山东省青岛第二中学2023-2024高三上学期期末考试数学试题

山东省青岛第二中学2023-2024高三上学期期末考试数学试题命题人：程志王作杭张羽审核人：董天龙本试卷共6页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上的无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（）A.B.C.D.2.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.3.若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4.已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（）A.B.C.D.5.展开式的常数项为（）A.B.C.D.6.椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，财的取值范围是（）A.B.C.D.7.1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（）A.B.C.4D.88.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列，且与反向.则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.10.有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（）A.众数是1的概率是B.极差不变的概率是C.第25百分位数不变的概率是D.平均值变大的概率是11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，则（）A.B.C.D.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为，则该正四棱台的体积为__________.13.某次会议中，筹备组将包含甲､己在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有__________种.（用数字作答）14.某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列；...第次得到数列；记，则__________；__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，且的周长为，求边上的高.16.（本小题满分15分）如图，底面是边长为2的菱形，平面.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为），统计如下：该项医学指标接种疫苗人数1050接种疫苗人数3040个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志意者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A疫苗B疫苗合计附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.87918.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率，其上焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线交椭圆T于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断与的大小关系，并证明；（3）若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点､（如图2所示），判断四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程；（2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.（i）求函数的极值；（ii）若，且，求实数的取值范围.青岛二中2023-2024学年第一学期期末考试高三数学试题参考答案一､选择题1234567891011CDCBCDCDBCDABDABD二､填空题12.13.3014.；三､解答题15.（1）由，可得，所以，又由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，所以.（2）由，且的周长为，可得，又由（1）可知，，即，所以，联立方程组，解得，所以，则，所以边上的高为.16.（1）平面平面..又底面是菱形，.平面，设交于，取的中点，连，，四边形是平行四边形平面平面，又因平面平面平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系与平面所成的角为设平面的法向量为，设平面的法向量设二面角的大小为.17.（1）从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人中，接种疫苗有2人，接种疫苗有6人，由题意可知，可能取值为，的分布列为：345则（2）列联表如下：疫苗抗体合计抗体弱抗体强A疫苗100B疫苗100合计60140200由题意可知，，整理得，，解得或，又，则，所以，故的最大值为2.18.（1）由题椭圆方程为（2）由题意得设椭圆与双曲线的交点为有图可知若要产生如图B､D､A､C四点结构，可知设直线方程为，设，，联立，消去得：，则所以.抛物线的方程为：，联立，消去得：，则，所以，所以即.（3）存在最小值，最小值为8.设，当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，则直线方程为，由（2）的过程可知：，由，以替换，可得，所以因为，所以；当直线的斜率不存在时，，所以；综上所述：，所以四边形面积的最小值为8.19.（1）为奇函数，有，则，经检验知满足题意，所以所以，，所以在点处的切线方程为.（2）（i），因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则，令可得或，所以，解得且.当时，.则有：0+0-0+极大值极小值极大值，极小值当时，.