专题3.3双曲线及其标准方程（七个重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（原卷版）

专题3.3双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形：①若点P满足,则点P在左支上,如图（1）②若点P满足,则点P在右支上,如图（2）（2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线．②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的关系重难点1根据双曲线的定义求方程1．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（

）A． B．C． D．2．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A． B．C． D．4．已知，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为（

）．A． B．C． D．5．如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为.

6．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为．7．已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程．(1)；(2)；(3)．重难点2根据求标准方程8．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．9．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是．10．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为．11．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是.12．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在轴上，，经过点；(2)经过、两点．(3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．(3)经过点和．(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点14．已知等轴双曲线的一个焦点为.求等轴双曲线的标准方程；15．回答下列各题.(1)求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程.(2)求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程.重难点3根据方程表示双曲线求参数16．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．17．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是B．当时，曲线表示一条直线C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆D．存在，使得曲线为等轴双曲线18．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则19．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是；若表示椭圆，则m的取值范围是．20．已知方程​表示双曲线，则​的取值范围是21．已知方程．(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；(2)试说明（1）中的双曲线有共同的焦点．22．已知曲线C：.(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．重难点4根据双曲线方程求23．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（）A． B．1或2C．1或 D．124．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（

）A． B．1 C． D．225．以双曲线的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点的椭圆方程为.26．F1，F2是双曲线的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的交点为A，满足，则m的值为.27．已知命题：，命题：“方程表示双曲线”．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．28．已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值．重难点5双曲线的焦点三角形问题29．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（

）A． B． C．3 D．530．双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（

）A． B． C． D．31．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为.32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为.33．已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点为的中点，则三角形的外接圆的周长为34．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为．35．已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.36．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

重难点6与双曲线有关的轨迹问题37．与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆38．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．39．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支40．如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

41．求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.42．已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.43．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程；44．动圆与圆和圆相切，求半径的值，使点的轨迹分别为椭圆和双曲线．重难点7双曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值45．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．46．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.47．P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.48．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．49．已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（

）A．2 B． C．