高考数学必背知识点归纳与总结及例题解析

高考所有知识点

高中数学专题一集合

一、集合有关概念

集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性互异性无序性

（1）集合的表示方法：列举法与描述法。

♦注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集

R

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：ZqB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与

B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作

A3或B2A

2.“相等”关系:A=B（525,且5W5,则5=5）

即：①任何一个集合是它本身的子集。AcA

②真子集:如果AqB,且AwB那就说集合A是集合B的真子

集，记作A.B（或B*A）

③如果AcB,BcC,那么AcC

④如果A=B同时BcA那么A=B

3.不含任，可元素的集合叫做空集，记为中

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真

子集。

♦有n个元素的集合，含有2n个子集，2nT个真子集

♦高考试题

♦3.不等式(l+x)(l—|x|)>0的解集是()

♦A.{xI0<X<1}B.{*|%<0且工工-1}

♦C.{x|-l<x<l}D.{%|%<1且*#-1}

k1

♦5.设集合M={x|x=^+Z},N={x|x=Q+5，%eZ},贝U(

A.M=NB.MuNC.MnND.MCN=0

6.设A、B、I均为非空集合，且满足AQBCl,则下列各式中第送的是(

A.(C/A)UB=IB.(CzA)U(CzB)=l

C.ACl(C/B)=。D.(C/A)n(GB)=C/B

(2)设/为全集，，、S]、S3是/的三个非空子集，且S|US2US3=/,则下面论断正

确的是()

(A)GS]c($2D$3)=①(B)5,£(C/52nC/53)

(C)GWCC/S2CC/S3=0>(D)5,C(C/52<JC,S^)

⑴、设集合M={小2-x<0},N={x||x|<2},则()

A.MnN=0B.MC\N=M

C.MUN=MD.MUN=R

5.设集合{l,a+b,。}={0,2,处，则b-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

1.函数y=Jx(x-l)+4的定义域为()

A.{x|x2o}B.{x|xNl}

C.{x|xNl}U{。}D.{x|OWxWl}

(1)已知集合4={1,2,3,4,5},B={(x,y)\xeA,yeA,x-yeA},则8中所含元素

的个数为()

(A)3(B)6(C)8(D)10

2.已知全信U=(1,2,3,4,5),集合4=*€2k-3|<2},则集合C队等于()

(A){1,2,3,4}(B){2,3,4}(C){1,5}(D){5}

2.已知全集。={1,2,345},集合Z={x|x?—3x+2=0},5={x|x=2a,aeA},则

集合乐(NUB)中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

1.设不等式x40的解集为M,函数/(x)=ln(l—|x|)的定义域为N,则McN为

()

(A)[0,1)(B)(0,1)(C)[0,1](D)(-1,0]、

1.集合A={x|-l<x<2},B={x|x<l},则〃n(58)=(D)

(A){x|x>l}(B){x|x>l}(C){xI1<X<2}.(D){xI1<X<2}

1集合M={"lgx>优Af={x|?<4)则"nN=

)

(A)(L2)(B)区2)©(L2]⑺)[L2]

1、设全集为R，函数/(*)=JI二7的定义域为M,则C«M为()

A、[—1,1]B,(-1,1)(—<»,—l]U[l,+°°)(—U(1,+°°)

答案DBCBC-D

答案BBADC-

高中数学专题二复数

一.基本知识

[11复数的基本概念

(1)形如a+历的数叫做复数(其中a,beR);复数的单位为i,它的平方

等于一1,即i2=-i.其中a叫做复数的实部，，叫做虚部

实数：当b=0时复数a+bi为实数

虚数：当吐0时的复数a+8i为虚数；

纯虚数：当a=0且办0时的复数a+6i为纯虚数

(2)两个复数相等的定义：

q+4=c+di<=>a=。且6=d(其中，b,c,d,wR)特另U地〃+/〃'=0=a=Z?=0

(3)共掘复数：z=a+bi的共规记作N=

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z=a+bi,对应点

坐标为p(a,b)；(象限的复习)

(5)复数的模：对于复数2=。+次，把忖="2+从叫做复数z的模;

[2]复数的基本运算

设z]=q+&i,z2=a2+h2i

(1)加法：Zi+z2=(%+〃2)+(4+4)i;

(2)减法：z]—z?=(q—a2)+(4—4)”；

(3)乘法：z)-z2=^aAa2-b1b2)+^a2b]+a]b2)i特别zN="+〃。

(4)基运算：i'=ii2=-1i3=-ii4=\i5=ii6=-1.......

