八年级数学上册 第15章 分式导学案新人教版

第十五章分式

从分数到分式

一、学习目标：

1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。

2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，开展符号感。

3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。

二、学习重点：分式的概念和分式有意义的条件。

三.学习难点：分式的特点和分式有意义的条件。

四.温故知新：

1、什么是整式？,整式中如有分母，分母中(含、不含)字母

2、以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？

X-V1X-

-U；2x+y；----；—；-----；3a；5.

22ax

3、阅读“引言〃，“引言〃中出现的式子是整式吗？

4、自主探究：完成“思考”，通过探究发现，-、上、则-、一8一与分数一样，都是________的

as20+v20-v

形式，分数的分子A与分母B都是,并且B中都含有o

5、归纳：分式的意义：。

代数式工、*3、2、匕、吼、—竺—都是___________。分数有意义的条件

axas20+v20-v

是，那么分式有意义的条件是。

五、学习互动：

例1、在以下各式中，哪些是整式？哪些是分式？

m{n+p)

(1)5x-7(2)3x2-1(3)(4)

2a+l7

-f+y224

⑸—5(6)(7)⑻

2x-l75b+c

例2、填空：

2分式X

(1)当X时,分式一有意义(2)当x时,有音▽

3xx-1

A才1右音▽当Y时，分式£上)有意义

(3)当b时,7711TJ，圆、乂>>)一」X、y满足关系

5—3b

例3、x为何值时，以下分式有意义？

Xx2-6x+5a2-4

(1)(2)——-----⑶

X—1x2+1a+2

六、拓展延伸：

例4、x为何值时，以下分式的值为0?

(1)口⑵4(3)的

x+3X—1

七、自我检测:

1、以下各式中，(1)二士2(2)—J(3)---(4)厂+xf-①)—(6)0.(7)-

x-yx+\3xn54

(x+y)

整式是，分式是。(只填序号)

X

2、当乂=_____时，分式——没有意义。

x+2

2

3、当*=_____时，分式^x~-~\的值为0。

x+1

4、当*=时，分式专的值为正，当x=时，分式华心的值为非负数。

x2a2+1

5、甲，乙两人分别从两地同时出发,假设相向而行，那么a小时相遇;假设同而行那么b小时甲追上乙,

那么甲的速度是乙的速度的()倍.

ba+bh-ab+a

6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式.如果一次乒乓球比赛有x名选手报名参

力口，比赛方式采用“循环赛"，那么这次乒乓球比赛共有场

7、使分式」没有意义的x的取值是()

x~-x—6

A.-3B.—2C.3或一2D.±3

五、小结与反思：

分式的根本性质(1)

学习目标：1、能类比分数的根本性质，推出分式的根本性质。

2、理解并掌握分式的根本性质，能进行分式的等值变形。

学习重点：分式的根本性质及其应用。

学习难点：利用分式的根本性质，判断分式是否有意义。

学习过程：

一、温故知新：1.假设A、B均为式，且B中含有.那么式子三叫做分式

B

2、式子△A有意义的条件是_______，无意义的条件是_______,

B

值为零的条件是_______

值为正的条件是_________________,

值为负的条件是_____________。

3、小学里学过的分数的根本性质的内容是什么？

由分数的根本性质可知，如数c#0,那么士2=2上c，—4c=-4

33c5c5

4、你能通过分数的根本性质猜测分式的根本性质吗？试一试归纳：分式的根本性质：

用式子表示为__________________________________________________

5、分解因式

(1)x-2x=(2)3x2+3xy=

(3)a2-4=(4)a2-4ab+b2=

二、学习互动：

1、把书中“例2”整理在下面。(包括解析)

2、填空：⑴?=一、⑵=——

aaby3(y+z)y+z

3、以下分式的变形是否正确？为什么？

⑴f、(2)j=

xxa+ba-b

c3；

2a——b

4、不改变分式的值，使分式一2一的分子与分母各项的系数化为整数

Q+/7

3

2Y

5、将分式」一中的X,Y都扩大为原来的3倍,分式的值怎么变化?

x+y

2x3x6x9r

解：-------——上一所以分式中的XY都扩大原来的3倍，但分式的值不变。

3x+3y3(x+y)x+y

三1、不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“一〃号:

-2x

⑴竟⑵⑶四

3y-4/2

⑷T-2a

⑸^3h⑹-弓

四、反应检测：

1、不改变分式的值,使以下分式的分子与分母都不含“一”号:

.、-2ma

⑴-----二—⑵

n牙

—1a2-4a-2cab+ab~ab

2、填空：(1)=—⑵(3J--------------=—

ab(\-m)ab(a+2尸3+36

3.假设X,Y,Z都扩大为原来的2倍，以下各式的值是否变化?为什么？

⑴一^⑵*

y+zy+z

4、不改变分式的值,使以下分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。

⑴⑵?⑶

-2x-lX+1

5、以下各式的变形中,正确的选项是（

b-aab-aab-\b

A.B.

a2ac

八一3。3。0.5x5x

C.-------=-------D.

