2023年高考数学真题题源解密（新高考全国卷）专题10 立体几何综合（原卷版）

专题10立体几何综合目录一览2023真题展现考向一求二面角考向二求距离真题考查解读近年真题对比考向一求三棱锥体积考向二求二面角命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一求二面角1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．（1）证明BC⊥DA；（2）点F满足EF→=DA→，求二面角D﹣考向二求距离2．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．【命题意图】考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．【考查要点】命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．【得分要点】1．直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．（2）直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2．直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．（2）直线与平面垂直的判定：定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．3．二面角的平面角求法：（1）定义法．（2）三垂线定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延长（展）线（面）法．（5）射影公式．（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为①当0≤＜u→，v→＞≤π2，θ=＜u→，②当π2＜＜u→，v→＞考向一求三棱锥体积3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．考向二求二面角4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．5．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20小题）1．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4．（1）求证：AE∥平面BDG；（2）求三棱锥F﹣BDG的体积．2．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．（1）求证：CD⊥ME；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．3．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．（1）求证：AC⊥BC1；（2）设AC1与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C﹣ABC1的体积．4．（2023•平罗县校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．（1）证明：DF∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．5．（2023•新城区校级一模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求cos∠PCD．6．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB＝4，BC＝6．（1）证明：BF⊥平面EPF；（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．7．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，侧面BB1C1C⊥侧面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点．（1）求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．8．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD1的中点．（1）证明：BC⊥B1M；（2）若B1M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．9．（2023•南关区校级模拟）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，，且DE∥平面BCC1B1．（1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积；（2）求直线CC1与平面A1B1C所成角的正弦值．10．（2023•琼山区校级三模）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，，且DE∥平面BCC1B1．（1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积；（2）平面A1B1C与平面ABC所成角为α，CC1与平面A1B1C所成角为β，求证：．11．（2023•兴庆区校级四模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．（1）证明：BD⊥平面ACDE；（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积．12．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC的体积．13．（2023•郑州三模）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，其中AB＝2A1B1＝4．（1）求侧棱AA1与底面ABCD所成的角；（2）在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A1D？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．14．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E﹣ABG体积．15．（2023•江西模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝B1A＝B1C，D是AC的中点，AB1⊥BD．（1）证明：B1D⊥平面ABC；（2）若，点B1到平面ACC1A1的距离为，求三棱锥C1﹣A1B1C的体积．16．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1与△AB1C1均是边长为2的正三角形，且AA1＝．（Ⅰ）证明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB1C1C的体积．17．（2023•宛城区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2a的正三角形，侧棱AA1的长为，D，D1分别是棱BC，B1C1的中点，平面ADD1A1⊥平面CBB1C1，且∠ADD1≠90°．（1）求证：BC⊥CC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为，求它的体积．18．（2023•长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠PAB＝∠DAB＝，PA⊥PB，点E在线段PB上，CD⊥DE，平面PAB⊥平面ABCD．（1）求四面体E﹣PAD的体积；（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值．19．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，将△PAB绕着PA逆时针旋转到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点．（1）当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；（2）当PC∥平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．20．（2023•睢宁县校级模拟）在三棱台ABC﹣DEF中，G为AC中点，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．（1）求证：BC⊥平面DEG；（2）若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为，求三棱锥E﹣DFG的体积．二．平面与平面垂直（共3小题）21．（2023•江西模拟）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．（1）证明：平面PDE⊥平面POD；（2）点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值．22．（2023•开福区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．23．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求PB与平面ABCD所成的线面角的大小．三．直线与平面所成的角（共7小题）24．（2023•花都区校级模拟）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝．（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；（2）在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．25．（2023•雅安三模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中、四边形ABB1A1是菱形，且∠ABB1＝60°，AB＝BC＝2，CA＝CB1，CA⊥CB1，（1）证明：平面CAB1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BB1和平面ABC所成角的正弦值；26．（2023•白山四模）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB||CD，AD＝DC＝1，AB＝2，AC⊥PC．（1）证明：平面ABCD⊥平面PBC．（2）若，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．27．（2023•宁夏三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．28．（2023•贵阳模拟）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB＝CD，CD⊥CE，∠ADC＝∠EDC＝45°，AD＝，BE＝．（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；（2）设M为AE的中点，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值．