[3]复数的化简

z--------(a,b是均不为0的实数)；的化简就是通过分母实数化的方法将分母

a+bi

c+dic+dia—bi(ac+bd)+(ad-be)i

化为实数:z—-------=-----------------=----------------------------

a+bia+bia-bia2+b2

对于z=丝@g.bHO),当£=《时Z为实数；当z为纯虚数是z可设为

a+br'ab

Z=仁生=羽,进一步建立方程求解

a+bi

二.例题分析

【变式2](2010年全国卷新课标)已知复数2=*二,则z・1=

(1-V3/)2

11

A,-B.-C.lD.2

42

【例4】已知4=2-J,z2=-3+2z

(1)求4+Z2的值；

(2)求Z1"2的值;

(3)求I%.z2].

【变式1]已知复数z满足(z-2)i=l+i,求z的模.

【变式2】若复数(1+3)2是纯虚数，求复数1+出的模.

[例5](2012年全国卷新课标)下面是关于复数2=上的四个命题：其中

—1+/

的真命题为()

2

.Pi：回=2p2:z=2ip3:z的共轨复数为1+iP4:z的虚部为-1

(A)p2,pi(B)p{,p2(C)p2,pA(D)P3N

【例6】若复数z=9(ae&)(i为虚数单位)，

1-2/V7

(1)若z为实数，求a的值

(2)当z为纯虚，求a的值.

【变式D设a是实数’且号+子是实数，求。的值..

【变式2】若z="(x)eR)是实数，则实数刈的值是_________________,

1+XZ

【例7】复数z=cos3+isin3对应的点位于第---象限

【变式1】i是虚数单位，(3)4等于()

1-1

A.iB.-iC.1D.-1

【变式2】已知7彳=2+i,则复数z=()

1+i

(A)-l+3i(B)l-3i(C)3+i(D)3-i

【变式3】i是虚数单位，若——=a+bi(a,beR),则乘积曲的值是

2-z

(A)-15(B)-3(C)3(D)15

【例8】(2012年天津)复数z=3=(

)

3+z

(A)2+i(B)2—z(C)—2+i(D)-2-i

2i3

【变式4](2007年天津)已知i是虚数单位,

l^i)

A1+iB-1+iC1-iD.-1-i

【变式5】.(2011年天津)已知i是虚数单位，复数匕卫=(

)

1-Z

A2+zB2-/C-l+2zD-l-2z

【变式6](2011年天津)已知i是虚数单位，复数土卫=(

)

1+2/

(A)l+i(B)5+5i(C)-5-5i(D)-l-i

高中数学专题三函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、

奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、

事函数、一次、二次函数、反比例函数、导数)

第一章、函数的有关概念

1.函数的概念：y=f(x),xGA.自变量x;定义域A；函数值y,函数值的集合｛f(x)|x

GA｝叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数X的集合称为函数的定义域。

实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无

关)：②定义域一致(两点必须同时具备)

2.值域：先考虑其定义域

4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

5.映射

A、B集合，对应法则f,A中的任意一个元素x,在集合B中

都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：ATB为从集合A

到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)7B(象)”

对于映射公4f6来说，则应满足：

(1)集合力中的每一个元素，在集合方中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合8中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合6中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

补充：复合函数

如果y=f(如(uGM),u=g(x)(xGA),则y=f[g(x)]=F(x)(xGA)称

为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X”X2,当x〈X2

时，都有f(xi)<f(xz),那么就说f(x)在区间D上是增函数区间D

称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xi,xz,当xKx；时，都

有f(xi)>f(X，，那么就说f㈤在这个区间上是减函数.区间D称

为y=f(x)的单调减区间.

(2)图象的特点

增函数上升，减函数下降.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

(t)任取x”XzCD,且XKX2；

②作差f(xj—f(X2)；

(C)复合函数的单调性

其规律：“同增异减”

注意:不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(])偶函数

f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

©确定f(-X)与f(x)的关系；

③作出相应结论：若f(—x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则

f(x)是偶函数;若f(—X)=—f(X)或f(―x)+f(x)=0,则f(x)

是奇函数.