\-bb-\y

6、下面两位同学做的两种变形,请你判断正误,并说明理由.

二(x-y)(x+y)=J一丁

甲生:

x+y(工+丁产(x+y)?

x-y(%-y)2=(x-y)2

乙生:

x+y(x+y)(x-y)/一/

分式的根本性质(2)

——(约分)

学习目标：

1、进一步理解分式的根本性质，并能用其进行分式的约分。

2、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。

3、通过思考、探讨等活动，开展学生实践能力和合作意识。

学习重点：分式的约分。

学习难点：利用分式的根本性质把分式化成最简分式。

学习过程：

一、温故知新：

1、分式的根本性质是：.

用式子表示O

2、分解因式：(1)x2—y2=(2)x，xy=(3)9a2+6ab+b2=(4)-x2+6x-9=

3、(1)使分式」一有意义的X的取值范是

2X+4---------

Y_1

(2)分式大」的值是0,那么X

X+1---------

(3)使式子/一有意义X的取值范围是

因+1——

⑷当X时分式己X二+二4是正数。

5、自主探究：“思考"局部。

归纳：分式的约分定义：_____________________________________

最大公因式：所有相同因式的最—次幕的积

最简分式：______________________________________________________

二、学习互动：

1、例1、(“例3”整理)

通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是确定分子和分母—

2、例2、约分：

15*2ym~-2m

⑴⑵

—10孙3-4m+4

想一想：分式约分的方法：

1、(1)当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式(即系数的与相

同字母的最「次幕的积)，然后将分子和分母的最大公因式约去。

(2)、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式,

然后约去分子与分母的一。

2、约分后，分子和分母没有称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为分式或—

得形式。

三、拓展延伸：

1.约分：

22

,、m~-5m3-y

(1)------------⑵、

nr-10/〃+25x2+2xy+y2

2.请将下面的代数式尽可能地化简，在选择一个你喜欢的数(要适宜哦！)带入求值:

2。-(。+1)+^―!■

四、反应检测：

1.以下各式中与分式」的值相等的是().

a-b

(A)(B)-^―(C)—(D)—

-a-ba+bh-ah-a

2

2.如果分x式-^1一的值为零，那么x应为().

x+1

(A)1⑻-1(C)±1⑴)0

=④二一二其

3.以下各式的变形：①±1=二@-x+y=_x+yi③

XXxxy-xx-yx+yx+y

中正确的选项是().[A)①②③④(B)①②③(C)②③(D)④

4、约分：

—21"be10a3Ac

⑴56a2Ld、⑵、一5a23c2

a2-16,、m2-4m+4

—;---------、⑷---z------

a+8。+16m+2m

m2-2m+\5x-2y

15J----------o⑹----------------

m--m2512_20孙+4,

分式的根本性质(3)----(通分)

学习目标：1、了解分式通分的步骤和依据。

2、掌握分式通分的方法。

3、通过思考、探讨等活动，开展学生实践能力和合作意识。

学习重点：分式的通分。

学习难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。

学习过程

一、温故知新：

1、分式的根本性质的内容是_______________________________

用式子表示____________________________________

2、计算：-+-,运算中应用了什么方法？.

23

这个方法的依据是什么？.

4、猜测：利用分式的根本性质能对不同分母的分式进行通分吗？

自主探究：“思考”。

归纳：分式的通分：__________________________________

二、学习互动：

例1、(整理"例4"。)

最简公分母：___________________________________________________________________

通分的关键是准确找出各分式的

x-22尤一35

例2、分式之，—的最简公分母()A.(X-1)2B.(x-1)3C.(x-l)D.(x-1)

(x-1)2(1-x)3x-1

2(1-x)3

例3、求分式一!一、一■万、一”的最简公分母，并通分。

a-ba-ha+b

三、拓展延伸：

“练习〃的2.

