新教材新高考2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练 第02讲 导数与函数的单调性 高频精讲（解析版）

第02讲导数与函数的单调性(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第02讲导数与函数的单调性(精讲） 1第一部分：知识点必背 24、含参问题讨论单调性 2第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 4高频考点二：已知函数在区间上单调 6高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间 8高频考点四：已知函数在区间上不单调 10高频考点五：已知函数的单调区间为（是） 12高频考点六：已知函数的单调区间的个数 13高频考点五：函数单调性的应用 15角度1：导函数与原函数图象的单调性 15角度2：比较大小 18角度3：构造函数解不等式 20高频考点六：含参问题讨论单调性 24角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 24角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 26角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 29第四部分：高考新题型 32①开放性试题 32第五部分：数学思想方法 33①分类讨论的思想 33②转化与化归思想 34温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）条件恒有结论函数在区间上可导在内单调递增在内单调递减在内是常数函数2、求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.（2）已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则（3）已知函数在区间上不单调，使得(其中是变号零点）4、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性第二部分：高考真题回归1．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；【答案】(1)(2)在上单调递增.【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.2．（2022·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；【答案】(1)的减区间为，增区间为.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.3．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；【答案】(1)的减区间为，增区间为.【详解】（1），当，；当，，故的减区间为，的增区间为.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）典型例题例题1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，时，，时，，所以的减区间是，增区间是；故选：A．例题2．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，函数定义域为，，令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：A.例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数的单调递增区间为__________.【答案】【详解】函数，则，令解得，当时,,函数单调递减，当时,,函数单调递增，当时,,函数单调递减，故答案为：.练透核心考点1．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，令，得或，又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，故选：C2．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是_______________.【答案】【详解】由题设，令，解得，因此，函数的单调递减区间是.故答案为：3．（2023·高三课时练习）写出函数的严格增区间：____________．【答案】，【详解】由题意，解得，，故函数的严格增区间为，.故答案为：，.高频考点二：已知函数在区间上单调典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故，所以，当时，导数不恒为0，故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，令，要满足①，或②，由①得：，由②得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D例题3．（2023·高二课时练习）若在上是减函数，则实数的取值范围是_________.【答案】【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立．，而在区间上单调递减，．选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D3．（2023·高二课时练习）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】由题意得在上恒成立，因此，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：.高频考点三：已知函数在区间上存在单调区间典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．例题2．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得：.因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在上有解，即在上有解.设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.所以.故选：D练透核心考点1．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，，由存在递减区间，即存在使，∴，可得或.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围.【答案】【详解】由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝，当时，f′(x)的最大值为令，得.所以，当时，f(x)在上存在单调递增区间．高频考点四：已知函数在区间上不单调典型例题例题1．（2023·高二课时练习）“当时，函数在区间上不是单调函数”为真命题的的一个取值是__________．【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）【详解】∵，∴，函数在区间上不是单调函数，∴在区间上有解,∵，∴,∴,故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是______.【答案】【详解】因为函数在上不单调所以必有解当只有一个解时，得出函数在上单调递增，与题干矛盾，故必有两个不等实根则，解得或故答案为练透核心考点1．（2023·高二课时练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．【答案】【详解】由，得，当在内为减函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，当在内为增函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，令，因为在内单调递增，在内单调递减，所以在内的值域为，所以或，所以函数在内单调时，a的取值范围是，故在上不单调时，实数a的取值范围是．故答案为：．2．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.【答案】(4，5)【详解】解：函数，，若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，由得，令，，，在递减，在递增，而，，，所以.故答案为：.高频考点五：已知函数的单调区间为（是）典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（

