2023-2024学年陕西省西安重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安重点中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x29−yA.3 B.3 C.4 D.2.已知数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为SnA.350 B.700 C.1752 D.3.下列命题：①y=ln2，则y′=12；②y=cosA.0 B.1 C.2 D.34.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，若点A.25 B.35 C.235.已知点A(2,2)，B(−2,−1)，若点A到直线l的距离为1A.1 B.2 C.3 D.46.如图是函数f(x)=x3A.23

B.43

C.83

7.已知定义在R上的函数y=f(x)，其导函数y=f′A.f(1)<e⋅f(0)，f(2023)<e8.定义域为R的函数y=f(x)，若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>A.①② B.③④ C.②③二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于直线l1：ax+2y+3aA.直线l2一定过定点(−23,1) B.若l1⊥l2，则a=210.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BCA.直线DC1与BC所成角为90°

B.三棱锥D−BCC1的体积为13

C.二面角

11.函数f(x)=x2exA.−3 B.−2 C.−112.已知Sn是数列{an}的前n项和，SA.若{an}是等差数列，则S12=48S4 B.若{an}是等比数列，则S12=273三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.直线y=2x+1的一个法向量n14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k215.设数列{an}满足a1=2，a2=6，且an+16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2．

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(218.(本小题12分)

已知曲线f(x)=x3−x，

求(1)曲线在点(−1,19.(本小题12分)

如图，BC是⊙O的直径，BC=2，点A是BC上的一个动点，过点A作PA垂直⊙O所在的平面，且PA=1．

(1)当三棱锥O−PAC体积最大时，求直线20.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)已知直线y=k(x−1)(k>0)与椭圆C21.(本小题12分)

各项都为整数的数列{an}满足a2=−2，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．

(1)22.(本小题12分)

已知函数f(x)=a−lnxx−2x2，其中a>0．

(1答案和解析1.【答案】C

【解析】解：双曲线x29−y216=1的一个焦点坐标是(5,0)，一条渐近线为y=43x，2.【答案】D

【解析】解：∵数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，a13=7，

∴S25=252(a3.【答案】B

【解析】解：①y=ln2，

则y′=0，故①错误；

②y=cosx，则y′=−sinx，故②错误；

③y4.【答案】B

【解析】解：由题意椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|=b，如图：

而a+c=2b，(a+c)5.【答案】C

【解析】解：根据题意，以A为圆心，1为半径作圆A，以B为圆心，4为半径作圆B，

点A(2,2)，B(−2,−1)，则|AB|=16+9=5，则圆A与圆B外切，两圆有3条公切线，

则满足条件的直线有6.【答案】C

【解析】解：由图象知f(x)=0的根为0，1，2，∴d=0．

∴f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c)=0．

∴x2+bx+c=07.【答案】B

【解析】不妨设g(x)=f(x)ex，函数定义域为R，

可得g′(x)=f′(x)ex−f(x)ex(ex)2=f′(x)−f(x)ex，

8.【答案】C

【解析】解：根据题意，若函数为“H函数”，则对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，

变形可得：(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，

则函数f(x)为R上是增函数；

反之，若函数f(x)为R上是增函数，必有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则函数为“H函数”；

