陕西省西安市重点中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（含解析）

-2024学年陕西省西安重点中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x29−yA.3 B.3 C.4 D.2.已知数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为SnA.350 B.700 C.1752 D.3.下列命题：①y=ln2，则y′=12；②y=cosx，则y′=sinx；③y=e2x，则y′=e2x；④y=2sinxcosxA.0 B.1 C.2 D.34.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，A.25 B.35 C.235.已知点A(2,2)，B(−2,−1)，若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的l有条(

)A.1 B.2 C.3 D.46.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+dA.23

B.43

C.83

7.已知定义在R上的函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)满足：对任意x∈R都有f(x)<f′(x)，则下列各式恒成立的是(

)A.f(1)<e⋅f(0)，f(2023)<e2023⋅f(0)

B.f(1)>e⋅f(0)，f(2023)>e20238.定义域为R的函数y=f(x)，若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(A.①② B.③④ C.②③ D.①②③二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于直线l1：ax+2y+3a=0和直线l2：3x+(a−1)y+3−a=0.以下说法正确的有(

)A.直线l2一定过定点(−23,1) B.若l1⊥l2，则a=25

C.l10.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，DA.直线DC1与BC所成角为90°

B.三棱锥D−BCC1的体积为13

C.二面角A1−BD−C1

11.函数f(x)=x2ex在区间(k,k+32A.−3 B.−2 C.−1 D.012.已知Sn是数列{an}的前n项和，SA.若{an}是等差数列，则S12=48S4 B.若{an}是等比数列，则S12=273S4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.直线y=2x+1的一个法向量n=______．14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1+k15.设数列{an}满足a1=2，a2=6，且an+2−2a16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，使得E，F，G，H重合，得到一个三棱锥，当正方形ABCD的边长为______cm时，三棱锥体积最大．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)直线l过点(2,1)，且被曲线C截得的弦长为23，求直线l的方程．18.(本小题12分)

已知曲线f(x)=x3−x，

求(1)曲线在点(−1,0)处的切线方程；

(2)曲线过点(−1,0)的切线方程；

(3)曲线平行于直线11x−y+1=019.(本小题12分)

如图，BC是⊙O的直径，BC=2，点A是BC上的一个动点，过点A作PA垂直⊙O所在的平面，且PA=1．

(1)当三棱锥O−PAC体积最大时，求直线PO与平面PAC所成角的大小；

(2)当点A是BC上靠近点C的三等分点时，求二面角A−PO−B的正弦值．20.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)已知直线y=k(x−1)(k>0)与椭圆C相交于A、B两点，且与x轴，y轴交于M、N两点．

(i)若MB=AN，求21.(本小题12分)

各项都为整数的数列{an}满足a2=−2，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．

(1)求数列{an}22.(本小题12分)

已知函数f(x)=a−lnxx−2x2，其中a>0．

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)若g(x)=xf(x)，且当ax答案和解析1.【答案】C

【解析】解：双曲线x29−y216=1的一个焦点坐标是(5,0)，一条渐近线为y=43x，

此焦点到渐近线的距离d=2032.【答案】D

【解析】解：∵数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，a13=7，

∴S25=252(a13.【答案】B

【解析】解：①y=ln2，

则y′=0，故①错误；

②y=cosx，则y′=−sinx，故②错误；

③y=e2x，则y′=2e2x，故③错误；

④y=2sinxcosx=sin2x，

则y′=2cos2x，故④正确．

故选：B．4.【答案】B

【解析】解：由题意椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|=b，如图：

而a+c=2b，(a+c)2=4b2，即，(a+c)2=4a2−4c2，

整理可得：5e2+2e−3=0，e∈(0,1)，解得e=35.【答案】C

【解析】解：根据题意，以A为圆心，1为半径作圆A，以B为圆心，4为半径作圆B，

点A(2,2)，B(−2,−1)，则|AB|=16+9=5，则圆A与圆B外切，两圆有3条公切线，

则满足条件的直线有3条，

故选：C．

根据题意，以A为圆心，1为半径作圆A，以B为圆心，4为半径作圆B6.【答案】C

【解析】解：由图象知f(x)=0的根为0，1，2，∴d=0．

∴f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c)=0．

∴x2+bx+c=0的两个根为1和2.∴b=−3，c=2．

∴f(x)=x3−3x2+2x.∴f′(x)=3x2−6x+2．

∵x1，x2为3x2−6x+2=0的两根，7.【答案】B

【解析】不妨设g(x)=f(x)ex，函数定义域为R，

可得g′(x)=f′(x)ex−f(x)ex(ex)2=f′(x)−f(x)ex，

因为对任意x∈R都有f(x)<f′(x)，

所以f′(x)−f(x)>0在x∈R上恒成立，

此时g′(x)>0，

则函数g(x)=f(x)ex在R上单调递增，

所以g(1)=f(1)e8.【答案】C

【解析】解：根据题意，若函数为“H函数”，则对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，

变形可得：(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，

则函数f(x)为R上是增函数；

反之，若函数f(x)为R上是增函数，必有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则函数为“H函数”；