）.A． B．C． D．【答案】B【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意故选：B.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【详解】函数，则导数令，即，∵，的单调递减区间是，∴0，4是方程的两根，∴，，∴故选：B.例题3．（2023·高二课时练习）已知函数的单调递减区间是，则的值为______.【答案】【详解】由题设，，由单调递减区间是，∴的解集为，则是的解集，∴，可得，故.故答案为：练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10【答案】A【详解】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.故选：A．2．（2023·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．【答案】【详解】函数的定义域为，且，由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得.故答案为：.高频考点六：已知函数的单调区间的个数典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意，函数，可得，因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，则满足，解得或，即实数的取值范围是.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围为______．【答案】【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，例题3．（2023·全国·高三对口高考）设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．【答案】.【详解】由题可知的定义域为R，，若，则恒成立，此时在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符题意；若，由解得，由解得或，此时在上单调递增，在与上单调递减，共有三个单调区间，符合题意；所以a的取值范围是．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故选D．2．（2023·全国·高三专题练习）若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.高频考点五：函数单调性的应用角度1：导函数与原函数图象的单调性典型例题例题1．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数，当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.B选项中的图象满足题意.故选：B.例题2．（多选）（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象，因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确.对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，故B可能正确.对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确.对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.故选：ABC练透核心考点1．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C2．（2023·高二课时练习）设是函数的导函数，在同一个直角坐标系中，和的图象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对A，和可满足，故A可能成立；对B，和可满足，故B可能成立；对C，和可满足，故C可能成立；对D，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任一一个函数图象为导函数，则原函数的切线斜率应该恒非负或非正，故不满足，故D错误；故选：D角度2：比较大小典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【详解】由图像可知f(x)图像大致如下：由图可知f(a)>f(b)，f(b)<f(c)<f(d)<f(e)，故仅有D选项是正确的．故选：D．例题2．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由图象知，递减，即，但图象的切线斜率随着的增大而增大，导函数是递增的，因此．故选：A．练透核心考点1．（2023·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由函数的图象可知，当时，单调递增，所以，，，由此可知，在上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以单调递增，结合导数的几何意义，故，所以，故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.【答案】【详解】根据导数的几何意义，、、分别为处的切线斜率，又与处的切线单调递增，处的切线单调递减，且处的切线比处的切线更陡峭，∴，故最大为.故答案为：角度3：构造函数解不等式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】构造函数，在时恒成立，所以在时单调递增，所以，即，所以，故选:C.例题2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．【答案】或【详解】令，则，由当时，，所以当时，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，，即不等式等价为，所以，所以或.故答案为：或.例题3．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考期中）已知函数是其导函数，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，由得，所以.构造函数，，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以，即，故A错误；因为，所以，所以，即，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，所以，即，故D正确.故选：D练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】构造函数，，所以在上递增，，由于，根据的单调性解得，所以的解集.故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，因为，所以，即，设，所以，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以等价于，则，即，解得．所以不等式的解集是．故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（

）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）【答案】D【详解】设，（x＞0），则其导数，而当x＞0时，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）＝0，则0，所以区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，，且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0，综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）．故选：D.高频考点六：含参问题讨论单调性角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）典型例题例题1．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知函数，讨论函数的单调性；【答案】当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【详解】，，①当时，，函数在上单调递增；②当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减；在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)答案见解析.【详解】（1）当时，，定义域为，，所以切点为，又因为，所以，即切线的斜率等于2，根据点斜式得，整理得.（2）,当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，令即解得，令即解得，所以在单调递增，单调递减.例题3．（2023·全国·高二专题练习）设函数，求的单调区间．【答案】答案见解析【详解】的定义域为，．若，则，所以在上单调递增．若，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；【答案】答案见解析【详解】由题可得的定义域为，且，当时，成立，所以在上单调递增；当时，由，可得，所以在上为增函数；由，可得，所以在上为减函数.综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【详解】由，得，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数.当时，讨论函数的单调性；【答案】见解析【详解】由题知，函数的定义域为，所以求导得，若，由得或，由得，所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，若，由得或，由得，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.例题2．（2023·高二课时练习）已知函数．讨论的单调性；【答案】答案见解析【详解】定义域为R，．当时，则，在R上单调递增，当时，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；【答案】答案见解析【详解】函数定义域R，求导得，若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增；若，恒有.即在上单调递增；若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增，所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和；当时，函数在上单调递增；当时，函数的递减区间是，递增区间是和.练透核心考点1．（2023·高二课时练习）已知函数．求函数的单调区间；【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为则当，时，恒成立，所以单调递减；当时，令，解得或（舍去），令，，令，所以在上单调递减；上单调递增．综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性；【答案】答案见解析【详解】，当即时，或，故在和上单调递增，在上单调递减；当即时，，在上单调递增；当即时，或，故在和上单调递增，在上单调递减；综上可知：时，故在和上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在和上单调递增，在上单调递减；3．（2023·高二课时练习）已知函数，讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【详解】解：因为，所以若时，，在上单调递增；若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数，若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数.综上，时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型典型例题例题1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数.(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，当时，，，，即实数的取值范围为.（2）由题意得：，则；令，①当时，，在上单调递增；②当时，；若，即时，恒成立，恒成立，在上单调递增；若，即且时，令，解得：，；（i）若，则，则在上恒成立，恒成立，在上单调递增；（ii）若，则，当时，；当时，；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.例题2．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)当时，在是增函数；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.【详解】（1）由已知得函数的定义城为，．当且仅当时，等号成立，当时，恒有，所以在是增函数；当时，方程有两个不等的正根，，由，即，解得，或．由，即，解得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．综上，当时，在是增函数；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【详解】由，可知定义域，，令，则，①当时，，则成立，即成立，所以的单调增区间为；②当时，令，得，记，，当变化时，，的变化情况如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的增区间为，上单调递增，减区间为，综上，当时，的单调增区间为；当时，的增区间为，上单调递增，减区间为.2．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数