人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题2.1 相交线与平行线六类必考压轴题（原卷版+解析）

专题2.1相交线与平行线六类必考压轴题【人教版】1．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．2．（2023春·七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AO(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．(3)如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．3．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使∠BOE=40°，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=______；(2)如图3，当OD平分∠AOE时，求∠BOC的度数；(3)若OC在直线AB上方，∠BOC=α，请直接用含a的式子表示∠DOE．4．（2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则∠COE的度数=______；(2)如图2，若直角三角板∠DOE的边OE在∠BOC的内部．当OE平分∠BOC时，试判断OD平分∠AOC吗？并说明理由．(3)若∠AOD=4∠COE，求∠BOE的度数．5．（2022秋·七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．(1)当点P到达点B时，△ADE转动了°．(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=．(3)在运动过程中，当t＝时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为

．1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n=．7．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）.1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求4．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．1．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β间的数量关系．2．已知AB∥CD．(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC−∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=34．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．(1)试说明：∠BAG=∠BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．(1)当∠BFH=12∠BFN(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？专题2.1相交线与平行线六类必考压轴题【人教版】1．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF=90°−∠COE，可得∠EOF的度数；②先根据角平分线定义∠EOF=∠FOB，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=15°，∠BOE=120°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−120°−15°=45°，∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−45°=45°，∴∠EOF的度数为45°；②平分．理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠FOB+∠BOD=90°，∴∠COE=∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠COE=∠AOC，∴OC平分∠AOE．（2）如图，当点E，F在直线AB的同侧，设∠COE=α，∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°①，∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−2α−90°①×3＋②×2得，3∠AOC+2∠BOE=270°；如图，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α①，∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−90°−2α①＋②×2得，∠AOC+2∠BOE=270°．综上所述，∠BOE与∠AOC之间的数量关系：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．2．（2023春·七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AO(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．(3)如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．【分析】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝【详解】（1）解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝20°，∴∠EOC＝∠DOF（2）解：①∵∠AOC＝α，∴∠AOD＝180°－α，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－1∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13α，由题意得：∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝②观察①中结果可得：∠EOB＝23证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠（3）解：①当0°<∠AOC≤90°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠②当90°<∠AOC≤120°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠3．（2022秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使∠BOE=40°，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=______；(2)如图3，当OD平分∠AOE时，求∠BOC的度数；(3)若OC在直线AB上方，∠BOC=α，请直接用含a的式子表示∠DOE．【分析】（1）根据对顶角相等即可得到答案；（2）由∠BOE=40°的∠AOE=140°，由OD平分∠AOE时，得到∠AOD=70°，即可得到∠BOC的度数；（3）根据α的取值范围分三种情况讨论即可得到答案．【详解】（1）解：当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=∠BOE=40°，故答案为：40°；（2）∵∠BOE=40°，∴∠AOE=180°−∠BOE=140°，∵OD平分∠AOE时，，∴∠AOD=12∠AOE=70°（3）当90°≤α<180°时，∠BOD=α−90°，如图①，∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=α−90°+40°=α−50°，当50°≤α<90°时，∠BOD=90°−α，如图②，∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=40°−90°−α当0°<α<50°时，∠BOD=90°−α，如图③，∴∠DOE=∠BOD−∠BOE=90°−α4．