专题4.1指数运算与指数函数（十二个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题4.1指数运算与指数函数知识点1根式1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.（3）0的任何次方根都是0,记作.式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.2.根式的性质根据次方根的意义,可以得到:（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中.知识点2指数幂1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定负分数指数幂规定0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质（1）; （2）;（3）.3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂(是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．（2）是正无理数)．（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．重难点1根式的化简与求值1．化简：（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.【详解】.故选：A.2．（多选）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】将分式方程化为整式方程，结合解一元二次不等式求得x的范围，根据根式的化简可得答案.【详解】由题意知，即，即，故或，则，故选：AC3．化简（其中）.【答案】【分析】根据指数幂的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解.【详解】根据指数幂的运算法则，可得.故答案为：.4．若，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据根式的性质化简计算即可.【详解】，，解得.故答案为：.5．若，求的取值范围．【答案】【分析】化简方程左边根式，解绝对值方程，即可求出的取值范围.【详解】由题意，∵，由可知，∴．故a的取值范围为．6．用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案.【详解】（1）；（2）；（3）．重难点2指数幂的化简7．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.【详解】.故选：A.8．已知，则．【答案】【分析】根据指数幂运算法则化简原式，结合已知数据求值即可.【详解】，因为，所以原式故答案为：9．计算与化简：（1）；（2）．【答案】110【分析】利用指数幂运算即可得出结论.【详解】（1）原式．（2）原式．故答案为：110；10．化简或计算下列各式：(1)(2)【答案】(1)(2)18【分析】利用指数幂的运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）.11．计算：(1)；(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.【详解】（1）原式（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，12．计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)100(3)3(4)【分析】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.重难点3条件求值问题13．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可.【详解】，，.故选：D.14．已知，则等于（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【分析】把已知等式两边平方即可求得答案．【详解】由，两边平方得：，即，．故选:A．15．已知，则的最小值为【答案】32【分析】根据基本不等式结合指数的运算即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：.16．已知，且，求的值．【答案】【分析】利用分数指数幂的运算规则化简求值【详解】已知，有，，，，则.17．已知，求的值．【答案】9【分析】对平方后求得，再平方后求得，代入即可求得结果.【详解】由，故可得，即；由，故可得，即，故.18．已知且，，，则，．【答案】/【分析】应用指数幂的运算性质及根式和指数式的互化即可.【详解】依题：，故答案为：；知识点3指数函数的定义一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为温馨提示：指数函数解析式的3个特征：（1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1.（3）的系数是1.知识点4指数函数的图象和性质1.指数函数的图形及性质图象性质定义域值域定点过定点单调性是R上的增函数是R上的增函数温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．（2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象．2．图象位置关系底数的大小决定了图象相对位置的高低．（1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．（2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.重难点4指数函数的辨析与求值19．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数，不是指数函数．综上，指数函数的个数为1，故选：B.20．已知函数，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先求出，进而可得出答案.【详解】由，得，所以.故选：A.21．已知函数，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，从而，对，讨论，分别代入分段函数即可求出实数的值．【详解】∵函数，，，，当时，，方程无解，即满足条件的不存在，当时，，解得．∴．故选：A．22．（多选）下列函数中，不是指数函数的为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据指数函数的定义即可判断．【详解】对于A，中底数，指数是自变量，指数式的系数为，所以是指数函数，故A不合题意；对于B，中指数不是自变量，所以不是指数函数，故B符合题意；对于C，中底数必须满足且时，才是指数函数，故C符合题意；对于D，中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故D符合题意，故选：BCD．23．已知函数，则.【答案】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以，则.故答案为：重难点5求指数函数的解析式24．若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根据指数函数的定义求解即可.【详解】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：C.25．（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出的解析式，再逐项判断作答.【详解】设指数函数（且），于是，即，因此，函数，A正确，B错误；显然，C正确；又，因此D正确.