注意：定义域关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.

若对称，(2)由士或/)=±1来判定；(3)

利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

(1)要求两个变量之间的函数关系时，一是对应法则,二是定义

域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

①(配方法)

②利用图象

@利用函数单调性

题目练习：

1.求下列函数的定义域：

⑴6-215(2)卜=卜_(02

)卜+3卜3-Vx+r

2.设函数/(x)的定义域为[0,1],则函数/(x?)的定义域为_____

3.若函数/(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数/(2x-l)的定义域是

x+2(x<-1)

4.函数/(X)=_2(T<X<2)，若〃x)=3，则》=----------

2x(x>2)

5.求下列函数的值域：

(l)y=%2+2%一3(XGR)(2)j；=x2+2x-3xe[1,2]

(3)y=x-\/\-2x(4)y=V-x2+4x+5

6.已知函数/(工一1)=/一4工，求函数的，/(2x+l)的解析式

7.已知函数用满足M»+/(f)=3x+4,则f(x)=o

8.设用是R上的奇函数,且当X£[0,+8)时,/(x)=X(1+A/X),则当X£(-8,0)时/(%)二_

在R上的解析式为_________________________

9.求下列函数的单调区间：

(1)y=x2+2x+3(2)y=yj-x2+2x+3⑶=x2-6|x|-1

10.判断函数y=-x3+l的单调性并证明你的结论.

11.设函数"x)=E判断它的奇偶性并且求证：/(l)=_/(x)

I-XZX

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(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、

奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、

孱函数、一次、二次函数、反比例函数、导数)

第二章基本初等函数

一、指数函数

2.分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定：

m____

anwN*,n>l)

-%]1*

an=——=.—(a>0,加,〃wN\n>1)

♦0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数累没有意义

3.实数指数基的运算性质

(1)ar•ar=a'a

(a>0,r,seR)；

⑵(优)』”

(a>0,r,sGR)；

(3)(ab)r=aras

(a>0,r,5eR).

（-）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：歹=屋（。>0,且awl）,函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>l0<a<l

\

/\

定义域R定义域R

值域y>0值域y>0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定函数图象都过定

点（0,1）点（0,1）

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：x=log„N（a-底数，N—真数，log“N

一对数式）

说明：（D注意底数的限制a〉0,且aHl；

（2）a*=N=log“N=x；

两个重要对数：10g“N

①常用对数：以10为底的对数IgN

②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数InN.

（二）对数的运算性质

如果a>0,且awl,A/>0,N>0,那么：

①loga（Af•N）=log„M+log„N；

M

②7=log."—log”；

n

③logaM=nlognM（wGR）.

注意：换底公式

log,b=fg。—（。>0,且4声1；。〉0,且。，1；6>0）.

log"

利用换底公式推导下面的结论

1

（1）log=—nlogZ>；（2）logb=-------.

mafllog"

（-）对数函数

1、对数函数的概念：y=log„x（a>0,且aHl）,函数的定义

域是（0,+8）.

②对数函数对底数的限制：伍>0,且awl）.

2、对数函数的性质：

a>l0<a<l

1I一一

——

1/

ijX/i

1

~~0]'10

11

定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过函数图象都过定点

定点(1,0)(1,0)

（三）黑函数

1、基函数定义：丁=》［（“6&）,其中a为常数.

2、基函数性质归纳.

（1）图象都过点（1,1）；

（2）a>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+。。）上是

增函数

（3）a<0时.，募函数的图象在区间（0,+8）上是减函数.

例题：

25310g$27+22

2.计算：①log、2=；②24+|°«=3=

log2764

3.函数y=log।（2X2-3X+1）的递减区间为

2

4.若函数/（工）=10自耳0<4<1）在区间［q2a］上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知/（x）=i°g与°>0叱1），（1）求/（力的定义域（2）求使/“）>o的X的取值范围

421-X

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第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：把使/(x)=0成立的实数x叫做函数

y=f(x)(xG。)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数

根，亦即函数y=/(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程/(x)=0有实数根=函数歹=/(x)的图象与x轴有交

点=函数y=/(x)有零点.

