新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性分层精练（解析版）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精练（分层练习）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知为奇函数，且时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】为奇函数，且时，，.故选：D2．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【详解】是定义在上的奇函数，所以，，所以是周期为的周期函数，所以.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是A． B． C． D．不能确定【答案】A【详解】是偶函数，其定义域为，且在，上是减函数，则，且，则，故选．4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵为定义在上的奇函数，∴，即（①）∴将①式中的替换为得，∴（②）∴由①、②得，，即，是周期为的周期函数，又∵为定义在上的奇函数，且，∴，，，∴.故选：B.5．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）已知是上的偶函数，且，当时，，则（

）A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75【答案】D【详解】由得，，故，所以4是的一个周期，故，故选：D．6．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知是偶函数，函数对任意，且，都有成立，且，则的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为是偶函数，即的图象关于对称.所以的图象关于对称.因为函数对任意，且，都有成立，所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，，所以在为减函数，且.用折线图表示函数的单调性，如图所示：由图知：.故选：D.7．（2023·山西·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数.当时，，则（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【详解】因为函数满足，所以关于对称，即①.又因为为奇函数，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函数的周期为，所以，令，则由②，得，所以.故选：B.8．（2023秋·陕西西安·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数满足，所以有：，，函数满足在上单调递增，由，所以，即，故选：A二、多选题9．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有，则下列结论正确的是（

）A． B．是偶函数C．是周期为4的周期函数 D．【答案】ABC【详解】的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确；中，令得：，因为，所以，解得：，A正确；故，是周期为4的周期函数，C正确；对，，当时，都有，故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，故，，因为，所以，D错误.故选：ABC10．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（

）A．B．若，则或C．若，则D．，使得【答案】ABD【详解】由①，，得为偶函数，②，，当时，都有，所以在上单调递减，故,故A正确；对于B，由,可得或，解得或，故B正确；对于C，由，得，若，则或，解得，故C错误；对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，，使得，故D正确．故选：ABD三、填空题11．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）一个机器人一秒前进一步或后退一步，程序员设计的程序是让机器人以“先前进3步，再后退2步”的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正方向在数轴上移动（1步的距离就是1个单位长度），令表示第秒机器人所在的点对应的实数，记，则__________．【答案】【详解】有题意可知：此运动以5秒为一个周期，一个周期向前运动一个单位长度，故，故，故答案为：40712．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，_________.【答案】##0.5【详解】是定义在上的偶函数，有，由，设，则，，得，则函数周期为2，所以.故答案为：四、解答题13．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知函数.(1)判断函数奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义说明理由.【答案】(1)为奇函数，理由见解析(2)在上单调递增，理由见解析【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：函数的定义域为，关于原点对称，，满足奇函数定义；所以为奇函数.（2）在上单调递增，理由如下：在上任取，则因为，所以，故，即所以，所以在上单调递增.14．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当，时，．（1）求证：是周期函数；（2）当，时，求的解析式；（3）计算的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.【详解】（1）证明：，．是周期为4的周期函数．（2）当，时，，，由已知得，又是奇函数，，．又当，时，，，．又是周期为4的周期函数，．从而求得，时，．（3），（2），（1），（3）．又是周期为4的周期函数，（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．而，所以.15．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且.(1)求函数和的解析式；(2)判断在上的单调性，并给出证明.【答案】(1)，(2)单调递减，证明见解析【详解】（1）由，可得，由为偶函数，为奇函数，可得，则，；（2）由（1）得在单调递减，证明如下：取任意，由，可得，则，则，则，则在单调递减.B能力提升1．（多选）（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（

）A．直线是的对称轴B．是的对称中心C．D．不等式的解集为【答案】AD【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误；又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，故选：AD．2．（多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称【答案】BC【详解】依题意，上的函数，，则，函数的周期为4，A错误；因为函数是偶函数，则，函数的图象关于对称，且，即，函数图象关于对称，B正确；由得，则函数为偶函数，C正确；由得，由得，因此，函数的图象关于对称，D错误.故选：BC3．（多选）（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．【答案】AC【详解】在中，令，可得，即，解得，故B错误；令可得,即，故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；令，则，故，令，可得,故，故C正确；因为是偶函数，所以，故,即，所以,所以，故函数的周期为2，因为，，所以，.所以，故D错误.故选：AC.4．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）若函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则__________.【答案】##-0.25【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.又，令，则即，所以，所以，所以是周期函数，周期，因为当时，，所以.故答案为：5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.【答案】

(答案不唯一)【详解】因为，所以，的最小正周期为.因为，所以函数关于点对称，满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.故答案为：；（答案不唯一）.C综合素养1．（多选）（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）已知定义在上的非常数函数满足，则（

）A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数【答案】AB【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.故选：AB.2．（多选）（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（

）A． B．周期C．在单调递减 D．满足【答案】AC【详解】由，可得的对称轴为，所以又由知：，因为函数图像关于对称，即，故，所以，即，所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误；因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，又图像关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确；根据的周期为，可得，因为关于对称，所以且，即，由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增，如图所示的函数中，此时，所以不正确.故选：AC.3．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数是在定义域上严格增的奇函数，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】函数是在定义域上严格增的奇函数，，即，所以，解得.故答案为：4．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为_________．【答案】【详解】令函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数．由，得，则，则