故选：ACD26．如果函数和都是指数函数，则（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.【详解】根据题意可得，，则.故选：D27．函数是指数函数，则的值为．【答案】【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为函数为指数函数，则，解得.故答案为：.28．函数且的图象经过点，则.【答案】【分析】代入点的坐标求出的值，从而求出函数解析式.【详解】因为函数且的图象经过点，所以，解得，所以.故答案为：29．已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为.【答案】【分析】利用抽象函数关系式，可知常见函数类型中的指数函数符合题意.【详解】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为.故答案为：.重难点6求指数（型）函数的定点问题30．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用指数函数的性质求解.【详解】∵，∴恒过定点，∴，，∴，其图象不经过第四象限，故选：D.31．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是幂函数且在上单调递增，求出的值，代入中，结合指数函数图象所过的定点，求图象过的定点.【详解】因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A32．函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的性质即可得到过定点【详解】指数函数（且）过定点，所以，当时的值恒为2，即过定点，故选：B33．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，即，于是，又，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故选：C34．函数（且）的图象恒过定点是.【答案】【分析】先求出时，为定值，从而求出函数图象所过定点.【详解】当，即时，为定值，此时，故（且）的图象恒过定点.故答案为：35．若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则.【答案】16【分析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幂函数中，求出幂函数解析式，得到答案.【详解】恒过点，故，将其代入中，，解得，故，所以.故答案为：16重难点7指数函数图象的应用36．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【详解】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.37．已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.【详解】由指数函数的图象和性质可知：，若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.故选：C38．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．39．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用排除法，结合指数函数和幂函数的图象特征分析判断即可.【详解】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．由函数的图象可知，排除A，B．由②知，函数在时有意义，排除C，故选：D．40．（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.41．（多选）已知，则函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.42．设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.

【答案】a，b的取值范围分别为【分析】从图象获取关键信息即可求解.【详解】由题图可知函数单调递增，即，所以的取值范围为；由图可知当时，有，解得，所以的取值范围为.重难点8求指数（型）函数的定义域问题43．函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分母不等于，解出即可.【详解】因为，所以.故选：44．函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解.【详解】由题意得所以，即，又指数函数为上的单调减函数，所以，解得.故选：C.45．函数的定义域为.【答案】【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.故答案为：.46．函数的定义域是．【答案】.【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：.47．求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定义域为；值域为(2)定义域为；值域为【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可；（2）根据指数函数的性质进行求解即可.【详解】（1）要使函数式有意义，则，即．因为函数在上是增函数，所以．故函数的定义域为，因为，所以，所以，所以，即函数的值域为；（2）定义域为，因为，所以，又，所以函数的值域为．48．求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用函数有意义列出不等式，结合指数函数单调求解即得.【详解】（1）函数有意义，则，所以的定义域为.（2）函数有意义，则，解得，所以的定义域为.（3）函数有意义，则，即，解得，所以的定义域为.（4）函数有意义，则，即，解得，所以的定义域为.重难点9指数（型）函数的单调性问题49．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据基本函数的性质，结合函数奇偶性和单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于,函数为指数函数，不具有奇偶性，故错误；对于,函数是二次函数，定义域为，且，则函数为偶函数，故错误；对于,函数为幂函数型函数，定义域为，且，故函数为奇函数，结合幂函数的性质易知，函数为上的减函数；故正确；对于,函数为反比例函数，定义域为，易知满足，为奇函数，但在定义域上不具有单调性，故错误，故选：50．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当时，单调递减，，且最小值为，当时，当时，单调递增，不符题意，又注意到是上的减函数，故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，则由题意有，解得．故选：A.51．已知函数在上单调递减，则的取值范围为.【答案】【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围.【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，所以在上递减，在上递增，又在上单调递减，故，则.故答案为：52．已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.【详解】解：因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.53．设，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】变形得到和，构造，由函数单调性得到，求出答案.