（2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则∠COE的度数=______；(2)如图2，若直角三角板∠DOE的边OE在∠BOC的内部．当OE平分∠BOC时，试判断OD平分∠AOC吗？并说明理由．(3)若∠AOD=4∠COE，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据直角三角形的直角可知∠COE=∠BOE−∠BOC求解即可得到结果；（2）根据角平分线的定义可以求得∠COE的度数，进而求出∠COD的度数，得到∠AOD=∠COD最后得到结论．（3）根据题意分情况讨论，再根据邻补角，余角互余即可得到结果．【详解】（1）解：∵∠BOC=30°，∠DOE=90°，∴∠BOE=90°，∴∠COE=∠BOE−∠BOC=60°故答案为：60°（2）解：∵∠BOC=30°，OE平分∠BOC∴∠COE=∵∠DOE=90°∴∠COD=∠DOE−∠COE=90°−15°=75°∵∠AOB=180°∴∠AOD=180°−∠COD−∠BOC=75°∴∠AOD=∠COD=75°∴OD平分∠AOC（3）解：如图第一种情况，当OE在∠BOC的内部时，设∠COE=x∵∠AOD=4∠COE，∠DOE=90°∴∠AOD=4x，∠COD=90°−x∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−30°=150°∴可得方程：4x+90°−x=150°，解得：x=20°∴∠BOE=30°−20°=10°第二种情况，当OE在∠BOC的外部时，设∠COE=x，则∠COD=90°+x∴∠AOC=∠COE+∠DOE+∠AOD∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−30°=150°∵∠AOD=4∠COE，∠DOE=90°∴可得方程：4x+90°+x=150°，解得：x=12°∴∠BOE=∠BOC综上所述，∠BOE的度数为10°或42°5．（2022秋·七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．(1)当点P到达点B时，△ADE转动了°．(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=．(3)在运动过程中，当t＝时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为

．【分析】（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解；（2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间；（3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可；（4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可．【详解】（1）解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s），此时∠FAE=3°×80=240°，故答案为：240；（2）解：当0＜t＜60时，点P在AB上，由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°，若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°，∴t=30°÷3°=10（s），故答案为：10；（3）解：根据题意可知，∠EAD=45°，若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况：①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1，此时∠EAD=∠BAD=45°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°，此时t=60°÷3°=20（s）；②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2，此时∠EAB=∠DAB=22.5°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°，∴t=137.5°÷3°=42.5（s）；③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3，此时∠DAE=∠BAE=45°，∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°，∴t=（180°+15°）÷3°=65（s），故答案为：20或42.5或65．（4）解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2，即40＜t＜100，∴120°＜∠FAE＜300°，根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况：①边DE⊥AB时，如图4，此时∠EAF=150°，∴t=150°÷3°=50（s）；②边AD⊥AB时，如图5，此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°，∴t=195°÷3°=65（s）；③边AE⊥AB时，如图6，此时，旋转角度为：150°+90°=240°，∴t=240°÷3°=80（s），∴50+65+80=195（s），故答案为：195．1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．【分析】（1）如图，过E作MN∥CD，根据平行公理得AB∥CD∥MN，根据平行线的性质得∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，对角进行加减运算即可求；（2）根据垂直和周角的概念可得∠MEG+∠FEH=180°，根据平行线的性质得∠FEH=∠HNP，根据邻补角得∠HNQ+∠HNP=180°，然后等量代换即可求得结果；（3）结合已知求得∠EGC=70°由（1）可知，∠EMF+110°=∠MEG，结合已知和邻补角得∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）的结论得∠EMF+110°=180°−∠EMF求出∠EMF=35°，最后根据三角形内角和求出∠MFE=55°依据PQ∥EF，AB∥CD利用平行线的性质即可求解．【详解】（1）如图，过E作MN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，∴∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，∴∠AFE+∠CGE=∠FEN+∠NEG=∠FEN，即∠AFE+∠CGE=∠FEN；（2）证明：∵EM⊥EF、EH⊥EG，∴∠MEF=∠HEG=90°，∴∠MEG+∠FEH=360°−∠MEF+∠HEG∵PQ∥EF，∴∠FEH=∠HNP，∵∠HNQ+∠HNP=180°，∴∠HNQ+∠FEH=180°，∴∠HNQ=∠MEG；（3）∵∠EGD=110°，由（1）可知，∠EMF+∠EGD=∠MEG，∴∠EMF+110°=∠MEG，∵∠HNQ=180°−∠ENQ，∠ENQ=∠EMF，∴∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）可知∠HNQ=∠MEG，∴∠EMF+110°=180°−∠EMF，解得：∠EMF=35°，∴∠MFE=180°−∠MEF−∠EMF=180°−90°−35°=55°，∵PQ∥EF，∴∠MPQ=∠MFE=55°，∵AB∥CD，∴∠CQP=180°−∠MPQ=180°−55°=125°．