由此依次分析所给的4个函数：9.【答案】AB【解析】解：对于A，直线l2：3x+(a−1)y+3−a=0，即3x−y+3+a(y−1)=0，

令3x−y+3=0y−1=0，解得x=−23y=1，

故直线l2一定过定点(−23,1)，故A正确，

对于B，l1⊥l2，

则10.【答案】AB【解析】解：对于A，在矩形AA1C1C中，因为AC=1，AA1=2，

所以DC1⊥DC，又因为DC1⊥BD，BD∩DC=D，

所以DC1⊥平面BCD，于是DC1⊥BC，

所以直线DC1与BC所成角为90°，所以A对；

对于B，因为DC1⊥BD，再由A知CA、CB、CC1两两垂直，

三棱锥D−BCC1与三棱锥B−DCC1的体积相同，

其大小为13⋅12⋅2⋅1⋅1=13，所以B对；

对于C，取A1B1中点M，连接C1M、11.【答案】AC【解析】解：f′(x)=(x2+2x)ex，

当x>0或x<−2时，f′(x)>0，函数单调递增，当−2<x<0时，f′(x)<0，函数单调递减，

故当x=−2时，函数取得极大值，x=0时，函数取得极小值，

若函数f(x12.【答案】AB【解析】解：根据题意，若数列{an}是等差数列，则S4、S8−S4、S12−S8也成等差数列，

则有2(S8−S4)=S4+(S12−S8)，又由S8=17S4，

则有2×16S4=S4+(S12−17S4)，变形可得S12=48S4，故A正确，

若数列{an}是等差数列，由S8=17S13.【答案】(−2,【解析】解：直线y=2x+1的方向向量为a=(1,2)，而n−⋅a=0，14.【答案】0

【解析】解：设过F的直线x=my+1交抛物线于P(x1,y1)，A(x2,y2)，M(−1,0)，

联立方程组x=my+1y2=4x，得：y15.【答案】2016

【解析】【分析】

本题考查了构造方法、等差数列的通项公式、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

构造bn=an+1−an，则b1=a2−a1=4，由题意可得(an+2−an+1)−(an+1−an)=bn+1−bn=2，利用等差数列的通项公式可得：bn=an+1−an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an−a1=16.【答案】165【解析】解：如图所示，连结OG交CD于点M，则OG⊥DC，且点M为CD的中点，

连接OC，△OCM为直角三角形，

设正方形的边长为2x，由圆的性质可知OM=x，

圆的半径为4，则MG=4−x，

如图所示，设E，F，G，H重合于点P，

则PM=MG=4−x>x，

则0<x<2，高PO=(4−x)2−x2=16−817.【答案】解：(1)设点P(x,y)，

∵动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2，

∴|PA||PB|=2，即|PA|=2|PB|，

则(x−1)2+y2=2(x−4)2+y2，

化简得x2+y2−10x+21=0，

所以动点P的轨迹C的方程为(x−5)2+y2=4；

(2)由(1)【解析】(1)直接利用条件求出点P的轨迹方程，结合圆的定义即可求解；

(2)直线18.【答案】解：由f(x)=x3−x，得f′(x)=3x2−1．

(1)f′(−1)=2，则曲线在点(−1,0)处的切线方程为y=2(x+1)，即2x−y+2=0；

(2)设切点为(x0,x03−x0)，则f′(x【解析】(1)求出原函数的导函数，得到f′(−1)，再由直线方程的点斜式得答案；

(219.【答案】解：(1)因为BC是⊙O的直径，BC=2，所以OA=1．

VO−PAC=VP−OAC=13⋅S△OAC⋅PA=13⋅12⋅OA⋅OC⋅sin∠AOC⋅PA=16sin∠AOC．

当∠AOC=π2时，VO−PAC有最大值，此时点A是BC的中点．

因为PA垂直于⊙O所在平面，所以PA⊥AB．

因为BC是⊙O的直径，所以AC⊥AB．

又因为PA，AC⊂平面PAC，AC∩PA=A，所以AB⊥平面PAC．

如图①，取AC的中点E，连接OE，PE，则OE/​/AB，所以OE⊥平面PAC，

所以∠OPE为直线PO与平面PAC所成的角，

此时AB=2，所以OE=12AB=22．

又因为在Rt△PAO中，PA=1，OA=1，所以PO=2，

所以sin∠OPE=OEPO=12，故∠OPE【解析】(1)当O−PAC体积最大时，由体积公式确定此时点A是BC的中点，再由几何方法确定OE⊥平面PAC，所以∠OPE20.【答案】解：(Ⅰ)∵e=ca=22，

∴a2=2c2，代入a2=b2+c2

得b=c．

又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，

即12b×2c=2，即bc=2，以上各式联立解得a2=4，b2=2，

则椭圆方程为x24+y22=1．

(Ⅱ)(ⅰ)直线y=k(x−1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0,−k)，

联立x【解析】(Ⅰ)根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，

(Ⅱ)21.【答案】解：(1)设前6项的公差为d，

所以a3=a1+d=−2，a5=a1+4d，a6=a1+5d，

因为从第5项起依次成等比数列，

所以4(a1+4d)=(a1+5d)2，a1+d=−2，

化简可得(4d−3)(d−1)=0，所以d=1或34，

又因为{an}各项均为整数，所以d为整数，所以d=1，

当1≤n≤4，an=a2+(n−2)d=n−4，

当n≥5时，【解析】(1)由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可求解；

(222.【答案】解