2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题11 平面解析几何（原卷版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题11平面解析几何目录一览①2023真题展现考向一直线与圆考向二椭圆考向三双曲线考向四抛物线②真题考查解读③近年真题对比考向一直线与圆考向二椭圆考向三双曲线考向四抛物线④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一直线与圆一、单选题1．（2023·全国乙卷文数第11题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7考向二椭圆一、单选题1．（2023·全国甲卷文数第7题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（2023·全国甲卷理数第20题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．二、解答题3．（2023·全国乙卷文数第21题/理数第20题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．考向三双曲线一、单选题1．（2023·全国乙卷文数第12题/理数第11题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国甲卷文数第9题/理数第8题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．考向四抛物线一、填空题1．（2023·全国乙卷文数第13题/理数第13题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.二、解答题2．（2023·全国甲卷文数第21题/理数第20题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．【命题意图】1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.4.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.【考查要点】从近三年的高考数学来看，本专题考查内容覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养．（1）高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合，如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和几何性质、直线与曲线位置关系等，而且不回避热点，如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心率问题、弦长问题等。仔细对比可以发现，每年的高考试题大都由课本习题改编而来，源于课本，又高于课本。（2）重视圆锥曲线的定义及其几何性质，切实提升自身利用数形结合思想与转化思想解决问题的能力。代数法(坐标法)是解决解析几何问题的通性通法，但解析几何问题的本质是几何问题，利用题干图形的几何性质解答，往往能避开繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果。纵观近三年的高考试题，很多题目都离不开图形分析，而且需要自己作图。因此在平时的教学中，要训练自身准确作图和识图能力，培养其数形转化意识，提升解题能力和效率。（3）解析几何的试题一般人口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同解法间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”。为此，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比较，研究图形的几何特征，以掌握处理代数式的一般方法，明确不同方法的差昇和联系，找到自己最擅长的方法。要达到这样的目的，关键是对问题本质的把握。只有多角度审视，看清问题的实质，才能发现最佳的突破口。（4）加大训练力度，侧重培养考生逻辑思维能力和运算求解能力。解析几何问题是中学数学的综合应用问题。对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较高。好的思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的.因此在平面解析几何专题复习过程中，提升自身的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要。【得分要点】高频考点：直线与方程、圆与方程、椭圆、抛物线、双曲线的概念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系及其综合问题。考向一直线与圆一、填空题1．（2022·全国乙卷文数第15题/理数第14题）过四点中的三点的一个圆的方程为．2．（2022·全国甲卷文数第14题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．考向二椭圆一、单选题1．（2022·全国甲卷文数第11题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国甲卷理数第10题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2021·全国乙卷文数第11题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．24．（2021·全国乙卷理数第11题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2021·全国甲卷文数第16题/理数第15题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．三、解答题6．（2022·全国乙卷文数第21题/理数第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．考向三双曲线一、单选题1．（2021·全国甲卷文数第5题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．2．（2021·全国甲卷理数第5题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·全国乙卷理数第11题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2022·全国甲卷文数第15题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．5．（2022·全国甲卷理数第14题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．6．（2021·全国乙卷文数第14题）双曲线的右焦点到直线的距离为．7．（2021·全国乙卷理数第13题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为．考向四抛物线一、单选题1．（2022·全国乙卷文数第6题/理数第5题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．二、解答题2．（2022·全国甲卷文数第21题/理数第20题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．3．（2021·全国乙卷文数第20题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.4．（2021·全国乙卷理数第21题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．5．（2021·全国甲卷文数第21题/理数第20题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．平面解析几何是中学数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。每年高考卷的必考题，一般是两小一大，从题目位置看相难度有适当降低。分析近三年高考试题不难发现，高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。（1）基础性：高考通过对直线和圆、圆锥曲线的概念和几何性质等基础知识、基本方法的考查，增强了考查内容的基础性；同时通过对解析几何基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验的全面覆盖，考查考生逻辑思维能力和运算求解能力等，从而促进学科素养的提升，提高考生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力。（2）综合性和应用性：解析几何涉及知识点多，高考通过综合设计试题，将多个知识点街接起来，如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念和几何性质相结合考查，或者结合平面向量、函数（三角函数）、不等式等学科内容进行考查。要求考生从整体上把握各种现象的本质和规律，能综合应用所学知识、原理和方法来分析和解决问题。（3）创新性和选拔性：创新意识是理性思维的高层次表现。分析近三年高考题发现其重点考查的学科素养是理性思维和数学探索。高考数学在对解析几何的考查中，充分利用学科特点，加强对考生创新能力的考查。主要途径有：增强试题的开放性和探究性，加强独立思考和批判性思维能力的考查；通过创设新颖的试题情境，创新试题呈现方式，考查考生的阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出具有一定跨度和挑战性的问题，引导考生进行深人思考和探究，展现考生分析问题和解决问题的思维过程，以考查考生数学应用与数学探索学科素养，体现选拔功能。一、单选题1．（2023·四川成都三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．2．（2023·青海西宁二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·天津滨海三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2023·广东深圳二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023·广东梅州三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．6．（2023·江苏镇江三模）点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．57．（2023·河南开封三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．8．（2023·广东梅州三模）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．9．（2023·山东菏泽三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（