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求【分析】（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE=∠PEM，EM∥（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF=∠PFQ，根据角平分线的定义得出∠BPF=1（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE=220°−∠BPE，同（1）【详解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下，如图所示，过点E作EM∥∴∠BPE=∠PEM，∵AB∥CD∴EM∥∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE，即∠PEQ=∠BPE+∠DQE，（2）∠PFQ=1∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴由（1）可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF=∠PFQ，∴∠PFQ=1即∠PFQ=1（3）解：如图，过点E作EN∥∴∠PEN=∠BPE，∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=1∵∠FQD=∠CQH=12∠CQE，∵AB∥CD，AB∴∠CQE=180°−∠NEQ=180°−∠PEN−∠PEQ由（1）可得∠F=∠BPF+∠FQD==110°．3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；（2）如图所示（见详解），过点N作NR∥CD，根据平行性的性质，可求得∠ENF+∠FNR=∠HPN，由此即可求解；（3）设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得∠AEF=2α+6，由此即可求解．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥（2）证明：如图所示，过点N作NR∥CD，∴∠NFH=∠FNR，∵AB∥CD，∴∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN−∠NFH．（3）解：如图所示，设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，∵AB∥CD，∴∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，∴∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，∴∠BEN=1∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∴∠DFM=90°−∠EFD=90°−(2α+6)=84°−2α，∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°−α∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°−α+3α=42°+2α，∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°−α=42°+2α，∴∴∠AEF=2α+6=36°，故∠AEF的度数为36°．4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含【分析】（1）过点E作EE′∥AB，根据题意和平行线的判定得EE′∥（2）根据题意得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，根据平行线的性质得∠QEN=∠ENP=1（3）根据题意得∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，根据EH∥MN得∠HEM=∠EMN=1m∠AMN【详解】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，证明如下：证明：如图1所示，过点E作EE∵AB∥CD，∴EE′∥∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；（2）解：∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，∴∠NEF=12∠MEN∵EQ∥NP，∴∵∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN−∠ENC=∠AME=30°，∴∠FEQ=∠NEF−∠NEQ=12∠MEN−12∠ENC（3）∠GEK+∠BMN−m∠GEH=180°，证明如下：证明：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，∴∠ENM=1m∠AMN∵EH∥MN，∴∵∠GEH=∠GEM−∠HEM=1m∠GEK−1∵∠AMN=180°−∠BMN，∴m∠GEH=∠GEK−(180°−∠BMN)，∴∠BMN+∠GEK−m∠GEH=180°．5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解；（2）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12（3）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12（1）解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；故答案为：25°（2）过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝α°，∴∠PNC＝12180°−α°＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12α°）＝即∠AMP＝12（3）过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND）＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12∠QND）＝即∠QND＝2∠AMP．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n=．【分析】（1）过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE=180°，两式相减可得答案；（2）由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α−180°−2β（3）由题意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，通过化简可得答案．（1）证明：如图，过点P作PM∥AB，∴∠PEB+∠MPE=180°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠C+∠CPM=180°，即∠C+∠CPE+∠MPE=180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；（2）解：由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠Q=180°−α−β，∴∠P+2∠Q=2α+2β−180°+2180°−α−β即∠P+2∠Q=180°（3）解：n=1如图，过点P作PQ∥AB，过点G作GN∥CD，则PQ∥CD，GN∥CD，∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)=180°+∠DCN-(∠PCD+∠CPN)=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°-∠PCN-∠CPN，∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，同理∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）∠CPN+(n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，∴∠PEA=180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，故答案为17．