专题2.8 圆的最值、范围问题（强化训练）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题2.8圆的最值、范围问题题型一圆到直线有关距离的最值范围题型二斜率型题型三直线型题型四距离型题型五面积的最值范围题型六数量积的最值范围题型一 圆到直线有关距离的最值范围1．已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于.【答案】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；2．在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：上一动点，过圆M外一点P向圆M引-条切线，切点为A，若|PA|=|PO|，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用|PA|=|PO|，两点间距离公式，以及勾股定理得出，可得点P在直线上，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径求解.【详解】设，则有，所以，设圆心到直线2x+2y=1的距离为d，，则有PQ.故选：C【点睛】充分利用信息，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径是解这个题目的关键.3．（多选）已知正三角形ABC的边长为2，点D为边BC的中点.若内一动点M满足.则下列说法中正确的有（

）A．线段BM长度的最大为 B．的最大值为C．面积的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，再根据圆上得点到定点和定直线的距离的最值问题即可判断AC；由即可判断B；取最小值时，取最大值，也即与圆相切时，即可判断D.【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则，设，由，得，化简得，故动点的轨迹是一个以圆心为，半径的圆不含原点，A项：，所以，故A错误；B项：，故B正确；C项：直线，即，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的最小值为，所以面积的最小值为，故C错误；D项：由题意得为锐角，则取最小值时，取最大值，也即与圆相切时，此时，故，故D正确.故选：BD.

【点睛】关键点点睛：以点为原点建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，是解决本题的关键.4．已知为坐标原点，为：上的动点，直线：，若到的最小距离为，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】先求得圆心到直线：的距离d，再根据点到的最小距离为，再由求解.【详解】圆心到直线：的距离为：，因为点到的最小距离为，所以，即，又因为，所以，故选：C5．已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.【详解】圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：B6．已知为坐标原点，为圆(常数)上的动点，若最大值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆的几何性质和最大值求参数.【详解】易知，，解得，故选：C．题型二 斜率型7．已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（

）A．、 B．， C．， D．，【答案】B【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可.【详解】圆，圆心，半径为，令，即，的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k值，∴，解得，∴的最大值为，最小值为．故选：B8．已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】作出图形，将视为斜率，进而结合图形得到答案.【详解】由题意，，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆，表示圆上的点P（x,y）与原点连线的斜率，如图：易知，当直线与圆相切时分别取得最大值和最小值设切线为：，于是圆心到切线的距离故的最大值和最小值的和是0故选：B9．若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（

）A．最大值为2＋，最小值为—2－B．最大值为2＋，最小值为2－C．最大值为－2＋，最小值为－2－D．最大值为—2＋，最小值为2－【答案】B【分析】根据几何意义，把可看作圆上任意一点与定点连线的斜率，利用几何法求最值.【详解】可化为.可看作圆上任意一点与定点连线的斜率.记，则，记为直线l.当直线与圆相切时，k可以取得最值.此时圆心到直线的距离，解得：.所以.故选：B.10．（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】CD【分析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，由点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得选项．【详解】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和由几何意义求最值的问题，属于中档题．11．（1）已知实数z、y满足方程，求的最小值；（2）若实数x、y满足方程，求代数式的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可；（2）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可.【详解】解：（1）设，则y-1=kx-2k，y=kx-2k+1.设，，则，故，，解得.则的最小值是0.（2）设，则，①∵方程可化为，故可将①式写成，构造向量，，则，，.由，得，解得，故所求的取值范围是.题型三 直线型12．已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（

）A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2【答案】A【详解】即为y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9．故选A.13．实数x，y满足，则的最大值和最小值之和是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】将原式平方化简得，化为参数方程，将化简，结合辅助角公式计算得解.【详解】实数x，y满足，平方得，其中，整理得，其中，令，其中，则，因为，所以，所以，所以，所以的最大值和最小值之和是.故选：A.14．已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为.【答案】20【分析】整理可得为半圆，再将转化为到直线的距离的5倍，进而根据到直线的距离的最小值求解即可.【详解】由整理得，可知其图象是半圆，圆心为，半径为.又，其几何意义为点到直线距离的5倍，故分析点到直线距离的最小值即可.如图，作直线，点C到直线的距离，所以到直线的距离的最小值为，即的最小值为4，所以的最小值为.故答案为：2015．已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为和.【答案】【分析】将方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，令，依题意直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，即，表示以为圆心，半径的圆，令，即，则圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，最小值为；故答案为：；；16．已知点是函数图象上的动点，则的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值．【详解】式子变形为，又，因此函数图象是圆在下方的半圆，如图，作出直线，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，表示点到直线的距离．圆心为，半径为1，，因此到直线的距离的最小值是，所以的最小值是．故选：A．题型四 距离型17．直线与圆相切，则的最大值为（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.【详解】由直线与圆相切可得：圆心到直线的距离等于圆的半径，即，故，即点在圆O上，的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，由圆心为，因为，所以点在圆外，所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，即，所以的最大值为.故选：C.18．已知实数满足方程，则的最小值为.【答案】/【分析】由圆的性质求解，【详解】方程可化为，是圆心，半径为的圆，是圆上一点到原点的距离，而圆心到原点的距离为2，故的最小值为，故答案为：19．已知实数，满足方程，则的取值范围为；的最小值为.【答案】【分析】（1）根据圆的性质求横坐标的取值范围；（2）表示圆上的一点与距离的平方与1的差，由平面几何知识知，过和圆心的直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，即可求解.【详解】解：由题意得（1）方程可化为，圆心，半径为2.，的取值范围为.（2）表示圆上的一点与距离的平方与1的差.由平面几何知识知，过和圆心的直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值.又圆心到的距离为，所以的最小值为.故答案为：；.20．已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为，最小值为，的范围为．【答案】644【分析】将问题转化为在圆上点到距离的平方、到原点的距离范围，结合点圆关系确定最值和范围.【详解】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，则表示在圆上点到距离的平方，而圆心到的距离为，所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，故的最大值为64，最小值为4；又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，所以的范围为.故答案为：64，4，21．直线始终平分圆的周长，则的最小值为．【答案】/【分析】由题意可得直线过圆心，再将用表示，结合二次函数即可得解.【详解】解：圆化为标准方程：，圆心为，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆心，则，所以，则，当时，取得最小值.故答案为：.题型五 面积的最值范围22．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是.【答案】【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出，然后求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的最大值和最小值，即可求得结果.【详解】对于，当时，，当时，，所以，所以，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的最大值，点P到直线的距离的最小值，所以面积的最大值为，面积的最小值为，所以面积的取值范围是，故答案为：