）A． B． C． D．10．（2023·北京大兴三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（

）A． B． C． D．12．（2023·广东珠海三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（

）A．4 B． C． D．213．（2023·广东广州三模）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．14．（2023·河南·襄城三模）已知点P在抛物线上，直线与抛物线C交于A，B两点（均不与P重合），且直线PA，PB的倾斜角互补，设抛物线C的焦点为F，则以PF为直径的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．15．（2023·广东广州三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．16．（2023·浙江温州二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．17．（2023·河南·襄城三模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（

）A． B． C． D．18．（2023·辽宁辽阳二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．19．（2023·湖南长沙二模）若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为（

）A．或2 B．0或2 C．0 D．220．（2023·湖南长沙二模）双曲线（，）的上支与焦点为F的抛物线（）交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．21．（2023·福建福州二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．22．（2023·四川·成都三模）已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．23．（2023·湖南益阳三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（

）A． B．C．或 D．24．（2023·河北三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（

）A．点必在直线上，且以为直径的圆过点B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点D．点必在直线上，且以为直径的圆过点25．（2023·福建宁德二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．二、多选题26．（2023·福建宁德二模）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（

）A． B．4 C． D．627．（2023·广东东莞三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（

）A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．28．（2023·湖南益阳三模）已知直线过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设，，，则下列选项正确的是：（

）A．B．以线段AB为直径的圆与直线相离C．当时，D．面积的取值范围为29．（2023·河北衡水三模）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（

）A．B．的焦点为C．的渐近线可能互相垂直D．当时，直线的斜率之积为130．（2023·广东茂名三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（

）

A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则31．（2023·广东深圳二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（

）

A．B．C．当点在第一象限时，D．当点在第三象限时，32．（2023·海南海口二模）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（

）A． B．C．直线的斜率为 D．33．（2023·江苏镇江三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（

）A．若，则B．若，则直线的斜率为C．不可能是正三角形D．当时，点到的距离的最小值为34．（2023·福建福州三模）抛物线C：，AB是C的焦点弦（

）A．点P在C的准线上，则的最小值为0B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC．若AB的斜率，则△ABO的面积D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切35．（2023·河北张家口三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（

）A．直线与椭圆相交B．直线与圆相交C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则D．若两直线的斜率之积为，则三、填空题36．（2023·上海长宁三模）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则.37．（2023·广东东莞三模）若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为.38．（2023·河南三模）我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程．39．（2023·海南海口二模）已知双曲线（为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程：．40．（2023·四川绵阳三模）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为.41．（2023·广东梅州三模）写出一个过点且与直线相切的圆的方程：.42．（2023·湖南长沙三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且的最小值恰为C的实轴长的2倍，则C的离心率为.43．（2023·山东菏泽三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为．44．（2023·广东深圳二模）已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为.45．（2023·北京大兴三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为46．（2023·河北衡水三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为．47．（2023·上海嘉定三模）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是.48．（2023·江苏金陵三模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是.49．（2023·山东烟台三模）设抛物线的焦点为，点，过点的直线交于两点，直线垂直轴，，则．50．（2023·上海闵行三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是.51．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于两点.若，则C的离心率为.52．（2023·上海宝山三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为.53．（2023·河南·襄城三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为．54．（2023·上海虹口三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为．55．（2023·云南三模）已知抛物线上有一点，过点作圆的两条切线分别交抛物线于两点（异于点），则直线的斜率为.56．（2023·湖南益阳三模）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.57．（2023·广东茂名三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.58．（2023·湖南长沙三模）已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是.59．（2023·四川绵阳二模）双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则.60．（2023·北京西城三模）已知曲线．①若为曲线上一点，则；②曲线在处的切线斜率为0；③与曲线有四个交点；④直线与曲线无公共点当且仅当．其中所有正确结论的序号是．四、解答题61．（2023·河北三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等．62．（2023·河南·襄城三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.63．（2023·云南三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.

(1)求的方程；(2)求证：.64．（2023·内蒙古呼和浩特二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面积．65．（2023·浙江三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.66．（2023·河南信阳三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.67．（2023·湖南长沙二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．68．（2023·广东深圳二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.69．（2023·福建宁德二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离．(1)求椭圆的方程．(2)已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点．试判断圆与直线的位置关系并说明理由．70．（2023·海南海口二模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．(1)求抛物线的方程；(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．71．（2023·广东汕头三模）已知拋物线和，其中.与在第一象限内的交点为.与在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线的夹角.(1)若的夹角为，，求的值；(2)若直线既是也是的切线，切点分别为，当为直角三角形时，求出相应的值.72．（2023·上海长宁三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.(1)求椭圆的方程；(2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标；(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.73．（2023·河南·襄城三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．(1)求E的方程；(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．74．（2023·山东菏泽三模）已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．75．（2023·北京密云三模）椭圆C：的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程和长轴长；(2)点M，N在C上，且.证明：直线MN过定点.76．（2023·四川·成都三模）设椭圆过点，且左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．77．（2023·湖南长沙三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．(1)求点Q的轨迹方程；(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.78．（2023·广东茂名三模）已知双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.79．（2023·河北张家口三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.80．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．81．（2023·云南曲靖三模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.(1)求双曲线的方程；(2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.82．（2023·广东梅州三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.83．（2023·天津滨海三模）已知椭圆的左焦点为F（-c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)点Q在线段AE上，，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线PF的斜率；（ii）求椭圆的方程.84．（2023·四川成都三模）设椭圆过点，且左焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.85．（2023·福建福州三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.1.椭圆焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大