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）.【分析】（1）如图1中，作EH∥PQ．利用平行线的性质和判定求解即可．（2）①利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．（1）如图1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．（2）①如图2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=12∠MBC∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=12∠PDA∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．②如图3中，∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=12∠ADQ=12n°，∴∠PDE=180°-1∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-12n°+40°=220°-12故答案为220°-12n

1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B=（2）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B+（3）延长BF和反向延长CD相交于点G，由平行线的性质可得∠ABF=∠G，进而可得∠【详解】（1）解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∵∠BED=∴∠BED＝（2）证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B+∵∠BED=∴∠B+（3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠ABF=∵∠ABF=∴∠G=∴BG∥CE，∴∠BFE=2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．【分析】对于（1），作PE∥AB，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°，即可求∠APC；对于（2），作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；对于（3），作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB//CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠PCE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为：110°；（2）过点P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥∴EF∥∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．如图，过点P作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF-∠APD，∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．（1）如图1，过点P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPQ＝∠C（两直线平行，内错角相等）∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C（2）如图2，过点P作PE∥AB，∴∠APE+∠A＝180°，∠A＝120°，∴∠APE＝60°，∵PE∥AB，AB∥CD．∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPE+∠C＝180°，∠C＝140°，∴∠CPE＝40°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°；（3）如图3，过点P作PF∥AB，∴∠APF＝∠A，∵PF∥AB，AB∥CD．∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠C∴∠CPF﹣∠APF＝∠C﹣∠A即∠APC＝∠C﹣∠A＝30°；（4）如图4，过点P作PG∥AB，∴∠APG+∠A＝180°，∴∠APG＝180°﹣∠A∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPG+∠C＝180°，∴∠CPG＝180°﹣∠C∴∠APC＝∠CPG﹣∠APG＝∠A﹣∠C．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；（2）过C作CF∥（3）①过E作EG∥AB，利用角平分线的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝【详解】（1）解：∵ED∥∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（两直线平行，内错角相等）；故答案为：∠EAB；∠DAC（2）解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB=180°，∴∴∠B+∠BCD+∠D=360°；（3）解：①过E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝12∠ADC＝∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝②过E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB=180°，∴∴∠BED＝1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据角的和差得到∠PFD=∠FPQ，即可判定AB∥CD；（2）∠EPF=2∠PEG−∠DGE+180°，过点P作PT∥AB，则PT∥AB∥CD，根据平行线的性质及平角的定义求解即可；（3）过点M作MH∥AB，过点N作NI∥CD，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】（1）证明：如图1，过点P作PQ∥AB，∴∠BEP=∠EPQ，∵∠EPF＝∠PEB+∠PFD，∠EPF=∠EPQ+∠FPQ，∴又PQ∥AB，∴AB∥CD；（2）解：∠EPF=2∠PEG−∠DGE+180°，理由如下：如图2，过点P作PT∥AB，则PT∥AB∥CD，设∠FGP=∠EGP=x，∠PEG=∠PFG=y，∵AB∥CD，∴∵PT∥AB，∴∠EPT=∠BEP=∠PEG+∠BEG=2x+y，∵PI∥CD，∴∠FPT=∠PFG=y，∴∠EPF=∠EPT+FPT=2x+y+y=2x+2y，∵x=12×即∠EPF=2∠PEG−∠DGE+180°；（3）如图3，过点M作MH∥AB，过点N作NI∥CD，∵AB∥CD，∴MH∥AB∥NI∥CD，∠EPF=∠PEB+∠PFD，∴∠HMN=∠INM，设∠BEG=x，∠CFK=y，∵∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，即y−xn+1∵∠FMN=y−β，∠ENM=x−β，即y−x=25°②，由①②得，n=2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN=30°+α，（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN=∠TEN−∠TEM=90°−1【详解】（1）解：如图1，过G作GH∥∵AB∥CD，∴∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；（2）解：如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥∵GK∥AB，AB∥CD，∴∵GK∥AB，∠BMG=30°，∴∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP=∠BMG=30°，∴∠BMP=60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ=∠BMP=60°，∵ND平分∠GNP，∴∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN=∠DNP=α，∴∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°−α=90°；（3）解：如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME=∠BMA=∠BMG=x，∴∵GK∥AB，∴∠MGK=∠BMG=x，∵ET∥∵GK∥AB∥CD，∴∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG=180°−y，∠CNE=1∵ET∥AB∥∴∠MEN=∠TEN−∠TEM=90°−12y−2x∵2∠MEN+∠MGN=120°，∴2(90°−12y−2x)+x+y=120°，∴x=20°3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求【分析】（1）只需要证明∠AGE=∠CHE即可证明AB∥CD；（2）先由平行线的性质得到∠AGH=∠DHG，进而证明∠QHG=∠NGH，即可证明GN∥（3）如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，先证明∠HNG=x+36°，再由平行线的性质得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN+x+6°=x+36°，则∠VGN=30°，∠GNI=30°，进而求出∠KVN=66°，则∠QHN=132°，根据平行线的性质求出∠GNH=48°，从而求出∠VNP=12°，再由NP平分∠VNM，得到∠PNM=∠VNP=12°，最后根据VP∥MN，即可得到∠VPN=∠PNM=12°．【详解】（1）证明：∵∠AGE=∠FHD，∠CHE=∠FHD，∴∠AGE=∠CHE，∴（2）证明：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵∠AGN=∠QHD，∴∠AGN−∠AGH=∠QHD−∠DHG，∴∠QHG=∠NGH，∴GN∥（3）解：如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，∵∠HNK=2∠GNK，∴∠HNG=∠GNK=∠VNP+∠GNV=x+36°，∵AB∥CD∥IL，∴∠VGN=∠GNI，∠DHN=∠INH∴∵∠NHD=∠VNK+6°，∴∠VGN+x+6°=x+36°，∴∠VGN=30°，∴∠GNI=30°，∴∠KVN=∠VNI=∠GNI+∠GNV=66°，∴∠QHN=2∠KVN=132°，∵GN∥QH，∴∠GNH=180°−∠QHN=48°，∴x+36°=48°，∴x=12°，∴∠VNP=12°，∵NP平分∠VNM，∴∠PNM=∠VNP=12°，∵VP∥MN，∴∠VPN=∠PNM=12°．4．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根据∠BED＝∠BEF+∠DEF证明即可；（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G，利用平行线的性质求出∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根据∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF证明即可；（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程求出x＋y可得结论．（1）解：如图②中，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．∵DE∥FG，∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∵AB∥CG，∴∠G＝∠ABF，∴∠EDC＝∠ABF，∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；（3）如图④中，∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，∵∠CED＝3∠F，∴∠CED＝3x+3y，∵AB∥CD，∴∠BED＝∠CDE＝2y，∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∴5x+5y＝180°，∴x+y＝36°，∴∠F＝36°．5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．【分析】（1）过点E作直线EN∥AB，得到EN∥CD，根据两直线平行内错角相等推出∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN即可；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．（1）解：如图1，过点E作直线EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，∴∠BAH=∠EAH=45°−x，如图2，过点H作l∥∴l∥AB∥②∠AHF=90°+12∠AEC②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，过点H作l∥AB，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∴∠AHF=90°+（x+y），∴∠AHF=90°+12∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质证明即可；（2）①利用（1）中结论求解即可；②结论：n＝180−2m，过点I作IJ∥AB，设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．利用（1）中结论求解即可．（1）证明：过点E作MN∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠APE=∠PEN，∠CQE=∠NEQ，∴∠PEQ=∠PEN+∠NEQ=∠APE+∠CQE．（2）解：①∵∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H，∴∠APH=12∠APE∵FG由EQ平移而来，∴FG∥EQ，∴∠CGF=∠CQE，由（1）可知，∠APE+∠CQE=∠E=90°，∴∠H=∠APH+∠CGH=②n=180−2m．理由如下：过点I作IJ∥AB，如图所示：设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．∵AB∥CD，∴IJ∥CD，同法可证∠H＝∠CGH＋∠JIH，∵∠BPI＝∠PIJ，∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，∵∠PIH−∠H＝m°，∴∠BPI＋∠JIH−（∠CGH＋∠JIH）＝m°，∴12（180°−x°）−12y°＝∴90°−12（x＋y）°＝m°，∴90°−12n°＝m°，即1．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、