五.反应检测:

x

1、通分：(1)y

6ab2'9a2bc

a-16

⑵

+2cl+1a2—1

1x2

⑶

xx+13x

2x

2、通分:⑴⑵

4—元+2

2aba-\与6

⑶

-3ab"\5a2bcCL+2。+1CL—\

分式;^1________]

3、的最简公分母是（)

G~-1a~+2a+1

A.(a1—1)-B.(4Z"—1)((7"+1)C.(<Z"+1)D.(6!—I)4

3.先约分再计算:

X+4xX—4£+9%+炉-9

~i-----1;--------

x+2_xx+4%+4£+3%£+6%+9

4.通分并计算:

2x+l

x+2—

x+1a-\

分式的乘除(一)

学习目标1.理解并掌握分式的乘除法那么，运用法那么进行简单的分式乘除运算：

2.经历探索分式的乘除法运算法那么的过程，并能结合具体情境说明其合理性。

3培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感

学习重点：掌握分式的乘除运算

学习难点：正确运用分式的根本性质约分

学习过程：

一k、温故知新：

阅读课本

与同伴交流，猜一猜-X—=-4--=a、c不为

acac

，观察上面运算，可知：

分数的乘法法那么：______________________________________

分数的除法法那么：________________________________________

你能用类比的方法的出分式的乘除法法那么吗？

分式的乘法法那么：__________________________________

分式的除法法那么：

用式子表示为：即=这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,

aCacad

d不为—

二、学习互动：

例1、计算：｛分式乘法运算,进行约分化简，其结果通常要化成最简分式或整式｝

(1)把.上(2)9.[(3)x+2Xjx+9

3y2x3a-2a2+2ax-3x2-4

例2计算：(分式除法运算,先把除法变乘法)

(1)3心比⑵4+与

xxy-yx+x

三、课堂小测

1.计算：

(1)竺工

a4bc

⑶二11^^1⑷_Cl•b__

yyba2

x~.x+1

(6)

yy

2.代数式四十3有意义的x的值是()

x—3x-4

A.xW3且xf-2B.xK3且工会4

C.xN3且D.xN-2且x73且xW4

3.甲队在/?天内挖水渠a米，乙队在加天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要多少

天才能完成？(用代数式表示).

尤2r

4.假设将分式一一化简得上，那么x应满足的条件是()

X+XX+1

A.x>0B.x<0C.xwOI),xw-l

777~+4/77+4777~+2加

5.假设m等于它的倒数，那么分式二十十的值为_______

-4m-2

(2).—/2~4

6.计算⑴/~Ai

ci~+2cl+14+1。+3/+6。+9

2x+2y2/、m”-162

⑶(4)-------+(根-+4m)

5612bx2-y212-3m

四.能力提升

1.先化简后求值：3二5)9+1)+(“2+a),其中。=-_L

a2-5a3

2

X-XX「

2.先化简，再求值：GTF+JI其中X*痣

分式的乘除（二）

学习目标：1.能应用分式的乘除法法那么进行乘除混合运算。

2.能灵活应用分式的乘除法法那么进行分式的乘除混合运算。

3.在开展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。

学习重点：掌握分式乘除法法那么及其应用

学习难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算

学习过程：

一、温故知新：

阅读课本

1.分式的约分：

最简分式：.

以下各分式中，最简分式是()

A34(x—y)/-X2，+y2

85(x+x+yxy+xy(x+y)~

2.分解因式：x2y-2xy2+y3=«3-a=

3X2-12=a2b2-O.O\=

2x2+2x+--x2-4y2+x+2y=

2

35155255

3.计算(1)-x--—=⑵一■=x—

2643122

4.分数乘除法混合运算顺序是什么？

分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算类似

你能猜测出分式的乘除法混合运算顺序吗？

学习互动：

例1计算：（把书中例4整理在下面）

对应练习.计算（先把除法变乘法，把分子、分母分解因式约分，然后从左往右依次计算）

2x-6.rJ+6x+9

----------+(x+3)•-----------

Xs-4x+43-r

三、随堂练习

1.计算

,i、ci—2,-4

I1J----4---------⑵tab-1}}+ai-

Q+3Q~+6Q+9a+h

+(3”泊=0.求上-+bab

2.|3"6+1|的值

(2)a+ba-ba+b

四.反应检测：

1.:X4--=3,求：Y+3的值

XX

2.计算任［⑶m的结果是（）A.片B.--xx

C.D.