由此依次分析所给的4个函数：

①y=−x3+x+1，其导数y′=−3x2+1，不满足y′≥0在R上恒成立，即y=−x3+x+1在R上不是增函数，不是“H函数”；

②y=3x−2(sinx−cosx)，其导数y′=3−2(cosx+sinx)=3−22sin9.【答案】ABD

【解析】解：对于A，直线l2：3x+(a−1)y+3−a=0，即3x−y+3+a(y−1)=0，

令3x−y+3=0y−1=0，解得x=−23y=1，

故直线l2一定过定点(−23,1)，故A正确，

对于B，l1⊥l2，

则3×a+(a−1)×2=0，解得a=25，故B正确，

对于C，由a(a−1)−6=0，解得a=3或a=−2，经验证a=3，a=−2时两条直线平行，故C错误，

对于D，∵直线l1过定点N(−3,0)，

∴点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为PN=(1+310.【答案】ABD

【解析】解：对于A，在矩形AA1C1C中，因为AC=1，AA1=2，

所以DC1⊥DC，又因为DC1⊥BD，BD∩DC=D，

所以DC1⊥平面BCD，于是DC1⊥BC，

所以直线DC1与BC所成角为90°，所以A对；

对于B，因为DC1⊥BD，再由A知CA、CB、CC1两两垂直，

三棱锥D−BCC1与三棱锥B−DCC1的体积相同，

其大小为13⋅12⋅2⋅1⋅1=13，所以B对；

对于C，取A1B1中点M，连接C1M、DM，C1M⊥A1B1，

因为平面A1B1C1⊥平面A1ABB1，所以C1M⊥平面A1ABB1，11.【答案】AC

【解析】解：f′(x)=(x2+2x)ex，

当x>0或x<−2时，f′(x)>0，函数单调递增，当−2<x<0时，f′(x)<0，函数单调递减，

故当x=−2时，函数取得极大值，x=0时，函数取得极小值，

若函数f(x)在区间(k,k+32)上不存在极值点，

则k+32≤−2或k≥0或−2≤k≤k+32≤0，

解得k≤−72或k≥0或−2≤k≤−1.5，

所以当−3.5<k<−2或−1.5<k<0时，函数在区间(k,k+312.【答案】AB

【解析】解：根据题意，若数列{an}是等差数列，则S4、S8−S4、S12−S8也成等差数列，

则有2(S8−S4)=S4+(S12−S8)，又由S8=17S4，

则有2×16S4=S4+(S12−17S4)，变形可得S12=48S4，故A正确，

若数列{an}是等差数列，由S8=17S4可得，8a1+28d=17(4a1+6d)，13.【答案】(−2,1)(答案不唯一)

【解析】解：直线y=2x+1的方向向量为a=(1,2)，而n−⋅a=0，

所以直线y=2x+1的一个法向量n=(−2,1)．

故答案为：(−2,1)(答案不唯一14.【答案】0

【解析】解：设过F的直线x=my+1交抛物线于P(x1,y1)，A(x2,y2)，M(−1,0)，

联立方程组x=my+1y2=4x，得：y2−4my−4=0，

于是，有：y1+y2=4m，y1y2=−4，

∴15.【答案】2016

【解析】【分析】

本题考查了构造方法、等差数列的通项公式、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

构造bn=an+1−an，则b1=a2−a1=4，由题意可得(an+2−an+1)−(an+1−an)=bn+1−bn=2，利用等差数列的通项公式可得：bn=an+1−an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an−a1=(n−1)(4+2n)2，解得an=n(n+1)，1an=1n(n+1)=1n−1n+1，利用“裂项求和”方法即可得出．

