2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）1．（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】C【解析】由已知，，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，无最小值(m范围为开区间).故选：C2．（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等比数列的公比为，若，当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递减数列.当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时此时为递减数列.反之，若为递减数列，则，所以“对于任意的，”是“为递减数列”的充分必要条件.故选：C3．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，椭圆长轴长，过作于D，连，显然四边形为矩形，又，则，过作交延长线于C，显然四边形为矩形，椭圆焦距，所以椭圆的离心率．故选：A.4．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】满足，，，即，，在上单调，，即，当时最大，最大值为，故选：B.5．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，则直线所对的倾斜角为，，即，则，则，，，，又因为，，则，结合，解得，故选：B.6．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（

）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．【答案】A【解析】在区间上单调递增，由题意只需，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是.故选：A7．（2023·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（

）A．若，则取最大值时B．当时，取得最小值C．当时，随着的增大而增大D．当时，随着的增大而减小【答案】C【解析】对于选项A，在次射击中击中目标的次数，当时对应的概率，因为取最大值，所以，即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故A不正确；对于选项B，，当时，取得最大值，故B不正确；对于选项C、D，，，，当时，为正项且单调递增的数列，所以随着的增大而增大，故C正确；当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故D不正确；故选：C.8．（2023·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，取的中点，连接，，则，，过点作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，设最大球的半径为，则，因为∽，所以，即，解得，即，则，故设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，则，则，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九个球的表面积和为.故选：B9．（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】因为，所以设，的方程为：，具体如下图所示：连接，因为，直线与相切，所以，，连接，因为为的中点，所以，设，，则；当点和点在轴同侧时可得：，又因为，所以，当时有最大值，所以：的最大值为：；当点和点在轴异侧时可得：，又因为，所以，当时有最大值，所以：的最大值为：.综上可知：则的最大值为：.故选：A.10．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角形面积公式结合，可知，即，又由平方关系，所以，即，解得或（舍去），由余弦定理有，所以，令，所以，故只需求出的范围即可，由正弦定理边化角得，注意到在锐角中，有，简单说明如下：若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，所以在锐角中，有，所以在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增，所以，从而，而函数在单调递减，在单调递增，所以.综上所述：的取值范围为.故选：B.11．（2023·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，可作图如下：则，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故选：D.12．（2023·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为有唯一的零点，且为偶函数，则，可得，，所以数列是公差为2的等差数列.又，令，则为奇函数，因为，所以在上单调递增，由题意得，则，∵数列是公差为2的等差数列，其中，则，假设，因为是奇函数且在上单调递增，则在上单调递增，所以，∵，∴，与已知矛盾，故不成立；假设，同理可得，与已知矛盾，故不成立；综上，．故选：A13．（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D14．（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D15．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以平方得，，，即，，两式相加可得，即，故，.故选：D.16．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知平面向量，，满足对任意的都有，成立，且，，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】设，，则，因为任意都有，故是向量的模的最小值，故是的最小值即，即，同理，设平面向量共起点，因为，故的终点在的终点的中垂线上，故的终点和起点可构成如下图形：因为，故，而，则，所以，因，，故，四点共圆（据此可得在直径的同侧，否则与矛盾），故，所以；故选：B17．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，若，则（

）A． B． C．88 D．90【答案】B【解析】由得，①，则关于直线对称.另外②，则关于点对称.所以，所以，所以是周期为的周期函数.，，则，由②，令，得.所以，由②，令，得；所以，由①，令，得；令，得.由②，令，得；令，得，则，；，，以此类推，是周期为的周期函数.所以.故选：B18．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中，弧长为（）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥，其中，.已知时，，则廊桥的长度大约为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取中点，连接，由题，设圆心角，，所以，所以.故选：B19．（2023·江苏宿迁·高三校考阶段练习）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数有两个不同的零点,所以方程有两个不相等的实数根,所以有两个不相等的实数根,令，，所以当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，由于当，故函数的图像如图，、所以有两个不相等的实数根等价于.故选：B20．（2023·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【解析】因为函数是上的奇函数，所以，又因为的图象关于对称，所以，则，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，所以.故选：B.21．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C22．（2023·河北石家庄·高三河北新乐市第一中学校考阶段练习）连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若的图象是一条连续不断的曲线，，的导函数都存在，且的导函数也都存在．若，使得，且在的左、右附近，异号，则称点为曲线的拐点，根据上述定义，若是函数唯一的拐点，则实数k的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，因为是唯一的拐点，所以是唯一的变号零点，即无变号零点，即无变号零点，设，，，，，，所以，时，，当时，，，故，满足题意.故选：B．23．（多选题）（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，设t时刻两点重合，则,即，此时点，即，当时，，故A正确；当时，，即，故B正确；当时，，即，故D正确.由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.故选：ABD.24．（多选题）（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】BD【解析】若有两个友情点对，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时，；得其关于原点对称后的解析式为.问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点.对于，求导，令，解得：，即：当时，单调递增；令，解得：，即：当时，单调递减，为其极大值点，，又时，；时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即．故选：BD25．（多选题）（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）平面两两互相垂直且有一个公共点，，，，直线过点，则下列结论正确的是（