IyJVx）yyy

3.计算

13b工be,2a、

⑴a9+—xb(2)

b菽十歹“一了）

,、2x2y5nrn5xym/、16-nrm-4m-2

（3）^^互产+于（4）-----------：------------

16+8〃z+〃?22m+8m+2

⑸竽邛…十旦

(y-x)y-x

4.先化简，再求值：

x2+2,x—8(x—2x+4、甘4

F~~——+----------其中x=

x'+2x+x\xx+\)5

分式的乘除(三)

学习目标：

1.能应用分式的乘除法，乘方进行混合运算。

2.能灵活应用分式的乘除法法那么进行分式的乘除乘方混合运算。

3.在开展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。

学习重点：掌握分式乘除法法那么及其应用

学习难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算

学习过程：

一、温故知新：

1.忆一忆(1)a"表示__个相乘。

(2)am-a"=;3")"=___(ab)"=a“+a"=其中aWO

(三)2=3♦A=^―(―)3=—•-•-=^7

2比一比：.观察以下运算：bbbb25bbbbb

㈠an“=_a♦_a----a------a-----

那么bbbbb

3归纳：分式的乘方法那么：公式：

文字表达：________________________________________________________________

请同学们表达分数乘方乘除混合运算顺序：

分式乘方乘除混合运算法那么顺序：

二、学习互动：

1.例(把书中例5整理在下面)

例2.计算

⑵

三、拓展延伸

1.以下分式运算，结果正确的选项是()

mAmacad

A.•--=—B—•一=——

ri'mnbdbe

r3xY=对

<4yJ4y3

c1_p.x—6x+9x+3....

2.：尤=一，求---------^―--------的值.

xx-3x+6x4-9

3.才+3行1=0,求

(1)^-；(2)才+斗；

aa

4.劣力式,y是有理数，且卜一。|+（丁+6）2=0,

2s

为Q2+。）一/?九+。2a+ax-t-by-b~…上

求式子---------------+----------/-----的值.

x+ya+b

四,课堂检测：

x?+x

1.化简2+X的结果为

X2+2x+l

2.假设分式^一+二^有意义，那么x的取值范围是_____

x+2x+4

3.有这样一道题：“计算上＞的值，其中X=2OO4"甲同学把"

=2004

X--1X~+X

错抄成“x=2040”,但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？

4.计算

分式的加减（-）

学习目标:

1、经历探索分式加减运算法那么的过程，理解其算理

2、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力

3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解

学习重点：同分母分数的加减法

学习难点：通分后对分式的化简

学习关键点：找最简公分母

学习过程：

一、温故知新：阅读课本

L计算并答复以下问题

12344212]_,111

(1)--1---1---1--=⑵⑶(4)—I--1--=

55553-3-334234

2.类比分数的加减法，分式的加减法法那么是：

同分母的分式相加减：_________________________________________________________

异分母的分式相加减：先，化为分式，然后再按同分母分式的加减法法那么进行

计算。

分式加减的结果要化为

3、把上述的结论用式子表示出来

二、学习互动

1.例1计算.（把书中的例6整理在下面）

2对应练习:

a2b2+2ab3x_x+y

⑴--+-------⑵

a+ba+b2x-y2x-y

2a1«-15

⑶-：----1------⑷-+

a--4a—2a5a

3例2.计算：

2y3y+ly小6x3x-8-x+6

⑴.(2)----------------------+----------

x—1\—xx—\5x—77—5x7—5x

°、c

(3+(4)3+-----

V«a-aa+1

三、拓宽延伸

1、填空题

/c、5。4b

⑴2.Z+1=(2)--------F

XXX2。+3b—3b—2。

⑶上+上（4）式子二3——1二+35的最简公分母

4x2y6x2

2、在下面的计算中，正确的选项是（

1bh2b

A.±aBn.一+———

2a2b2(〃+b)aac

c+11

C.D.

aaaa-b

2mm-n

3、计算的结果是（)

2m+nn+2m

m-nm+n3m-n3m+n

ABCD

n+2mn+2mn+2m

4、计算：

25a7

(1)（3）.-------a+b

xx2⑵Ari-xa+b

x+32—x”

5.•老师出了一道题“化简:---?

x+2x—4

小明的做法是:

(尤+3)(x—2)x-2+x—6—x—2—8

原式=

%2-4x2-4X2-4x2-4

小亮的做法是:

原式—(x+3)(x—2)+(2-x)——x~+x—6+2—x-x~—4；

小芳的做法是:

x+3x—2x+31x+3—1

原式二一------------=--------=1.

x+2(x+2)(x-2)x+2x+2x+2

其中正确的选项是（)

A.小明B.小亮c.小芳D.没有正确的

X2y2

四、反应检测：1、化简的结果是（）

(A)-x-y(B)y-x(C)x-y(D)x+y

2、甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距skm,一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度

是akm/h,水流速度是bkm/h,那么该游轮往返2港的时间差是多少？

c小、21

3、计算：⑴衣+,⑵+万

X3,

(3)^--x2-x-l(4)324

x~lx-4X2-16

分式的加减（二）

学习目标：

1、分式的加减法法那么的应用。

2、经历探索分式加减运算法那么的过程，理解其算理

3、结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感。

学习重点：异分母分式的加减混合运算及其应用。

学习难点：化异分母分式为同分母分式的过程；

学习过程：

一、温故知新：阅读

1、比照计算并答复以下问题

计算©—+—+―-@————

23434

2.①、异分母的分数如何加减？②、类比分数，猜测异分母分式如何加减?

