重庆市三十2023年高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数的z=-l-2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

r22

2.已知£、后分别为双曲线c：彳-v4=1（。＞0,。＞0）的左、右焦点，过耳的直线/交C于A、8两点，0

为坐标原点，若。4，3耳，|A8|=|BF2\,则C的离心率为（

B.6C.V6D.不

XCOSX兀

3.函数./'(%)=,万上的图象大致为（

2x+2--

4.设复数二满足|z—2i|=|z+l],z在复平面内对应的点为（x,y）,贝！）（

A.2尤一4y-3=0B.2%+4y-3=0C.4x+2y-3=0D.2x-4y+3=0

5.已知函数="I

,当xe[m,+o。）时，/（x）的取值范围为（fo,e+2],则实数m的

3-2x,(x<In2)

取值范围是（）

—oo,----B.(-co,l]D.[In2,1]

2

6.已知命题P：“机=1”是“直线x-根y=0和直线x+/〃y=0互相垂直”的充要条件；命题4：对任意

aeR/（x）=x2+a都有零点；则下列命题为真命题的是（）

A.(「〃)△(-><7)B.〃A(F)c.p~qD.p^q

7.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CP/（居民消费价格指数），同比上涨4.5%,C77上涨的主要因素是

猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响。7上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CP/一篮子商品权重，根据该

图，下列结论错误的是（

交通相皿侪

143%

A.一篮子商品中所占权重最大的是居住

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C.猪肉在C/7一篮子商品中所占权重约为2.5%

D.猪肉与其他畜肉在C/V一篮子商品中所占权重约为0.18%

8.在ABC中，角A、B、。的对边分别为凡仇c,若。10113=2^皿8+。.则角B的大小为（）

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

3624

9.正项等差数列｛。,,｝的前〃和为S“，已知%+%-Y+15=0,则$9=（）

A.35B.36C.45D.54

10.已知定义在[0,+8）上的函数/*）满足/（x）=；/（x+2）,且当xe[0,2）时，/（©=一/+2尤.设/（x）在

[2〃—2,2”）上的最大值为a“且数列&｝的前〃项的和为S“.若对于任意正整数〃不等式

攵（5“+1）22〃一9恒成立，则实数上的取值范围为（）

S\「1）「3[「7）

A.0,+oo）B.—,+ooC.—,+℃D.—,+oo

11.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙

说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

12.曲线y=(ax+2)e'在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+。，则必=()

A.-4B.-8C.4D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”若S3=6,S6=—8,贝!|Sg=—.

2兀

14.已知单位向量a,b的夹角为彳,则\a-2b\=.

15.如图,在梯形ABC。中，AD//BC,AB=BC=2,AD=4,E,F分别是BC,CD的中点，若AE-Z)E=T，则

AFCD的值为•

16.如图，在等腰三角形ABC中，已知|A用=|AC=1,NA=120°,E、尸分别是边ARAC上的点，且

4'=，4用何=〃4。,其中44€(0,1)且丸+4〃=1,若线段ERBC的中点分别为M、N,贝聪叫的最小值

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断

加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取

男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.

领率

组距

安全意识强安全意识不强合计

男性

女性

合计

（I）求“的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

（II）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2x2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别

有关；

（皿）在（H）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数X的分布列及期望.

„„n(ad-bc)2“一,

附：=-------------------------,其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k]0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

M_1_2

18.（12分）数列｛《,｝满足q+2a2+36++na„=2---.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

⑵设"=（l+a“）j+a"£为也｝的前，，项和，求证：Tn<-.

19.（12分）等差数列｛4｝的前〃项和为S,,已知％+%=18,$6=36.

（I）求数列｛《,｝的通项公式及前〃项和为S,,；

(D)设7；为数列「一的前〃项的和，求证：T”<1.

IA+〃J

20.(12分)如图，在直角AAO8中，OA=OB=2,A4OC通过AAO8以直线04为轴顺时针旋转120。得到

(ZBOC=120°).点。为斜边A3上一点.点M为线段8C上一点，且加3=迪.

3

(1)证明：MO_L平面AQB；

(2)当直线与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角CD-O的正弦值.

21.(12分)在三棱锥S—ABC中，AABC是边长为2石的正三角形，平面&4C，平面ABC,SA=SC=2,M、

(2)求三棱锥3-CMN的体积.

22.(10分)设函数/(%)=2%2+alnx,(aeR).