23．（多选）已知圆，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则下列各选项正确的是（

）A．四边形面积的最小值为4B．四边形面积的最大值为8C．当最大时，D．当最大时，直线的方程为【答案】ACD【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、正方形的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.【详解】由圆的几何性质可得，圆，半径为2，如下图所示：

对于，由切线长定理可得，又因为，所以，所以四边形的面积，因为，当时，取最小值，且，所以四边形的面积的最小值为，故A正确；对于，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误；对于，因为为锐角，，且，故当最小时，最大，此时最大，此时，故C正确；对于D，由上可知，当最大时，且，故四边形为正方形，且有，直线，则的方程为，联立，可得，即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，故D正确.故选：ACD.24．已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为的高，再由面积公式求解即可.【详解】把圆变形为，则圆心，半径，圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最大值为，又，∴的面积的最大值为．故选：A．25．已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值.【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，因为，所以无论m取何值，都有，所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，设，则点P的轨迹方程为，圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．由题可知，，则，所以的面积的最小值为．故选：B

26．已知圆C：，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为【答案】【分析】根据切线的性质可得，则，则要求四边形PACB面积的最小值，只要求出的最小值即可，求出点到直线的距离即可.【详解】解：圆C：，即，则圆的圆心，半径，因为分别切圆于点，所以，所以，则要求四边形PACB面积的最小值，只要求出的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，为，所以四边形PACB面积的最小值为.故答案为：.27．已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为(1)求圆C的方程；(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程.（2）先求得，通过求的最小来求得的最小值.【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，到直线的距离为，所以，解得，所以圆的方程为.（2）由（1）得，圆的圆心为，半径，，所以当最小时，最小.到直线的距离为，所以的最小值为，所以四边形PACB面积的最小值为.题型六 数量积的最值范围28．（多选）已知直线与圆相交于两点，则（

）A．直线恒过定点B．过点且与圆相切的直线为：C．圆心到直线的最大距离是D．的最大值为1【答案】ACD【分析】由直线系方程求得直线恒过定点判断A，利用直线与圆相切求出直线方程即可判断B，根据圆心到直线的最大距离的结论即可判断C，利用向量数量积的定义结合余弦定理即可判断D.【详解】对A，直线即直线，联立，解得，，所以直线过定点，故A正确；对B，，圆心，半径，当直线斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到到该直线的距离等于2，即等于半径，故该直线也与圆相切，故B错误；对C，根据结论得圆心到直线的最大距离即为到所过的定点的距离，则最大距离为，故C正确；对D，，要使取到最大值，只需取最大，在中，，所以取最大时，弦长AB最短，当直线AB与圆心和点直线垂直时，弦长AB最短，因为圆心到点的距离为，此时，，所以，故D正确；故选：ACD.29．（多选）过点作圆的切线，是圆上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．切线的方程为B．圆与圆的公共弦所在直线方程为C．点到直线的距离的最小值为D．点为坐标原点，则的最大值为【答案】ABD【分析】A.由，得到，再利用点斜式写出切线方程；B.由和两式相减求解判断；C.先求得点到直线的距离，再减去半径即可；D.设，得到，然后利用直线与圆相切求解判断.【详解】A.因为，所以，则过点的切线为，即，故正确；B.由和两式相减得，故正确；C.点到直线的距离，所以点到直线的距离的最小值为，故错误；D.设，则，所以，即，点到直线的距离等于半径得：，解得或，则的最大值为，故正确；故选：ABD30．已知圆经过，，.(1)求圆的标准方程；(2)若点，点是圆上的一个动点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出圆的标准方程，将已知点代入得出方程组可求；（2）利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出.（1）设圆的标准方程为，由于圆经过，，，所以有，解得所以圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆的半径为，.当与共线且同向时，取得最小值.所以的最小值为.31．已知，O为坐标系原点，直线与x轴交于P点，与y轴交于Q点，以下