2023年高考数学真题题源解密（新高考全国卷）专题02 复数（解析版）

专题02复数目录一览2023真题展现考向一复数的运算考向二复数的代数表示法及其几何意义真题考查解读近年真题对比考向一．复数的代数表示法及其几何意义考向二．复数的运算考向三．共轭复数命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一复数的运算1．（2023•新高考Ⅰ•第2题）已知z=1−i2+2i，则zA．﹣i B．i C．0 D．1【答案】A解：z=1−i则z=故z−z=−故选：A．考向二复数的代数表示法及其几何意义2．（2023•新高考Ⅱ•第1题）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．【命题意图】考查复数的相关概念与四则运算，考查运算求解能力．【考查要点】复数是高考考查热点之一，以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数的几何意义；④复数的模．【得分要点】1．复数的四则运算(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．复数的几何意义(1)z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→))．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．考向一．复数的代数表示法及其几何意义1．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A．解：∵＝＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限．考向二．复数的运算2．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i【答案】D．解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．考向三．共轭复数3．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D．解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．4．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i【答案】C．解：∵z＝2﹣i，∴z（+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．分析近三年的高考试题，可以发现复数考察四个考点：复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。预计2024年还是主要体现在这四个考点上出题。一、单选题1．（2023·陕西咸阳·武功县模拟预测）已知复数，若的共轭复数为，则（

）A． B．5 C． D．10【答案】B解：.2．（2023·安徽合肥·二模）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B解：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A解：，在复平面内对应的点在第一象限.4．（2023·江苏徐州模拟预测）已知复数，其中i是虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】C解：设，，则，故，，，5．（2023·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】B解：因为，所以，所以，所以的最大值为．6．（2023·河南开封·统考三模）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】D解：因为复数对应的点的坐标为，所以，所以.7．（2023·宁夏银川·统考一模）已知复数在复平面内对应的点是，则（

）A． B． C． D．【答案】B解：复数在复平面内对应的点为，则，所以.8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A解：因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限；9．（2023·湖南常德市模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】D解：由对应点为，则对应点为，故，所以.10．（2023·河北沧州·统考三模）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是（

）A． B． C． D．【答案】B解：由于，其实部和虚部均为，而与的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以是的同部复数.11．（2023·海南海口模拟预测）设，其中，为实数，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A解：，∴，，.12．（2023·吉林长春模拟预测）复数的平方根是（

）A．或 B． C． D．【答案】A解：设的平方根为，则，即，从而解得或所以复数的平方根是或，13．（2023·陕西安康中学模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D解：，由已知得，解得，14．（2023海南华侨中学一模）设i为虚数单位，复数满足，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】A解：∵，∴.15．（2023·广西模拟预测）已知复数满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C解：设，依题意得，，.解得，，所以.16．（2023·江西南昌十中模拟预测）如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数（

）A． B． C． D．【答案】D解：由图可知，点的坐标为，故，则.17．（2023·河南郑州模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（

）A．2 B．3 C．2i D．3i【答案】B解：由题可得，故，其虚部为3，18．（2023·河南南阳中学三模）已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B解：因为，则，所以在复平面上所对应的点为位于第二象限.19．（2023江苏省镇江中学三模）已知复数（为虚数单位），在复平面上对应的点分别为.若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数为（

）A． B． C． D．【答案】B解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，所以，设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，所以，所以，所以，所以，所以，20．（2023·河南郑州模拟预测）已知（a，，i为虚数单位），则复数（

）A．2 B． C． D．6【答案】B解：∵，∴，∴，解得，所以．21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数，其中为实数，且满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．2【答案】D解：依题意，，而为实数，则，解得，所以复数的虚部为2.22．（2023·河南模拟预测）已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D解：∵，∴复数z所对应的点为，位于第四象限.23．（2023·云南曲靖模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】C解：.24．（2023·河北沧州模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一，四象限 D．第二、三象限【答案】D解：设，所以，所以，解得，所以，25．（2023·安徽·合肥一中模拟预测）若复数满足，则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A解：因为，所以，所以，所以的虚部是，26．（2023·湖南益阳安化县第二中学三模）已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B．5 C． D．2【答案】A解：因为，所以，故复数的虚部为.27．（2023·江苏·金陵中学三模）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D解：因为，所以点位于第四象限.28．（2023·湖南长沙·周南中学二模）若复数，则（

）A． B． C．4 D．5【答案】D解：因为，所以所以，所以.29．（2023·福建泉州·五中模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C解：设，因为，所以，因为，所以相当于圆上的点到点距离，所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.

30．（2023·云南模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B解：已知，是方程的两个复根，所以，则设，，所以，31．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C解：根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.32．（2023·新疆喀什模拟预测）已知，则在复平面内的坐标是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C解：设，由，得，，解得，，或，，所以，或，则在复平面内的坐标是或.二、多选题33．（2023·重庆·统考二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若且，则 D．若，则【答案】BCD解：对于A，若，例如：，则，故A错误；对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；对于C，由，则，∵，∴，故C正确；对于D：若，则，故D正确.34．（2023·重庆一中模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD解：设复数，若，因为，则无解，所以，将代入，可得，，即，所以，解得，所以，又因为，设，所以，所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，所以，从而最大，故B错误；若，，则，所以当，或，时，则，C正确；若，此时，则，A正确；若，此时，则，D正确；35．（2023·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（

）A． B．C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为【答案】ABC解：由题意设，则．因为为纯虚数，所以，且，因此，在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C正确；，所以B正确；表示圆上的点到点的距离，且最大距离为，所以D不正确．36．（2023·河北石家庄三模）已知复数，复数满足，则（

）A．B．C．复数在复平面内所对应的点的坐标是D．复数在复平面内所对应的点为，则【答案】AD解：由已知，其对应点坐标为，C错；，A正确；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，因此，B错误；对应点坐标为，因此D正确．37．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是虚数单位，复数，，则（

）A．任意，均有 B．任意，均有C．存在，使得 D．存在，使得【答案】AD解：根据复数的概念可知不能与实数比大小，故B错误；由复数的模长公式可得，易知，且不能同时取得等号，故，即A正确；即动点E到动点F的距离，显然E在抛物线上，F在单位圆上，如图所示，

当时，，故D正确；若存在，使得，则，由上知，即上述方程组无解，故C错误；三、填空题38．（2023福州第一中学三模）已知复数，满足，，则的最大值为_____________.【答案】4解：设，则，所以，即，，，当时，则取得最大值，最大值为.39．（2023·上海华师大二附中模拟预测）复数满足，则________.【答案】解：设，则，所以则，所以，解得：，所以，故.40．（2023·福州第一中学二模）已知复数，若在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的__________.【答案】中的一个均可解：复数，可得，当时，可得，此时复数对于点点位于第四象限，当时，符合题意.41．（2023·广东佛山模拟预测）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则______.【答案】解：因为是关于的方程的一个根，所以也是关于的方程的一个根，所以且，所以，，，所以.42．（2023·安徽蚌埠三模）已知，为虚数单位，若复数，，则______．【答案】解：因为由，得，得．43．（2023·上海华师大二附中三模）在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．【答案】2解：由题意可知，所以，44．（2023·上海复旦附中模拟预测）已知复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是是坐标原点，若A在第一象限，且，则________.【答案】解：设，则由共轭复数的概念可得：，由得：，因为，所以，故，故.45．（2023福州第一中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则__________.【答案】解：由已知可得，，所以，所以，.46．（2023·天津和平·耀华中学二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则______．【答案】解：,所以，所以.三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意