(1)若曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为y=2x+m,求实数”、胆的值;

(2)若/(2x-1)+2>2/(x)对任意xe[2,+8)恒成立，求实数”的取值范围；

(3)关于x的方程/(x)+2cosx=5能否有三个不同的实根？证明你的结论.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.

【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.

2.D

【解析】

作出图象，取A3中点E,连接E尸2,设QA=x,根据双曲线定义可得x=2a,再由勾股定理可得到，2=7/，进而得

到e的值

【详解】

解：取48中点E,连接EF2,则由已知可得8FI_LEP2,FtA=AE=EB,

设为A=x,则由双曲线定义可得AB=2a+x,BFt-BF2=3x-2a-x=2a,

所以x=2a,贝!|EF2=2百a,

由勾股定理可得(4a)2+(26a)2=(2c)2,

所以c2=7a2,

则e=£=S

a

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题.对于圆锥曲线中求离心率的问题，关

键是列出含有“力,C中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.

3.C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在0<x<1时的符号，即可求解.

【详解】

由/(-%)=-:c°s：=_f(x)可知函数”X)为奇函数.

2+2

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B；

■7T

当0cxe—时，cosX>0,

2

,,、XCOSX、人力M3V

排除选项O，

2+2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

4.B

【解析】

设2=%+加，根据复数的几何意义得到X、>的关系式，即可得解；

【详解】

解：设2=%+贞

V|z-2tHz+l|,：.X2+(y-2)2=(x+l)2+y2,解得2x+4y-3=0.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.

5.C

【解析】

求导分析函数在x»ln2时的单调性、极值，可得xiln2时，/(x)满足题意，再在x<ln2时，求解〃x)We+2的

x的范围，综合可得结果.

【详解】

当x21n2时,r(x)=—(x—1乂e，—2),

令尸(x)>0,则In2cx<1；f'(x)<0,贝n>1,

...函数/（X）在（ln2,l）单调递增，在（1,m）单调递减.

函数/（力在x=1处取得极大值为/⑴=e+2,

二x2ln2时，/（X）的取值范围为（-8,e+2],

Aln2<m<l

又当x<ln2时，令/（x）=3-2x4e+2,则尤2—,即号4x<ln2,

]—e

:.---Wm</〃2

2

1—e

综上所述，〃?的取值范围为—,1.

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

6.A

【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.

【详解】

当机=1时，直线x-my=0和直线无+碎y=0,即直线为x-y=0和直线x+y=0互相垂直，

所以“相=1”是直线x-冲=0和直线x+my=0互相垂直”的充分条件，

2

当直线=0和直线x+，肛=0互相垂直时，m=1>解得加=±1.

所以“m=1”是直线x-，改=0和直线x+my=0互相垂直”的不必要条件.

Pt“加=1”是直线x-冲=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故"是假命题.

当。=1时，/（幻=/+1没有零点，

所以命题4是假命题.

所以（w）人（「q）是真命题，，人（「幻是假命题，"vq是假命题，，八q是假命题.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7.D

【解析】

A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.

食品占19.9%,再看第二个图，分清2.5%是在CP/一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CP/

一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.

【详解】

A.CP/一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的，故正确.

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.

C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CP/一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

8.A

【解析】

由正弦定理化简已知等式可得sinAtanB=2sinfisinA,结合sinA>0,可得tanB=2sinfi,结合范围Be(0,%),可

得sinB>0,可得cos5=J,即可得解3的值.

2

【详解】

解：VatanB=2Z?sin(B+C)=2/?sinA,

/.由正弦定理可得：sinAtanB=2sirLBsinA,

VsinA>0,

:.tanB=2sinB,

•.,8e(0㈤，sinB>(),

01

COS/J=—,

2

3

故选A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

9.C

【解析】

由等差数列｛4｝通项公式得%+%-牝2+15=(),求出生，再利用等差数列前〃项和公式能求出$9.

【详解】

正项等差数列｛4｝的前«项和s„,

+%—%+15=0,

%—-2a$—15—(),

解得％=5或%=-3(:舍)，

9

S9=—(a,+%)=9a5=9x5=45,故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质

%,+%=。,"+4=2%(〃+4=〃?+〃=2r)与前〃项和的关系.

10.C

【解析】

1

由已知先求出/(X)max=2"T,即为=2-,进一步可得Sn=2"-1,再将所求问题转化为k>含2对于任意正整

数〃恒成立，设g=言2,只需找到数列｛%｝的最大值即可.