3、函数零点的求法：

①(代数法)求方程/(x)=0的实数根；

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

y=/(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数y=ax2+bx+c(a丰0).

(1)△>0,方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图

象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.

(2)0,方程以2+队+。=0有两相等实根，二次函数的图

象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程ax?+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x

轴无交点，二次函数无零点.

高考试题

8.(2007)若函数f(x)的反函数为/(X),则函数f(x-l)与/(X-1)的图象可能是(D)

11(2007).f(x)是定义在(0,±8)上的非负可导函数，且满足疗冈+/仞WO,对任意正数a、

b,若a<b,则必有(C)

A.af(b)^bf(a)Q.bf(a)Waf(b)

C.af(a)^f(b)D-bf(b)^f(a)

13(2007),Umf---------------------]=1/3•

7(2008).已知函数/'(x)=2"+3,/T(x)是/(x)的反函数，若加〃=16(m,ne,R+),

则/T(加)+/々(〃)的值为(A)

A.-2B.1C.4D.10

y21,

10(2008).已知实数x,y满足<yW2x—1,如果目标函数z=x—y的最小值为—1,则实

x+yW加.

数加等于(C)

A.7B.5C.4D.3

11(2008).定义在R上的函数/(x)满足/(x+y)=/(x)+/(歹)+2肛(x,yeR),

/(I)=2,则/(一3)等于(B)

A.2B.3C.6D.9

3.(2009)函数/(%)=J2x-4(x24)的反函数为(B)

(A)/-1(X)=1X2+2(X>0)(B)/-'(X)=1X2+2(X>2)

.1,

(C)/-1(X)=-X2+4(X>0)(D)

/-I(X)=1X2+4(X>2)

5.若3sina+cosa=0,则——-——!-------的值为(A)

cosa+sin2a

(A)—(B)-(C)-(D)-2

333

3(2011).设函数f(x)(xeR)满足/(-x)=/(x),/(x+2)=f(x)，则函数N=/(x)

知B,D符合；由/(》+2)=/(%)得＞=/(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是

4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符合，故选B.

6.（2011）函数/（X）=五一cosx在［0,+8）内（）

（A）没有零点（B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点

【解】选B（方法一）数形结合法，令f（x）=Vx-cosx=0,则4=COSX,设函数y=4和

y=cosx,它们在［0,+8）的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数

/（0）=—1,f（―）=>0,所以/（x）=—cosx在xe［。，万］上有且只有一个零点.

12（2011）.设〃eN+，一元二次方程x2—4x+〃=0有颦藜根的充要条件是〃=.

12.设“€忆，一元二次方程x2—4x+〃=0有颦数根的充要条件是〃=.

【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算.

【解】户4土16二4〃=2±J””,因为x是整数，即2±J4--为整数,所以，4一V为整

2

数，且〃”4,又因为〃eN+，取“=1,2,3,4,验证可知〃=3,4符合题意：反之〃=3,4时，可推

出一元二次方程x2-4%+〃=0有擎数根.

【答案】3或4

高中数学专题三函数

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第四章、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与X轴平行

或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°<180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用k表示。即％=tana。

当a=90°时,左不存在。

②过两点的直线的斜率公式：左=之二2"（王。/）

x2一项

（3）直线方程

①点斜式：y-必=-x-X|）直线斜率k,且过点（X]，M）

注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是产力。

当直线的斜率为90。时，它的方程是X=Xi。

②斜截式：y=kx+b,直线斜率为A,直线在y轴上的截距为6

③两点式：）»=二二（x产X2，%H%）直线两点（不乂），（x2,y2）

%一%々一的

④截矩式：-+^=1

ab

其中直线/与x轴交于点（4,0）,与y轴交于点（0力）,即/与x轴、y轴的截距分别为a,6。

⑤一般式：Ax+By+C=Q（A,8不全为0）

注意

平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（-）平行直线系

平行于已知直线4）x+8v+Co=O（4，线是不全为0的常数）的直线系：

4x+g）y+C=0（C为常数）

（二）过定点的直线系

（i）斜率为k的直线系：、一乂）=左（、一%），直线过定点（x°,%）：

（ii）过两条直线4：4x+8/+G=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程

为

（A{x+Bxy+Cj+A（A2x+B2y+C2）=0（4为参数），其中直线乙不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当/[：y=+4,，2：y=+4时，

lx/〃2=0二-2，&W_2；ZjJ_/2<=>kxk2——1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直前，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

