+=AAA.

λμμλAA=.

kkk

kkAA

AAA?????===1

1，

70

向前

向后

返回

例1

求方阵的逆矩阵.

???

?

?

?????=343122321A解==123

2212

343

∵A,≠0.

1存在?∴A,23

41

211==

A,33

31

212?=?

=A三、逆矩阵的求法

71

向前

向后

返回

同理可得

,

2,6,6,223222113=?===AAAA,2,5,4333231?==?=AAA,

??????=?????????

A264365222故

??=AA

A1

1?????=?????????264136

522

22.??

???=?????????

132********所以

72

向前

向后

返回

,

331212321?

????

????

?=A.

???

??=????????

B2311351511解

==??A123123

212034

133

1

例2下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求出其逆矩阵.

其次章矩阵及其运算

13

73

向前

向后

返回

,

??=??==≠123

34

0344010

010

.

A可逆所以,

3332

111?==A∵,

43

12212?=?=A,53

11

213==

A.

A,A,A,A,A,A341103333231232221?===?===同理可求得

74

向前向后返回?

?

??

??????==∴?

?3323133222123121111

1AAAAAAAAAAAAA.?????=?????????

33

114044513,

?=?=?B231

13501511

.

B不行逆故由于75

向前向后

返回

,1302

31

,3512,343122

321????

?

?????=???

???=????????

??=CBA例3设.

CAXBX=使满意求矩阵解,023

431223

21≠==A∵,013

51

2≠==

B.

,11都存在??∴BA76

向前

向后

返回

,???

???=?????????

A1

132********且,????=?????B13152CAXB=又由1111????=?CB

AAXB

BA.

11??=?CBAX于是1

1??=CBAX????????????=????

?????????????

???132133132352205211131E

77

向前

向后

返回

证明

,022

=??EAA由EEAA2=?得,0≠?AEE

AA

=??2

12

=??E

AA

.

,2,:

,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满意方程设方阵EAAEAAA+=??例4??

?????=????????????1131025202.

?????=????????

21104104.可逆故A1

?A

78

向前

向后

返回

022=??EAA又由0

432=+?+?EEAEAE

EAEA=??

?

?????+?3412.

EA可逆故2+EAEA34121

??=+?且.

4

3AE?=.2

1

1EAA?=

∴?1

2?+EA,134

1

2=??+?EAEA

其次章矩阵及其运算

14

79

向前

向后

返回

,,.ABEAEAEB?????????==+?+?????

??

?1112324567设求EBEEAEA?+=++?1

由，

)EAEBEAEAE++=++?=2得，

EBEA???

?????∴+=+=?????

??

?11121232

34解例5,,,.

AA

BAEBB?==+21

1设幂等阵，证明可逆并求,

ABEBEBEBBE=???=???=?22

32,

BBEEBEB???=??=?11

3232

解80

向前向后返回;

X??????????

=?????????????

1111232110204211015.X????????

??????

=???????????????????

1111114233110110015211321211;

X?????

=?

????????

153211414例6解矩阵方程

81向前

向后

返回

X?????????????

=???????

????????????

11

1515153214141414得???????????

?????=41231154.

642817???

???????=解

X?????

=?

???

?????

153211414给方程两端左乘矩阵,

????

?????1

1514X???????=?????????1

15321414E

82

向前

向后返回??????

????

=?????????????

X1111232110204211015???????

????=????

?????????

X1

123111************给方程两端右乘矩阵,????

????????

1

111110211得

83

向前

向后

返回

????????

??????

=???????????????????

X1111114233110110015211321211.???????????????=??=?????????????????????????1231212

952041112860151324149给方程两端左乘矩阵,????

??

??????

1

11111021184

向前

向后

返回

????????

??????=???????????????????????????

121423131111015121132211152.????

??=????????

137530952212112047??????

????

??????

=???????????????

????

X1

1

111423111110015110211211321得给方程两端右乘矩阵,????

???

?????1

111110321

其次章矩阵及其运算

15

85向前向后返回???

?

??????=+=?714121,61ABAABAA且o

o

.B求A

BABAA61=??ABAEA61=???E

BEA61=???.

61

1???=?EAB解

:

,满意关系设三阶矩阵BA例7，86

向前向后返回1

1000100017000400026???

?????????????????????????????=1

6000300016??????

???

??=????????

??=6100031000

16.100020006?

???

??????=

1

16???=EAB87向前向后返回,

0!5≠=A因由伴随矩阵法得,

1

AAA??=解

.

1

存在故?A,.AA???????

??=????

????11

00000

20000

030000

04

000005已知求例8

88

向前

向后

返回

???????

???????=?????

????????????2345

0000013450001

001245005!0

00123500

0001234.510

004100000310000021000001???????

????????

?=89向前向后返回

四、小结

逆矩阵的概念及运算性质..0≠A逆矩阵的计算方法

;

21

A

AA?

?=利用公式逆矩阵存在1?A?;1待定系数法.

3下一章介绍初等变换法90

向前

向后

返回

思索题

*******;,;.

nnkAkAAA

AnA

BBA??==≥=2

15627?