【详解】

当2〃-2Wx<2〃时，则0〈x+2-2〃<2,/(%+2-2n)=-(x+2-2n)(x-2n),

所以，/(x)=2"T/[x_2(〃_])]=_2"T(x+2_2“)(x―2“)，显然当x=2〃_]时，

/(X)max=2"T，故4=2"，S„=号了=2"-1,若对于任意正整数«不等式

1—2

ME,+1)22〃—9恒成立，即女2"N2“一9对于任意正整数〃恒成立，即攵之号—对于任

_3_^2n—911—2n.11—2H八反力311

意正1整tah数"恒t成tv立v，设％=下「，q用—%=亍=，令/丁>°，解得〃<,，

令与之<°，解得〃>]，考虑到〃eN*,故有当〃W5时，｛%｝单调递增，

33

当时，有｛%｝单调递减，故数列｛%｝的最大值为。6=令=二，

264

3

所以2之77.

64

故选：C.

【点睛】

本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前"项和、数列单调性的判断等知识，是一道较

为综合的数列题.

11.C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

12.B

【解析】

求函数导数，利用切线斜率求出。，根据切线过点(0,2)求出。即可.

【详解】

因为y=(ax+2)e",

所以了=6"(,次+2+。)，

故A=>'k0=2+。=-2,

解得a--A>

又切线过点(0,2),

所以2=—2x0+。，解得b=2,

所以必=一8,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-42

【解析】

由邑，S6-S3,S9—S6成等差数列，代入53=6,1=-8可得59的值.

【详解】

解：由等差数列的性质可得：S3,S6-S3,Sg-S6成等差数列，

可得：2(56-53)=S3+59-S6,代入S3=6,S6=-8,

可得：S9=-42,

故答案为：-42.

【点睛】

本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.

14.布

【解析】

因为单位向量。乃的夹角为"，所以a8=|aHWcos?=-J,所以

\a-2b\=y/a?—4a)+4/=J1-4x(-^)+4=3.

15.2

【解析】

TT

建系，设设NA=6,由AE.DE=-1可得。=§，进一步得到C、尸的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.

【详解】

以A为坐标原点，A。为x轴建立如图所示的直角坐标系，设NA=9,则

0(4,0),8(2cos0,2sin0),E(l+2cos0,2sin8),C(2+2cos0,2sinO'),

所以AE=(l+2cosa2sin。)，避=(2cos。一3,2sin。)，由AE.0E=_I，

得(1+285。)(285。一3)+45皿2。=一1,即COS，=g,又。6[0,何，所以

夕=g，故C(3,®F焉，乌),CD=(1,-A/3),AF=(口，坐),

所以AFVD=!-gB=2.

22

故答案为：2

【点睛】

本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

不

10.------

7

【解析】

UUUUUIU

根据条件及向量数量积运算求得AB-AC，连接AM,AN,由三角形中线的性质表示出AM,AN.根据向量的线性运算及

数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值•

【详解】

根据题意，连接AM,AN，如下图所示:

在等腰三角形ABC中，已知|=|AC|=1,=120。

则由向量数量积运算可知AB-AC=|AB,A4COSA=1X1XCOS120=-;

线段上户、BC的中点分别为M、N则

A/V=；（AB+AC）

由向量减法的线性运算可得=—+

2

2

所以MN.权色

2

二(H).2AC+2X^1-1A^|X|-1/ZxABAC

21

因为/L+4〃=i,代入化简可得MN2=0〃2_3_L=&"T

+—

42447

因为；I,(0,1)

1,1

所以当〃=亍时，政厂取得最小值亍

因而MN邛=也

minV77

故答案为：立

7

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法，二次函数最值的应用,属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(I)a=0.016.0.2(II)见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关(H)见解析，y

【解析】

(I)直接根据频率和为1计算得到答案.

(II)完善列联表，计算内=9>7.879，对比临界值表得到答案.

(0)X的取值为0/，2,,计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.

【详解】

(I)10(0.004x2+0.008+«+0.02x2+0.028)=1,解得a=0.016.

所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率P=0.16+0.04=0.2.