）A．若与所成的角均为，则与平面所成的角为B．若与平面所成的角相等，则这样的直线有且仅有1条C．若与平面所成的角分别为，则与平面所成的角为D．若点在上，且在的投影分别为，则【答案】AD【解析】由题意，平面两两互相垂直且有一个公共点，不妨平面放置在正方体的三个相邻面中，记平面为平面，记平面为平面，记平面为平面，则直线为，直线为，直线为，记正方体棱长为1，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图：则点、、、、、、、，又直线过点，再取上一点，设点，对于选项A，，，，因为与所成的角均为，即，所以，所以，所以，即，所以，即，易知平面的法向量为，设与平面所成的角为，则，又，所以，所以与平面所成的角为，正确；对于选项B，易知平面的法向量为，平面的法向量为，若与平面所成的角相等，则三个线面角的正弦值相等，所以，即，所以，所以或或或，则这样的直线有4条，错误；对于选项C，若与平面所成的角分别为，则，所以，，所以，所以，即，设与平面所成的角为，易知平面的法向量为，则，又，所以，所以与平面所成的角为，错误；对于选项D，因为点在的投影分别为，则，所以，又，所以，正确.故结论正确的是AD.故选：AD26．（多选题）（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（

）A．的面积的最大值为B．直线被圆截得的弦长的最小值为C．有且仅有一个点，使得为等边三角形D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线【答案】ACD【解析】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，所以，且，对于A选项，设点到直线的距离为，则，所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；故选：ACD27．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（

）A．球与圆柱的体积之比为B．四面体CDEF的体积的取值范围为C．平面DEF截得球的截面面积最小值为D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为【答案】AD【解析】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，四面体CDEF的体积，B错误；对于C，过作于，如图，而，则，又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，因此，，则，令，则，而，即，因此，解得，所以的取值范围为，D正确.故选：AD28．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值C．若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2D．若是等差数列，则三点、、共线【答案】BCD【解析】A项，时，，时，时，，所以，不是等差数列；B项，由已知可得，，又所以，，.所以，有最大值；C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以；D项，设三点分别为A，B，C，，则，，.则，，，所以三点共线.故选：BCD.29．（多选题）（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆､椭圆､双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（

）A．圆的面积为B．椭圆的长轴长为C．双曲线两渐近线的夹角正切值为D．抛物线的焦点到准线的距离为【答案】ABC【解析】A：由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，故圆的面积为，对；B：如下图轴截面中，作于，则长轴长，又，则，对；C：如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点O、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，设双曲线为，且，则，所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，故两条渐近线夹角正切值为，对；D：如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，则，故，设抛物线方程为，则，所以抛物线的焦点到准线的距离为，错.故选：ABC30．（多选题）（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．曲线在点处的切线方程为B．不等式的解集为C．若关于的方程有6个实根，则D．，，都有【答案】AC【解析】函数是定义在上的奇函数，，∵当时，，∴当时，，则，∴，，又∴曲线在点处的切线方程为，故A正确；∵∴令，则当时，，解得；当时，，解得；当时，，符合题意，故的解集为，故B错误；当时，，∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴当时，取极小值，在时，，函数是上的奇函数，图象关于原点对称，根据以上信息，作出的大致图象如图，由图可知，当时，，，，都有，故D错误．根据函数图象的变换规律，作出的大致图象如图，由图可知，当时，直线与的图象有6个交点，则关于的方程有6个实根，故C正确；故选：AC．31．（多选题）（2023·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（