4：4%+Ay+G=0/2：421+32^+。2=0相交

交点坐标即方程组（4X+8J+G=°的一组解。

[J2x+B2y+C2=0

方程组无解=/J〃2；方程组有无数解=与4重合

（8）两点间距离公式：设/（七,必），8（马,巴）是平面直角坐标系中的两个点，

则|48|=>/-2—否）2+（8—%）2

（9）点到直线距离公式：一点尸（X。,打）到直线/1：（X+川+C=0的距离一出+打tC|

•JA2+B2

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

题目练习

例2.设曲线歹=^—在点（3,2）处的切线与直线4*+卜+1=0垂直，则。=（D）

X-1

A.2B.LC._LD.-2

22

14

例3.曲线y=+/+x在点（1,-）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A）

33

例4.已知直线人为曲线y=，+x—2在点（1,0）处的切线，乙为该曲线的另一条切线，

且4±/2,

（I）求直线4的方程；

（H）求由直线。和X轴所围成的三角形的面积.

高中数学专题三函数

（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、

奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、

事函数、一次、二次函数、反比例函数、导数）

第五章三角函数

12、同角三角函数的基本关系：⑴sii？a+cos2a=1⑵包4=tana

cosa

13、三角函数的诱导公式：

(l)sin(2^+6z)=sina,cos(2Z4+a)=cosa，tan(2Z〃+a)=tana(A：£Z).

（2）sin（〃+a）=-sina,cos（^+cr）=-cosa,tan（%+a）=tana.

（3）sin（-a）=-sina,cos（-a）=cosa,tan（-a）=—tana.

（4）sin（4一a）=sina,cos（乃一a）=-cosa,tan（7r-a）=-tana.

（5）sin-a）=cosa,cos（'-a]=sina.

（6）sin[£+aj=cosa,cos^y+=-sina.

14、函数歹=sinx的图象上所有点向左（右）平移网个单位长度，得到函数

y=sin（x+。）的图象；再将函数^=sin（x+p）的图象上所有点的横坐标伸长（缩

短）到原来的十倍（纵坐标不变），得到函数^=5诂（3+0的图象；再将函数

y=sin（ox+e）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不

变），得到函数^=Asin（0x+。）的图象.

函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的工倍（纵坐标不变）,

CO

得到函数

y=sin0r的图象；再将函数^=5亩。、的图象上所有点向左（右）平移回个单

CO

位长度，得到函数歹=sin（0x+0）的图象；再将函数歹=sin（sx+8）的图象上所

有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数

y=Asin（0r+°）的图象.

函数y=Asin（0r+0（A>0,69>0）的性质：

①振幅：A；②周期：T=女；③频率：/=-=—；④相位：a）x+（p；⑤初相：

coT2%

夕.

函数y=Asin（ox+9）+B,当时，取得最小值为Bin；当x=W时，取得

曰、11T

最大值为％ax，则A=5（为ax7min），B=~（ymax+ymin）»§=Z一石（玉<马）.

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y-cosxy=tanx

y=sinx

图

yu1

72

象0/i

定

义.R*r

RR<XXWk兀+—,a6Z►

域

[T』Hl]R

当x=2Z:^+y(ZeZ)当x=2k7r(kwZ)时，

时，乂3=1；当Kx=1；当x=2k兀+兀

最1a

既无最大值也无最小值

值

X-2k7T--例Z)时,y=-l.

2min

(丘z)时，wn=-l.

周2417t71

期

性

奇奇函数偶函数奇函数

偶

性

在2女万一工，2左万+色

_22

在\lkn-兀,2k兀]（kGZ）上

单(kEZ）上是增函数；在是增函数；在在

调

性[2%肛2左左+柯

,万…3兀

2k兀+—,2k兀H——（左eZ）上是增函数.

（左eZ）上是减函数.

(k€Z）上是减函数.