(II)

安全意识安全意识合

强不强计

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

计

(16X46-4X34)2X1QQ

K2=9〉7.879,

20x80x50x50

所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关

(HI)X的取值为0,1,2,

p(X=())=与="P(X=1)=4^=±P(X=2)=与=』,

或)95/95(J；。95

所以X的分布列为

X012

12323

P

199595

g„.、八3262

期44n望E(X)=—+—=-.

95955

【点睛】

本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18.(1)%=《(2)证明见解析

【解析】

(D利用S,,与4的关系即可求解.

(2)利用裂项求和法即可求解.

【详解】

31

解析：(1)当〃=1时，4=2—=—；

22

当心2,%=2-甯-卜玄，可得《,=£，

又•.•当〃=1时也成立，.•.。“=吩；

1

1______1

2"+1-2叫1

.U=2(1_____1__J_____1_11)

2+T-22+l+22+l-23+l++2"+1-2n+1+1)

_f111222

-2l3-2,,+l+lJ-3_2n+'+l<3

【点睛】

本题主要考查了S“与乙的关系、裂项求和法，属于基础题.

2

19.(I)an=2n-1,Sn=n(H)见解析

【解析】

(I)根据等差数列公式直接计算得到答案.

11111

(II)--=--=------根据裂项求和法计算得到7；=1--------得到证明.

【详解】

(I)等差数列｛为｝的公差为d,由%+%=18,56=36得%=9,4+4=12,

即4+4d=9,2a｛+5d=12,解得q=l,d=2.

***=2〃1,Sn=1+3+5++(2H—1)—n~.

11111

(II)s=n-2,:.---=-...=——-=------

n〃+〃〃(〃+1)nn+l

AT-―--=1—<1,即7；<1.

"223nn+\n+l

【点睛】

本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

20.(1)见解析；(2)生也

35

【解析】

(1)先算出OM的长度，利用勾股定理证明OM再由已知可得Q4_LOM,利用线面垂直的判定定理即可

证明；

(2)由(1)可得NM0O为直线与平面AQB所成的角，要使其最大，则。。应最小，可得。为43中点，然后

建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

【详解】

(1)在AMO8中，NO8C=30，由余弦定理得

0M=ylOB~+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

:.OM2+OB2=MB2,

：.OM±OB,

由题意可知：LOB,OALOC,OBOC=O,

...Q4_L平面COB,

OMu平面C06,：.OA±OM,

又。4OB=O,

二OM,平面AOB.

(2)以。为坐标原点，以OM，OB，0A的方向为％，>，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

VOM1平面AOB,：.MD在平面AQB上的射影是OD,

.••MO与平面AO3所成的角是NM。。，.INS9最大时，即点D为AB中点.

8(0,2,0),C(V3,-1,O),A(0,0,2),£>(0,1,1),CO=(—百,2,1),

08=(0/,—1),0D=(0,1,1),设平面CD8的法向量〃=(x,y,z),

nCD=0,—>/^x+2y+z=0[―

由，，得“9令z=l,得y=l,x=6

n•DB=0y-z=O

所以平面CDB的法向量〃=(6,1,1),

AZ?,CD—0^\j3x+2y+z=0

同理，设平面8。的法向量机=(x,y,z),由，得＜

'7m-OD=Qy+z=0

令y=l,得z=—l,x=《l,所以平面COO的法向量机=坐,1,一1

3I3

・•・cos<，〃,…晅，sin<〃，,…、户=心，

35V3535

故二面角8-CD—O的正弦值为生00.

35

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

A

21.(1)证明见解析；(2)立

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【解析】

(1)取AC中点O,连接SD,DB,证明AC,平面SDB,由线面垂直的性质可得AC_LS6；

(2)由VR-CMN=VNWMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积•

【详解】

解：(1)证明：取AC中点O,连接S£),DB.

因为S4=SC,AB=BC,所以ACJ_S。且AC_LBO,

因为SOBD=D,SDu平面SDB,BOu平面SZW,所以AC_L平面SQ3.

又SBu平面SDB,所以AC_LS6；

(2)解：因为AC_L平面SOB,ACu平面ABC,所以平面SOC_L平面ABC,

过N作NELBD于E,则NE,平面ABC,

因为平面S4CJ_平面ABC,SD1AC,平面SAC平面ABC=AC,SOu平面弘C,所以SO_L平面ABC,

又因为N£_L平面ABC,所以NEHSD,

由于SN=NB,所以NE=SD

所以S&CMB=CM-BM=号一，

所以％YMN=VN-CMB-SACMB-NEXg=4.

【点睛】