）A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称C． D．【答案】ABD【解析】根据题意为偶函数可得，即可知，所以函数的图象关于对称，即A正确；由是偶函数可得为奇函数，所以满足，即，因此的图象关于点成中心对称，所以B正确；由可知，所以；即，所以的图象关于点成中心对称，因此，即C错误；易知，，由可得，联立可得；所以；即，易知是以为首项，公差的等差数列；所以代入等差数列前项和公式可知，即D正确；故选：ABD32．（多选题）（2023·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知数列满足，且对任意的正整数，都有，则下列说法正确的有（

）A． B．数列是等差数列C． D．当为奇数时，【答案】ABD【解析】由题意知，令，得，解得，故A正确.此时，令，得，从而，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确.所以，所以，所以，故C错误.令，得，所以，令，则k为奇数，则，又适合上式，所以当为奇数时，，故D正确.故选：ABD33．（多选题）（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（

）A．B．数列为等差数列C．当时有最大值D．设，则当或时数列的前项和取最大值【答案】ABD【解析】A选项，当时，，又，解得，当时，①，②，①-②得，，即，故，因为，所以不能对任意的恒成立，故，所以，故为等差数列，公差为，首项为，所以通项公式为，A正确；B选项，，故，则当时，，故为等差数列，B正确；C选项，，故当时，取得最大值，C错误；D选项，令得，令得，则当时，，当时，，当时，，当时，，又，，则当或时数列的前项和取最大值，D正确.故选：ABD34．（多选题）（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（

）A． B．为奇函数C． D．【答案】ACD【解析】由，得，等式两边同时求导，得即，故的图象关于点对称，故A正确；因为的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，即为偶函数，则，所以应满足（为常数），当时，不是奇函数，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为的图象关于点对称，关于轴对称，且，所以，，，在一个周期内，，所以，故D正确．故选：ACD35．（多选题）（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．C． D．【答案】BC【解析】由函数关于直线对称，可得，即，则函数关于直线对称，故选项C正确；由的图象关于点对称，可得，即，以2x代换x，则，所以函数关于点对称，可得，即，结合可得，所以，故选项B正确.所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项A、D错误；故选：BC36．（多选题）（2023·湖北·高三校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（

）A．若，则面积的最大值为B．若，则面积的最大值为C．若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3D．若为的中点，且，则面积的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以A错误；对于B，由余弦定理可得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为，故B正确；对于C，设，，则，，在和中，分别运用正弦定理，得和.因为，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为3，所以C正确；对于D，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则，所以，所以当即时，，D正确.故选：BCD.37．（多选题）（2023·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．的最大值大于C．， D．，【答案】BCD【解析】的定义域为，，故选项A错误；，故选项B正确；，故选项C正确；，，，当时，，，而在上单调递增，，当时，，故选项D正确，故选：BCD.38．（多选题）（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（

）A．点（0，0）是函数f（x）的零点B．∈（1，3），使f（）>f（）C．函数f（x）的值域为[D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）【答案】BC【解析】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于选项B，当时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，；当时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，．综上可得，选项B正确．对于选项C，，选项C正确．结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，则当时，，当变化时，，的变化情况如下：0+00+增极大值减极小值增极大值，极小值；当时，，当变化时，，的变化情况如下：120+e减极小值增极小值．综上可得，或，解得的取值范围是，故D错误．故选：BC．39．（多选题）（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）向量函数，则下述结论正确的有（

）A．若的图像关于直线对称，则可能为B．周期时，则的图像关于点对称C．若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则的最小值为D．若在上单调递增，则【答案】ACD【解析】，对于A选项，若的图像关于直线对称，则，所以，当时，，故A正确；对于B选项，当，则=2，令，，当时，，所以关于对称，故B错误；对于C选项，若的图像向左平移个单位长度后得到，所以，又，所以，故C正确；对于D选项，因为函数在上递增，所以，故D正确.故选：ACD.40．（多选题）（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（

）A．若是线段的中点，则平面平面B．若在线段上，则与所成角的取值范围为C．若平面，则点的轨迹的长度为D．若平面，则线段长度的最小值为【答案】AC【解析】对于A，如下图，，分别是线段，的中点，故，则，，所以，易知平面，所以，所以平面，从而平面平面，故A正确.对于B，正方体中，，所以与所成的角为与所成的角，连接，，则为正三角形，所以与所成角的取值范围为，故B错误.对于C，如下图，设平面与直线交于点，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，易知，所以平面.同理可得平面，所以平面平面，由此结合平面，可得直线平面，所以点的轨迹是线段，易得，故C正确.对于D，如下图，取的中点，的中点，的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，连接，，则，又，所以，所以平面，连接，，易知，又，所以，故，，，四点共面，所以平面平面.因为平面，所以平面，所以点的轨迹为线段.由知，，，连接，，在中，，所以，所以，得为直角，故线段长度的最小值为，故D错误.故选：AC．41．（多选题）（2023·江苏·高三校联考阶段练习）在中，，，则下列判断正确的是（