16.【答案】165【解析】解：如图所示，连结OG交CD于点M，则OG⊥DC，且点M为CD的中点，

连接OC，△OCM为直角三角形，

设正方形的边长为2x，由圆的性质可知OM=x，

圆的半径为4，则MG=4−x，

如图所示，设E，F，G，H重合于点P，

则PM=MG=4−x>x，

则0<x<2，高PO=(4−x)2−x2=16−8x，

则锥体的体积V=13(2x)216−8x=8232x4−x5，

设y=2x4−x5，y′=x3(8−5x)，

当0<x<17.【答案】解：(1)设点P(x,y)，

∵动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2，

∴|PA||PB|=2，即|PA|=2|PB|，

则(x−1)2+y2=2(x−4)2+y2，

化简得x2+y2−10x+21=0，

所以动点P的轨迹C的方程为(x−5)2+y2=4；

(2)由(1)可知点P的轨迹C是以(5,0)为圆心，2为半径的圆，

∵直线被曲线C截得的弦长为23，

∴圆心(5,0)到直线l的距离d=4−3=1，

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时圆心到直线l的距离是3，不符合条件；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y−2k+1=0，【解析】(1)直接利用条件求出点P的轨迹方程，结合圆的定义即可求解；

(2)直线l的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程．

本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．18.【答案】解：由f(x)=x3−x，得f′(x)=3x2−1．

(1)f′(−1)=2，则曲线在点(−1,0)处的切线方程为y=2(x+1)，即2x−y+2=0；

(2)设切点为(x0,x03−x0)，则f′(x0)=3x02−1，

∴过切点的切线方程为y−(x03−x0)=(3x02−1)(x−x0)，

把(−1,0)代入，可得−x03+x0=−3x02+1−3x03【解析】(1)求出原函数的导函数，得到f′(−1)，再由直线方程的点斜式得答案；

(2)利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步可得切线方程；

(3)由导函数值为11求得切点横坐标，进一步求出切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，设切点是关键，是中档题．19.【答案】解：(1)因为BC是⊙O的直径，BC=2，所以OA=1．

VO−PAC=VP−OAC=13⋅S△OAC⋅PA=13⋅12⋅OA⋅OC⋅sin∠AOC⋅PA=16sin∠AOC．

当∠AOC=π2时，VO−PAC有最大值，此时点A是BC的中点．

因为PA垂直于⊙O所在平面，所以PA⊥AB．

因为BC是⊙O的直径，所以AC⊥AB．

又因为PA，AC⊂平面PAC，AC∩PA=A，所以AB⊥平面PAC．

如图①，取AC的中点E，连接OE，PE，则OE/​/AB，所以OE⊥平面PAC，

所以∠OPE为直线PO与平面PAC所成的角，

此时AB=2，所以OE=12AB=22．

又因为在Rt△PAO中，PA=1，OA=1，所以PO=2，

所以sin∠OPE=OEPO=12，故∠OPE=π6．

当三棱锥O−PAC体积最大时，直线PO与平面PAC所成角的大小为π6．

(2)当点A是BC上靠近点C的三等分点时，∠AOC=π3，故∠ABC=π6．

因为BC是⊙O的直径，所以AC⊥AB．

又因为BC=2，所以AC=1，AB=3

因为PA垂直于⊙O所在平面，所以PA⊥AC，PA⊥AB，即AP，AC，AB两两垂直，

如图②，以A为坐标原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，O(32,12,0)，P(0,0,1)，

则AP=(0,0,1)，AO=(32,12,0)，PB=(3,0,−1)【解析】(1)当O−PAC体积最大时，由体积公式确定此时点A是BC的中点，再由几何方法确定OE⊥平面PAC，所以∠OPE为直线PO与平面PAC所成的角，最后解三角形求出结果．

(2)建系，分别求出设平面APO的法向量和平面PBO的法向量，再由空间向量法求出二面角的余弦值，最后求出正弦值．

本题考查三棱锥的体积和二面角的求法，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵e=ca=22，

∴a2=2c2，代入a2=b2+c2

得b=c．

又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，

即12b×2c=2，即bc=2，以上各式联立解得a2=4，b2=2，

则椭圆方程为x24+y22=1．

(Ⅱ)(ⅰ)直线y=k(x−1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0,−k)，

联立x2+2y2=4y=k(x−1)消去y得：(1+2k2)x−4k2x+2k2−4=0，

△=16k4−4(1+2k2)(2k2−4)=24k2+16>0，

设A(【解析】(Ⅰ)根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，

(Ⅱ)(i)根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，

21.【答案】解：(1)设前6项的公差为d，