2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题12 导数及其应用（原卷版）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题12导数及其应用目录一览①2023真题展现考向一导数与切线问题考向二导数与函数单调性考向三导数与函数的极值、最值考向四利用导数证明不等式②真题考查解读③近年真题对比考向一导数与函数的极值、最值考向二导数与函数单调性与切线问题考向三导数与函数的零点考向四利用导数证明不等式④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一导数与切线问题一、单选题1．（2023·全国甲卷文数第8题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．考向二导数与函数单调性一、解答题1．（2023·全国乙卷文数第20题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．考向三导数与函数的极值、最值一、解答题1．（2023·全国乙卷理数第21题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.考向四利用导数证明不等式一、解答题1．（2023·全国甲卷文数第20题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．2．（2023·全国甲卷理数第21题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【命题意图】1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.3．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.【考查要点】（1）利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题。（2）导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题的能力。文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值，简单不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高。【得分要点】高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性。中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模型的应用。考向一导数与函数的极值、最值一、单选题1．（2022·全国乙卷文数第11题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国甲卷文数第8题/理数第6题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．13．（2021·全国甲卷文数第12题/理数第10题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·全国乙卷理数第16题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．考向二导数与函数单调性与切线问题一、解答题1．（2022·全国甲卷文数第20题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．2．（2021·全国乙卷文数第21题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．3．（2021·全国甲卷文数第20题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.考向三导数与函数的零点一、解答题1．（2022·全国乙卷文数第20题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．2．（2022·全国乙卷理数第21题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2022·全国甲卷理数第21题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．4．（2021·全国甲卷理数第21题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．考向四利用导数证明不等式一、解答题1．（2021·全国乙卷理数第20题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．纵观近几年高考对导数的考查，试题设计一般是包含一大一小，理科对导数的几何意义以及切线考查的频率较高，用导数研究函数的单调性、极值、最值是引导教学的常规要求。文科对切线、单调性和零点考查的频次较高，导数研究不等式的要求相对理科要低许多。导数研究不等式、零点等则是导数综合运用的最好载体，从思想方法上看，函数与方程、数形结合、分类讨论是重点考查的内容，从关键能力上看，侧重对逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的考查，从学科素养上看，突出理性思维和数学探索。一、单选题1．（2023·广东梅州三模）设函数在上可导，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·河北张家口三模）函数在处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·贵州遵义三模）已知函数在处取得极值0，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．24．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·四川绵阳三模）若函数在处有极大值，则实数的值为（

）A．1 B．或 C． D．6．（2023·河南三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在处得到极大值 B．在处得到极大值C．在处得到极小值 D．在处得到极小值7．（2023·贵州铜仁二模）已知函数和有相同的极大值，则（

）A．0 B．2 C． D．8．（2023·宁夏银川三模）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2023·河南·襄城三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条10．（2023·湖南长沙二模）若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为（

）A．或2 B．0或2 C．0 D．211．（2023·广东广州三模）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．12．（2023·山东菏泽三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．13．（2023·河南·襄城三模）已知函数，若方程有两个实根，且两实根之和小于0，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2023·陕西宝鸡二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2023·广东深圳二模）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．16．（2023·河南三模）已知函数，若恒成立，则的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．17．（2023·云南保山二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．18．（2023·河北张家口三模）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．19．（2023·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．20．（2023·广东梅州三模）已知实数，满足，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题21．（2023·广东梅州三模）曲线在点处的切线方程为.22．（2023·广东茂名二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为.23．（2023·海南海口二模）已知函数的图像在点处的切线为l，若l与函数的图像也相切，切点为，则.24．（2023·江西南昌三模）若直线是函数的一条切线，则．25．（2023·河北唐山三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为.26．（2023·湖南岳阳三模）若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为．27．（2023·湖北武汉三模）已知函数，，则函数的最小值为.28．（2023·江西二模）已知函数，若，则的取值范围为．29．（2023·安徽阜阳三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是.30．（2023·江苏盐城三模）已知函数在上有两个极值点，且，则的取值范围是.31．（2023·宁夏银川三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为．32．（2023·河北衡水三模）已知函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是．33．（2023·河北三模）已知分别是函数图象上的动点，则的最小值为．34．（2023·重庆沙坪坝二模）已知函数存在唯一零点，则的取值范围为.35．（2023·山东烟台三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为．36．（2023·云南三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是.37．（2023·北京海淀三模）已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为.38．（2023·黑龙江牡丹江三模）已知在处有极大值，若有两个零点，则实数n的取值范围为.39．（2023·河南·襄城三模）已知正数满足，若函数有且仅有一个极值点，则实数m的最大值为．40．（2023·安徽黄山三模）已知，若恒成立，则实数的值为.三、解答题41．（2023·北京丰台三模）已知函数.(1)求曲线的斜率为1的切线方程；(2)证明：；(3)设，求在区间上的最大值和最小值.42．（2023·江苏镇江三模）已知函数.(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.(2)在（1）的条件下，求证：.43．（2023·四川·成都三模）已知函数和函数，且有最大值为．(1)求实数a的值；(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．44．（2023·河南开封三模）已知函数，（，为常数）.(1)当时，求函数在上的最小值；(2)设，是函数的两个零点，证明：.45．（2023·陕西宝鸡二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．46．（2023·广东梅州三模）已知函数，，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求的取值范围.47．（2023·黑龙江大庆二模）已知函数．(1)若，证明：当时，恒成立；(2)若是函数的极大值点，求实数a的取值范围．48．（2023·内蒙古赤峰三模）已知函数在处的切线方程为．(1)若a；(2)证明有两个零点．49．（2023·广东广州三模）已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点个数．50．（2023·上海虹口三模）已知函数（､）．(1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程；(2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围；(3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围．51．（2023·天津滨海三模）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，求证:；(3)已知点，是否存在过点P的两条直线与曲线，相切？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.52．（2023·河北张家口三模）已知函数为函数的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知函数，存在，证明：．53．（2023·北京通州三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.54．（2023·福建福州二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,若有两个实数根,且.求证:.55．（2023·四川成都三模）已知函数和函数有相同的最大值.(1)求实数的值；(2)直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且.下列两个结论①；②.其中只有一个正确，请选择正确的结论，并证明.56．（2023·福建福州三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证:(其中是自然对数的底数).57．（2023·河北三模）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若为函数的导函数，有两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．58．（2023·河南三模）已知函数，，．(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：对任意的，恒成立．59．（2023·福建宁德二模）已知函数．(1)当且时，求函数的单调区间；(2)当时，若函数的两个极值点分别为，，证明：．60．（2023·海南三模）已知，.(1)求函数的单调区间；(2)①容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：；②数列满足，，证明：.1.导数与函数单调性①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；