）A．的周长有最大值为21B．的平分线长的最大值为C．若，则边上的中线长为D．若，则该三角形有两解【答案】ABD【解析】A选项，，故，变形得到，解得，当且仅当时，等号成立，故的周长有最大值为，A正确；B选项，如图，为三角形的角平分线，故，过点作⊥于点，⊥于点，则，设，则，，又，所以，解得，由A选项可知，又，故，，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的平分线长的最大值为，B正确；C选项，若，则，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故边上的中线长为，C错误；D选项，若，则，而，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD42．（多选题）（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知分别是函数和的零点，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；由反函数的性质可得，因为单调递增，，所以，所以，故C错；当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为，所以，所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.故选：ABD.43．（多选题）（2023·江苏宿迁·高三校考阶段练习）函数，则下列命题正确的是（

）A．函数为偶函数 B．函数的最小值为0C．方程有3个不同的实数根 D．函数在区间上单调递增【答案】BCD【解析】该函数的图像如下图所示：由图可知，该函数图像不关于轴对称，故A错误；函数的最小值为0，故B正确；函数与函数有三个不同的交点，即方程有3个不同的实数根，故C正确；函数在区间上单调递增，故D正确；故选：BCD44．（多选题）（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）已知函数，，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．，， D．，，【答案】AC【解析】，即，当时，，故在上单调递增，故A正确，B错误；令，则，因为在上单调递增，又，所以所以，所以在上单调递增，所以，，所以，故C正确，D错误.故选：AC.45．（多选题）（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数，则（

）A．B．当时，C．若对任意，恒成立，则实数的最大值为D．若在内有根，，…，，则【答案】ACD【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，则，故A正确；由得，当时，，则，所以，同理，当时，，当时，，故B错误；以此类推，可得到的图象（部分）如下图所示：因为时，当时，，对任意，恒成立，令，解得或，结合图象可知，即实数的最大值为，故C正确；在内有根，即与在内的交点的横坐标，由图可知有个交点，不妨设为，则、关于对称，、关于对称，所以，，所以，故D正确；故选：ACD46．（多选题）（2023·河北石家庄·高三河北新乐市第一中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，，当时，，则（

）A．的图象关于直线对称 B．4是的一个周期C．在上单调递增 D．【答案】ACD【解析】由函数是上的偶函数可知，为奇函数，则．又，得，则，所以，则的图象关于直线对称，A项正确；由可知，8是的一个周期，由可知，4不是的一个周期，B项错误；当时，易知为增函数，又为奇函数，所以在上单调递增，C项正确；又，，且在上单调递增，所以，即，D项正确．故选：ACD．47．（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为.【答案】【解析】当时，在上平均变化率为，令可看做图象上任一点与点连线的斜率，即，当点从点运动到点，斜率逐渐减小，点重合时，表示函数在点处的切线的斜率，，所以，当点位于点时，点连线的斜率最大，，故.故答案为：48．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是.【答案】【解析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，设，则，由题意知，，则由全概率公式可得，，则，即，两边同减去可得，，又已知，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，故当时，.故答案为：.49．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则{an}的前60项和为．【答案】1830【解析】由题意知，当时，，当时，，所以，所以，所以，有，所以.故答案为：183050．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为．【答案】【解析】设为的中点，为的中点，如图所示，则，在正三角形中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：.故答案为：.51．（2023·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知，则当取得最大值时，．【答案】【解析】设，因为，则，则，则．设函数，则．当时，即，，此时单调递增；当时，即，，此时单调递减，所以当时，取得最大值，即取得最大值，此时．故答案为：.52．（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则.【答案】【解析】由函数在内单调递减，且是函数的一条对称轴，可得，即，则，因为，所以，且，可得，则，由函数为奇函数，所以，可得，因为，所以，可得，因为，所以，所以，所以.故答案为：.53．（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知函数，且，则的最小值是.【答案】2【解析】∵在为单调递增的奇函数，∴有且仅有一个对称中心，∴单调递增，有且仅有一个对称中心，又∵，∴，则，∴，当且仅当即时，等号成立，∴的最小值是.故答案为：.54．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：．55．（2023·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】若，