2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题08 数列（原卷版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题08数列目录一览①2023真题展现考向一等差数列考向二等比数列考向三数列求和②真题考查解读③近年真题对比考向一等差数列考向二等比数列考向三数列的增减性考向四数列的证明考向五数列求和④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一等差数列一、单选题1．（2023·全国乙卷理数第10题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．2．（2023·全国甲卷文数第5题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15考向二等比数列一、单选题1．（2023·全国甲卷理数第5题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40二、填空题2．（2023·全国乙卷理数第15题）已知为等比数列，，，则.3．（2023·全国甲卷文数第13题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．考向三数列求和一、解答题1．（2023·全国乙卷文数第18题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．2．（2023·全国甲卷理数第17题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【命题意图】1．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.【考查要点】数列部分高考题一般以中等难度试题为主，占高考试卷的分数一般在10~17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握；由于数列是一类特殊函数，所以在对知识的基础性、综合性与应用性的考查上，常会与函数、不等式等知识交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想；通过数列在实际生活中的应用以及与数学文化有关的问题考查考生的数学抽象以及数学探究、数学建模等素养。【得分要点】高频考点：（1）数列自身内部问题的综合考杳如数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前，项和公式、数列求和；（2）构造新数列求通项、求和如“归纳、累加、累乘，分组、错位相减、倒序相加、裂项、并项求和”等方法的应用与创新；（3）综合性问题如与不等式、函数等其他知识的交汇问题，与数列有关的数学文化问题及与实际生活相关的应用问题以及结构不良问题。考向一等差数列一、填空题1．（2022·全国乙卷文数第13题）记为等差数列的前n项和．若，则公差．二、解答题2．（2022·全国甲卷理数第17题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．考向二等比数列一、单选题1．（2022·全国乙卷理数第8题）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．32．（2021·全国甲卷文数第9题）记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10考向三数列的增减性一、单选题1．（2022·全国乙卷理数第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国理卷文数第7题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考向四数列的证明一、解答题1．（2021·全国甲卷文数第18题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.2．（2021·全国甲卷理数第18题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．（2021·全国乙卷理数第19题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．考向五数列求和一、解答题1．（2021·全国乙卷文数第19题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑恩维、运算求解能力。从近几年的高考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、逻辑思维能力等。重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重视对通性通法的培养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面。（1)对数列的概念及表示法的理解和应用；（2）等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前n项和公式中基本量的运算或者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深人剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解数列的问题；（3）会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；（4）通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项和；（5）数列与不等式、两数等的交汇问题；（6）关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养考生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活相关的数列的应用问题；（7）结构不良试题、举例问题等创新题型。一、单选题1．（2023·湖南长沙二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽安庆三模）在等比数列中，，则（

）A．4 B．8 C．32 D．643．（2023·福建福州三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（

）A．400 B．500 C．600 D．8004．（2023·江苏镇江三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2023·重庆三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．6．（2023·江西师大附中三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（

）A．1013 B．1023 C．2036 D．20507．（2023·陕西宝鸡二模）在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（

）A． B． C．92 D．1848．（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，若满足，则（

）A． B． C． D．9．（2023·北京海淀三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2023·北京大兴三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（

）

A． B． C． D．11．（2023·北京大兴三模）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为0；③数列中一定不可能出现；④数列中一定不可能出现.其中正确的命题个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．312．（2023·福建福州二模）已知等比数列满足，则（

）A． B． C． D．313．（2023·广东广州三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（

）A．1640 B．1560 C．820 D．78014．（2023·北京通州三模）数列中，，则（

）A． B． C．2 D．415．（2023·湖北黄冈二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．1316．（2023·北京丰台三模）设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件17．（2023·福建福州三模）数列中，，点在双曲线上.若恒成立，则实数λ的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题18．（2023·河北张家口三模）已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（

）A． B．C． D．19．（2023·湖北武汉三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列20．（2023·山西阳泉三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．21．（2023·湖南岳阳三模）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（

）A． B．数列单调递减C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为7三、填空题22．（2023·河北三模）若数列为等比数列，则．23．（2023·人大附中三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则．24．（2023·广西南宁三模）已知数列的前项和，则．25．（2023·上海虹口三模）已知等比数列中，若成等差数列，则．26．（2023·重庆三模）已知数列满足：对任意的正整数m，n，都有，且，则．27．（2023·湖南长沙三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为．28．（2023·河南三模）已知数列的前项和为，，，则数列的通项．29．（2023·云南三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为.30．（2023·上海浦东三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为.四、解答题31．（2023·河南·襄城三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．32．（2023·河北张家口三模）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.33．（2023·河北衡水三模）已知数列的前项和为，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项积．34．（2023·福建福州三模）记为数列的前n项和，已知.(1)求数列{}的通项公式；(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.35．（2023·广东东莞三模）已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.36．（2023·河南·襄城三模）在等比数列中，，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求满足的的最小值.37．（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列的通项公式；(2)设数列，求出数列的前项和．38．（2023·江西师大附中三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项的和．39．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：．40．（2023·河北三模）已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上．(1)求数列的通项公式；(2)若为数列的前项和，求证：．41．（2023·山东日照·三模）已知数列满足：.(1)当时，求数列中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.42．（2023·上海嘉定三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.(1)证明：数列是等比数列；(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.43．（2023·江苏镇江三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.44．（2023·广东汕头三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.45．（2023·广东广州三模）已知整数数列是