29．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．（Ⅰ）求BC的长度；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．30．（2023•分宜县校级一模）在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连接A1B，A1P．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．四．二面角的平面角及求法（共23小题）31．（2023•广西模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．32．（2023•龙华区校级模拟）如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2正方形，，AC与BD交于点O，点E在线段SD上．（1）求证：SA⊥平面ABCD；（2）若OE∥平面SAB，求平面SAC与平面EAC所成夹角的余弦值．33．（2023•商丘三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AP＝2DC＝4，PB＝2AD＝4，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：直线MN∥平面ABCD；（2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．34．（2023•保定三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，D1，F分别是BC，B1C1，A1B1的中点，，△ABC的边长为2．（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）若三棱柱的高为1，求二面角B﹣EF﹣C1的正弦值．35．（2023•唐县校级二模）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，侧面ABED与ACFD均为梯形，AB∥DE，AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．（1）证明：平面ABED⊥平面ACFD；（2）求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小．36．（2023•道里区校级四模）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且＝＝，将半圆沿AD翻折如图2．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．37．（2023•万州区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．（1）求证：AB⊥B1C；（2）若∠B1BC＝60°，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．38．（2023•杭州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知CB⊥平面ABB′A′，AB＝2，且AB⊥BB′，A′C⊥AB′．（1）求AA′的长；（2）若D为线段AC的中点，求二面角A﹣B′C′﹣D的余弦值．39．（2023•徐州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，PA＝AD＝4，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，AD＝3AE．（1）求证：直线AM∥平面BNE；（2）从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为；②二面角N﹣BE﹣D的余弦值为．注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．40．（2023•锦州一模）如图一，△ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D，E分别是CA，CB边上的点，；如图二，将△CDE沿DE翻折，使点C到点P的位置，PO＝3．（1）求证：OP⊥平面ABED；（2）求二面角B﹣PE﹣F的正弦值．41．（2023•武功县校级模拟）如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，AB＝．（1）若P是AA1的中点，求证：平面PB1C1⊥平面PB1C；（2）若P是棱AA1上的点，直线BP与平面ACC1A1所成角的正切值为，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．42．（2023•海淀区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）若，二面角E﹣FC﹣D的大小为45°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．条件①：DE⊥PC；条件②：PB＝PC．43．（2023•枣强县校级模拟）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且．（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．44．（2023•密云区三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB＝2，AD＝AP＝4，M，N分别是BC，PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．45．（2023•日喀则市模拟）如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，2DE＝2BC＝AD＝AB＝AF＝2，AD⊥AF，ED∥AF，AD⊥AB，BC∥AD，G是线段BF上一点．（1）平面ABCD⊥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ADEF，设平面CEG与平面ABF所成角为θ，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由．46．（2023•郑州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点，AB＝BC＝2，∠AA1B1＝∠B1BC．（1）证明：BB1⊥AC；（2）若BB1⊥BC，直线AB1与平面BCC1B1所成的角的正弦值为，二面角A﹣BB1﹣C的大小为60°，求二面角B﹣B1D﹣C1的余弦值．47．（2023•招远市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，∠ACB＝60°，E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将△ADE沿ED翻折，使得面ADE⊥面BCDE，点M是棱AC上一点，且BM∥面ADE．（1）求的值；（2）求二面角M﹣BE﹣C的余弦值．48．（2023•凯里市校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AB1＝B1C．（1）证明：AC⊥B1B；（2）若AB＝BB1＝2，AB1＝，∠ABC＝120°，求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．49．（2023•合肥三模）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A1都是边长为2的菱形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，A1B⊥B1D．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若∠A1AB＝60°，求二面角A﹣B1C﹣B的余弦值．50．（2023•安徽模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，．（1）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（2）设E为棱BC的中点，线段AC，DE交于点F，C1F⊥平面ABCD，且C1F＝2，求平面ABC1与平面CBC1的夹角的余弦值．51．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．将△ADE沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使BM＝．（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．52．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA1B1B中，A1B1∥AB，AA1⊥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝6，直角梯形AA1B1B绕直角边AA1旋转一周得到如下图的圆台A1A，已知点P，Q分别在线段CC1，BC上，二面角B1﹣AA1﹣C1的大小为θ．（1）若θ＝120°，，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA1B1B；（2）若θ＝90°，点P为CC1上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA1C1C所成最大角的正切值，并求此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．53．（2023•安徽模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B上一点，AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若，AB＝BC＝2，P为AC的中点，求二面角A﹣A1B﹣P的余弦值．五．点、线、面间的距离计算（共7小题）54．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝4，AB＝AD＝2．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求点D到平面PBC的距离．55．（2023•琼海校级模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4，AB＝2，点M，N，P分别是BB1，B1C1，BC的中点，点Q为棱CC1上一点，且直线AA1和PQ所成的角为．（1）求证：PQ∥平面AMN；（2）求点P到平面AMN的距离．56．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．（1）证明：PE∥平面BFG；（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．57．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离．58．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点．（1）证明：AE⊥平