你能归纳出异分母分式加减法的法那么吗？

3.什么是最简公分母？____________________________________________________

x—22x-3

4.以下分式二的最简公分母为（)

(I)?(IBX—1

D.(x~l)2(l-x)

5.议一议

有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减问题就变成了同分母

分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。

313x4aa12aa13a13

小明:++

a4aa-4a4a-a4a24a24G24a

,-313x4112+113

小兑：-+

a4atz-44a4a4a

你对这两种做法有何评判？与同伴交流。

发现：异分母的分式转化同分母的分式

的加减通芬的加减

通分的关键是找最简公分母

二、学习互动：

例1计算：注意：分子相加减时，如果被减式分子是一个多项式，先用括号括起来，再运算，可减少

出现符号错误：分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。

.、2。1/c、3a—15/八、2o/i

⑴——+----⑵一+-----⑶324

。--4a-2a5a…x2-16

三、拓展延伸

丫v315

1、填空（1）—^+一^=________（2）式子二——匚+r的最简公分母_

x-yy-x4x2y6x”

2、计算二^_一上巴的结果是（）Am+nB上二巴CD

2m+〃〃+2mn+2mn+2〃z

3.阅读下面题目的运算过程

%—32_%—32(x-1)

X2-1-T+x-(x+l)(x-l)-(x+l)(x-l)®

=x-3-2(x-\)-----------------------------------------②

^x-3-2x+2-----------------------------------------③

=*]-------------------------------④

上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号.(1)错误的原因一

(2)此题正确的结论.

注意：1、“减式”是多项式时要添括号！2、结果不是最简分式的应通过约分化为最简分式或者整式。

II2233

4、观察以下等式：lx±=I—±,2x-=2--,3x±=3—2，……

223344

(1)猜测并写出第n个等式；

(2)证明你写出的等式的正确性；

四、反应检测：

1、以下各式中正确的选项是()(A)-+-=4；(B)---=—

xxxahab

,、4尤4y211

(0----+^-=4；(D)

x-yy-xx'—1x—17+T

2、计算

1l-x6

(i)-------1--------------------(2)-4------、(3)3m一二3m+n

x—36+2xx~—92xy4y建+2mn+2m

分式的加减（二）

学习目标：

1.灵活应用分式的加减法法那么。

2会进行比拟简单的分式加减乘除混合运算。

3.结合己有的数学经验解决新问题，获得成就感和克服困难的方法和勇气。

学习重点：分式的加减乘除混合运算及其应用。

学习难点：分式加减乘除混合运算。

学习过程：

一、温故知新：

阅读课本

1.同分母的分式相加减：___________________________________________________

异分母的分式相加减：先,化为分式，然后再按同分母分式的加减法法那么进行

计算。

分式加减的结果要化为一

2.分数的混合运算顺序是：

你能猜测出分式的混合运算顺序吗？试一试

分式的混合运算顺序是：__________________

二、学习互动：

例1计算

X2-122a+1

⑴-7--------1-----⑵1+—

x~+2x+1尤+1Q—1G+G—2

例2计算

,、xT21x+2x—1

⑴---------------⑵

x-16X—4x~—2xx〜一4x+4

三、拓展延伸1.计算

58/、2(。-1)a3

--------------(2)———+--------------

ax-ayby-hx矿+3。+2矿+2。+1。+2

x-3

2.假设土+上求48的值.

(x+l)(x-l)X+1x-1

3..：a+b+c^Q,求4(』+!)+/l+!)+，('+')+3的值

bccaab

四、反应检测1.xwO,那么--1-----1----等于（)

x2x3x

1B.±C.A11

A.D.

2x6x6x6x

/I/％-2||2—xl

2.化简1————L的结果是（)

x—22—x

A.0B.2C.—2D.2或—2

X2-2x-2

3.使分式二才的值是整数的整数x的值是（）

A.x=OB.最多2个C.正数D.共有4个

4、分式」一+一1一的计算结果是（

)

4+1〃(a+l)

A.,aa+1

B.----C.-I).

Q+1Q+1aa

5.以下四个题中,计算正确的选项是（)

11「b〃+l1

A.----1---=---------B.

3a3b3(。+b)aa

C.—^―+^—=0mm2m