?,11??====BAYBYABAXBAXA是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解

那么矩阵方程可逆若1.2.证明方阵结论：**;;

nAAAAA

??==1

112****;;

AAAAAA??′′===1134

其次章矩阵及其运算

16

91向前

向后

返回

.,,

01013nmnmfxaaxaxxbbxbx?=+++=+++设.

AnfAAAfA??=为阶方阵，证明:.).

11

4kkAOEAA

EA??+++=?设=，证明:92

向前向后返回思索题解答

**.;

AAAAE

AAAAAAAEAAAA?????????==?==∴==11111111124答...

A?1

1是的这是由于的唯一性打算的..

klkllkklkllkaAbAabAbAaAfAAAfA??+==∴=3∵ii，.,.

kkkEAEAAEAEEAAEA????+++=?=∴+++=?1114∵93向前向后返回第四节矩阵分块法

一、矩阵的分块

二、分块矩阵的运算规章三、小结、思索题

94

向前向后返回一、矩阵的分块

对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，常常采纳分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.详细做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成很多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

AAA95向前向后返回,321??????????=

BBB??????

?

???

????=bbaaA1

10101000001例

??????

????

???

?=A001aba110000b110???

???????=1B2B3B即

96

向前向后返回?????

?

????

???

?=bbaa

A110101000001,??

=????

11

122122AAAA??

?

???=?????

?

????

???

?

=A1a11A0012A1

0010a

21Abb110022A即

其次章矩阵及其运算

17

97向前

向后返回,??=????1

1AOEB(,,,),ααα=124???

???????

???

?=bbaaA1

1

010*******?????

?

????

????=bbaaA1

10101000001,aAa??=????

1

10其中,

bBb??

=????

111.E??=????1001,O??

=????

0000,aα??????=??????1010其中,aα??????=??????2101,

bα????

??=??????

300

1.

bα??????=??????400198

向前

向后

返回

=(,,,),

nααα12列

nnmmmnaaaaaaAaaa??

??

?

?=??

??

??

1112121

22212nnmmmnaaaaaaAaaa?????

?=??????11

12121

2221

2=,TTTmβββ??

??

??????????

12

行99

向前

向后

返回

有

相同的分块法采纳

列数相同的行数相同与设矩阵,,,1BA.1

11111

11????

?

???

??++++=+srsrssrrBABABABABA

二、分块矩阵的运算规章

????

?

?????=??????????=srsrsrsrBBBBBAAAAA

1

1111111,那么

列数相同的行数相同与其中,,ijijBA100

向前向后返回.

λλλλλ??

??

=????

?

?rssrAAAAA1111(2)设为数，那么

???

?=??????

rssrAAAA

A1111

λ101向前

向后

返回

分块成

矩阵为矩阵为设,,3nlBlmA××,,1

111

1

111

????

?

?????=????

?

?????=trtrststBBBBBAAAAA

????

?

?????=srsrCCCCAB

1

111.

,,1;,,11

rjsiBACkj

t

kikij===

∑

=其中那么

的行数的列数分别等于其中,,,,,,,2121tjjjitiiBBBAAA102

向前向后返回,411?

?????????=srAAA设rA11sATsA1TrA1.11????

??????=TsrTT

AAA

则是方阵且非零子块都

其余子块都为零矩阵上有非零子块角线

的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设.

,,,5AnA

其次章矩阵及其运算

18

103向前

向后

返回

,21??????

????????=sAAAA

OO.

21sAAAA=分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

即

.

,,2,1对角矩阵为分块那么称都是方阵其中AsiAi

=104

向前向后返回并有

则若,0,,,2,10≠=≠AsiAi.21??????

?????

???=sAAAA

o

o

,62

1

??????

????

??

?

?=sAAAA

设o

o

1?1?1

?1?105向前

向后

返回

??????

???????

??????????????

?ssBBBAAA

000000

00000072121

.

0000002211??

?

?

?

?

?

???

??

??=ssBABABA106

向前

向后

返回

例1设

,

A??

??

?

?

=??

??

??

1

000010023102

301,

B??

??

?

?

=??

??

??

0001001001001000.

AB求解

分块成

把BA,????

??

????

???

?

=10

011

01A00

00232

3

,??

?

???=EEO1A107向前

向后

返回

B??

??

?

?=????

??

0001001001001000?

?

?

???=OB1B2O则E

OOBABAEBO????=?

???????

112OEBOO

BOEBABOBAB+????

==?

??

?++????

11211211108

向前向后返回OBABBAB??=?

???12

11又AB11??????

==?

???????????

230132231032，.??????=??????

0010

0100

1321

03

2于是

其次章矩阵及其运算

19

109

向前

向后

返回

,

100100000

001???

?

?

?

?

???

???

?=bbaaA设?????

???

????=bbaa

B1

00

000001000.

,ABABA+求例2

110

向前

向后返回

解分块

将BA,??????

?

???

???

?=bbaaA1

00100000001,0021???

???=

AA????

????

????=bbaaB1

00

000001000,0021????

??=BB其中

,011

??????=aaA;1

12??????=bbA,1

01??????=aa

B;1

02??

????=bbB其中111

向前

向后

返回

??

????+????

??=+21