对对称中心对称中心

对称中心（就,0）（%eZ）

称倍,。卜叼

性对称轴GZ）

无对称轴

x=k7r+%{keZ)对称轴x=左九(AwZ)

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

(1)cos(6Z-/?)=cosacos+sin(7sinfi；

⑵cos(6T+=coscos/?-sin(7sin0；

⑶sin(a-0=sinacos夕一cosasin0；

⑷sin(a+/)=sinacos/?+cosasin；

⑸tan®—0=tana—tan/?

tana-tan0=tan(a-^)(1+tantanm)；

1+tancrtanft

⑹tan(a+/)=(tana+tan/?=tan(6r+^)(1-tan6rtan/?)).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴sin2a=2sinacosa.

cos2a+1

(2)cos2a=cos26f-sin26r=2cos2a-l=l-2sin2acos2a

2

.l-cos2a、

sin2a------------).

2

2tana

(3)tan2a=

1-tan2a

2

26、Asina+Bcosa=JA+B。sin(a+0,其中tan夕

27.正弦定理、余弦定理

正弦定理：在AABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R。

则有

JL_L_2R

sinA=sinB=sinC=

△ABC,余弦定理可表示为:

c2=a2+b2-2abcos(y)

同理，也可描述为：

b2=c2+a2-2cncos(p)

a2=b2+c2-2bccos((r)

高考试题

4(2007).已知sina=手，贝ljsin”。-cos4a的值为(A)

I3i3

(A)M⑻M©I①)y

16、(2012)(本小题满分12分)

已知向量a=(cosx,-，),b=(V3sinx,cos2x),XGR,设函数/(x)=a•).

2

(I)求f(x)的最小正周期；

兀

(II)求/(x)在［0,7］上的最小值和最大值.

17.(2007)(本小题满分12分)

设函数/(x)=o-b,其中向量。二(m,cos2x)力=(l+sin2x,l),x£R,且函数y=/(x)的图象经过点

(I)求实数m的值；

(II)求函数/(x)的最小值及此时x的值的集合.

解：(I)/(x)=atb=>(1+sin2x)+cos2x,

(7t\人・兀、兀c/1

—\=m\l+sin—H-cos—=2,得加=l.

由已知f⑷I2)2

得/(%)=I+sin2x+cos2x=l+V2sin!2%+-^-j,

(II)由(I)

・••当sin2x+；J=-l时，/(x)的最小值为1-7份，

由sin|2%+二=-1,得x值的集合为=E———9keZ>.

I48

17.(2008)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=2sin—cos--2>/3sin2—+>/3.

444

(I)求函数/(x)的最小正周期及最值；

(H)令g(x)=/(x+m),判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.

解：(I)•:/(x)=sin二+百(l-2sin2')=sin'+百cos±=2sin(土+乌

2422123

/./(x)的最小正周期T=芋=4兀.

2

当sin1+扑-1时，/(x)取得最小值-2；当5喟+1=1时，/(x)取得最大值2.

X兀•又g(x)=/(x+/J.

(H)由(I)知/(x)=2sin

23

/.g(x)=2sin

2cos—=g(x).

函数g(x)是偶函数.

17.(2009)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=/sin(0r+9),xe火(其中4>0,0>0,0<夕<5)的图象与x轴的

交点中，相邻两个交点之间的距离为看，且图象上一个最低点为M(F，-2).

(I)求/(x)的解析式；(II)当工€［专，5］，求/(x)的值域.

解(1)由最低点为M(g,-2)得A=2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为工得二=工，即T=〃，«=—=—=2

222T兀

947r

由点〃(5•,一2)在图像上的2sin(2x『+夕)二一2,即sin(g+夕)=一1

故加+夕=2左万一工，左wZ:.(p=2k兀一史上

326

又3E(0,y),：.§=%故/'(x)=2sin(2x+令

(2)VXG［二，刍，.•⑵+二4二刍

122636

当2x+^=&,即》=工时，/(x)取得最大值2；当2*+巳=主

62666

即X='时，/(X)取得最小值；，故/(X)的值域为卜1,2］

17.(2010)(本小题满分12分)

如图，A,B是海面上位于东西方向相聚5（3+百）海.里的两个观测点，现位于A点

北偏东45。，B点北偏西60。的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点

相距20近海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到

D点需要多长时间？

解：由题意知/8=5（3+百）海里，北k