【详解】由题意得，方程两边同除以得，，同理同时除以得，，即，设，则，，因为在R上单调递增，故，所以.故选：B54．已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数【答案】C【分析】变换，根据奇函数的定义判断函数为奇函数，根据和的单调性得到函数单调性，得到答案.【详解】，函数定义域为.，函数为奇函数，设，，函数单调递增，而函数在上单调递减，由复合函数的单调性可知，故函数在上单调递减，而函数为定义域为的奇函数，故函数在上是减函数.故选：C.55．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.【详解】解：设，对称轴为，∵是上的增函数，∴要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，故实数a的取值范围是．故选：A．重难点10指数幂比较大小及解不等式56．设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小.【详解】因为为减函数，所以，即；因为在为增函数，所以，即；所以.故选：A.57．已知，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为在上单调递减，且，可得，即，又因为在上单调递增，且，可得，所以.故选：A.58．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数单调性得到，根据幂函数单调性得到，得到答案.【详解】因为，，故．故选：A．59．已知函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断奇偶性，再根据单调性求解不等式.【详解】易知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，易知此时单调递增，所以，所以，解得或，故选：C60．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出参数的值，再判断函数的单调性，最后根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数的图象关于原点对称且定义域为，所以，解得，经检验符合题意，所以，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，由，即，所以，解得．故选：B61．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解.【详解】，，，所以不等式可转化为，又在R上单调递增，在R上单调递增，进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，，解得，所以原不等式的解集为.故选：A.62．已知为奇函数.(1)求实数的值；(2)判断并用定义法证明函数的单调性；(3)解关于的不等式.【答案】(1)；(2)单调递增函数，证明见解析；(3)或.【分析】（1）由奇偶性知求参数，注意验证是否为奇函数；（2）由函数单调性定义求证单调性即可；（3）根据（2）所得单调性有，即可求解集.【详解】（1）由是奇函数，则，解得，所以且定义域为R，，综上，.（2）在R内单调递增，证明如下：设，而，而，故，即，所以函数是单调递增函数；（3）由在上递增，令，解得，令，解得，所以原不等式等价于，所以，故解集为或.重难点11求指数（型）函数的值域问题63．函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】函数，是由和，复合而成，因为对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，所以时，，时，，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数，的值域是.故选：C.64．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.【详解】①当时，单调递增，故，解得；②当时，单调递减，，无解，综上可知.故选：B65．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为.【答案】3【分析】根据图象的变换得到函数，然后根据函数图象求即可.【详解】

作出函数的图象如图，函数在上单减，在上为增函数，又，，，若函数在区间上的值域为，则实数.故答案为：3.66．求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定义域，值域为且(2)定义域为，值域为(3)定义域为R，值域为(4)定义域为R，值域为【分析】（1）由得定义域，求出的范围，结合函数的性质可得值域；（2）由被开方数非负得定义域，由指数函数性质结合二次根式得值域；（3）定义域为实数集，求出的最小值（取值范围后，由指数函数性质得值域）；（4）配方得，再利用二次函数的图象和性质求解.【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为且.（2）由题意知，所以，所以，所以函数的定义域为.因为，所以，所以，即，所以函数的值域为.（3）由题意知函数的定义域为R.因为，所以，又，所以函数的值域为.（4）由题意易知函数的定义域为R，因为，又，所以，故函数的值域为.67．已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)1；(3)0.【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间；（2）由（1）及题设知，即可求参数值；（3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可.【详解】（1）当时，，令，由在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，即的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）令，，由于有最大值3，所以应有最小值，因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），故a的值为0．68．已知指数函数在其定义域内单调递增．(1)求函数的解析式；(2)设函数，当时．求函数的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.【详解】（1）是指数函数，，解得或，又因为在其定义域内单调递增，所以，；（2），，令，，，，的值域为．69．已知函数，.(1)求函数的值域；(2)若在上最小值为，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的解析式，令，设，利用二次函数的单调性求值域；（2）先求出的解析式，令，设，对称轴为，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，即可求解.【详解】（1）因为，所以，令，则，当且仅当即时，等号成立，所以，记，易知函数在上单调递增，所以，即的值域为，所以函数的值域为.（2），令，根据单调性的性质知，函数在单调递增，则，记，对称轴为，当时，在上单调递增，所以的最小值为，解得，不合题意舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，解得或舍去；综上可得，.重难点12恒成立问题70．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①所以，所以，②①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B．71．已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，故，于是.故答案为：72．已知函数是奇函数，且.(1