全国高中数学联赛模拟试题（十四）（后附答案解析）

全国高中数学联赛模拟试题(十四)

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一、填空题

1.集合4=卜€2+口整除习［4］］中元素的个数为.

”2AD1

2.已知YA8C3的四个顶点均在双曲线/-乙=1上，点尸(()/)在边AB上，且黑=:，

4PB2

则YABCD的面积等于.

3.已知/(/(x))=2016犷'(x)+1.则函数Ax)的零点有.

4.设“X)是定义在R上的函数，满足|/(力+£：0$2乂4：,|/(工)-$布词4；,贝！|函数

〃力=---------

eR

5.已知办,*2,,^2oi5tfltanx,-tanx2••tanx刈$=1.则sin%-sinx?•…•sinx^^的最

大值为.

6.设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含

有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有个

“翔集合

7.已知函数~~(x>l),如果不等式(1-4)/T(x)>:”(加-五)对XG77A

lx+ULio4J

恒成立，则实数m的取值范围.

8.已知数列{%}满足皿］的

a

LaiJl^Jl«J1«2()I5JL2J

值.

二、解答题

9.已知0<x,Yl(ie{0,l,,10})证明：存在5{0,1,2,,10},使得0<中/弓_须)<白.

10.给定x,yeR.若cos,sx+cos〃wry(/«eZ)共取有限个不同值，证明：x,yeQ.

ii.已知s(2,D为椭圆r：a+1=i上的点，对椭圆「上的任意两点P、Q，用如下办

法定义它们的“和”P+Q：过点S作一条平行于PQ(若点尸与Q重合，则直线PQ表示

椭圆「在P处的切线)的直线/与椭圆「交于不同于S的另一点，记作P+Q(若/与椭

圆「相切，则规定s为P+。).并规定"P=P+P［+P.

(1)若点尸(20,0),。(0,—/),求尸+Q、2尸以及100尸的坐标.

(2)在椭圆「上是否存在不同于S的点尸，满足3尸=5?若存在，求出所有满足条件的点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，给定两个相交的圆，。与2，A、B为G、2的交点，一动直线经过8

与；。交于点C,与，02交于点。，且8在线段8内，过C的。1的切线与过。的Q

的切线相交于点M,连结AM交C。于点E,过点E作。例的平行线交A£>于点K,求

点K的轨迹.

13.给定正数4(左>2)和正整数〃(“23).求最大正数X,使得只要正数4,‘，…，«„

fI।1、

满足(q+az"1一■+'—---)■—<2,则必有4+42<33.

aaa

\\2ny

14.设4,4,M“为〃个正整数，并且满足4+4++a„=2n,令a.=6"=1,2,,

并记S4,=a„+%++a#+v.1,(M,v=1,2,).求证:对于任意AeZ+,必存在正整数u.v,

使得S“,.，等于A或A+1.

15.在平面内画出“(〃22)条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，

且任何两个涂色区域没有公共边界(可以有公共顶点).证明：涂色区域的个数不超过

-(n1+n\.

试卷第2页，共2页

参考答案：

I.8

【分析】根据［4］为环取整数，求和后分解因数可得结果.

【详解】解：由题意得：

24

卜1x3+2x5+3x7+4x9=70=2x5x7.

i=］

故集合中有1,2,5,7,10,14,35,70一共8个元素.

故答案为：8

23屈

,4

【分析】由对称性，知。为平行四边形的中心，设人优,%),得8(-2%,3-2%),将点4、

8的坐标代入双曲线方程，求得4、B的坐标，利用等面积法知S代入即可

求解.

【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知。为平行四边形的中心，

由A、B、C、。四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A、。在左支上，B、C在右支上，

如图：考虑人B关于双曲线中心的对称点4,

因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知A'=C,8'=£>,所以YABC。的对称中心

为。.

AD1

设A(%%),由言=不，得B(-2%,3-2%).

rt)Z

将点A、B的坐标代入双曲线方程得

%=

解得:或＜

_1

4

4

故SYABCD=2SVADB=4SVAQ8=21OP1区1=2x1X名”=主笑.

o4

故答案沏当

答案第I页，共10页

【分析】由反证法，假设X。为函数/(X)的零点，根据所给函数关系先求出/⑴=1,据此又

求出f(l)=2017,故矛盾.

【详解】假设/为函数/(X)的零点.则

/(xo)=O^/(/(xo))=2016x°〃x°)+1n/(0)=1.

又/(7(0))=2016x0x/(0)+1n/(I)=1

“f⑴)=2016/⑴+1⑴=2017,矛盾.

因此，函数〃x)没有零点.

故答案为：0个

4.sin2x——

4

【详解】注意到,

=sin2x+cos2x<|/(x)+cos2x|+|/(x)-sin2^|-rr1

故|/(x)+cos2x|[“(M-sin,=5

从而，/(x)=sin，-；.

故答案为sin。1

【分析】由条件得sin^-sinw•…•sinwois=cosX|-cos，•…，cosx划5，从而对问题多项式取平

方，根据三角函数的最值情况，判断多项式的最值，并验证等号成立条件.

sinx,sin

【详解】由题意知tan玉-tanx2•…4@11无2015=----L----"Sin*20]5_I

COSJC,cosx2cosx2015

即sin%-sinx2•...•sinx2O15=cos•cosx2•...•cosx2015,

答案第2页，共10页

因止匕(sinx,sinx2-sinx2OI5),

=sinx]-sinx2-cos%,-cosx2•...•cosx20I5

=于而"Sin2x「sin2々•sin2x2015<—.

显然，Xt=X2==々0|5=(■时，上式等号成立.

故sin%,.sinx2-sinx2015的最大值为2

故答案为：2i

【分析】设出集合｛1,2,3,,〃｝中满足题设性质的子集个数为％,写出生=%=。，4=1，在

〃>4时，要分情况把明的递推公式写出来，进而得到4°,即答案.

【详解】设集合｛1,2,3,,n)中满足题设性质的子集个数为%,则％=«3=0M4=1.当〃>4时,

可将满足题设性质的子集分为如下两类：一类是含有〃的子集，去掉〃后剩下小于〃-2的

单元子集或者是｛1,2,3,，〃-3｝满足题设性质的子集，前者有〃-3个，后者有4T个；另一

类是不含有〃的子集，此时恰好是"2,3,，〃-1｝满足题设性质的子集，有a-个.于是，

a„=(〃-3)+4-3+”,i.又4=4=°，4=।，所以％=3,%=6,%=11,%=19,«9=31,«|0=49.

故答案为：49

【点睛】本题的难点是用数列的思想来考虑，设集合工2,3,-,〃｝中满足题设性质的子集个

数为%,写出生的递推公式，再代入求值即可.

【分析】求出尸。)=」斗(0<x<l),将已知条件转化为(1+叫&+1-加

恒成立，利用换元法转化为g(r)=(l+⑼r+1-病>0,对‘‘4'2恒成立，由'

解得结果.

答案第3页，共10页

22

又x>1,.0.0<---<1,0<1-----<1,「.。<y<1

x+\x+1

fT(x)=£?(0<x<l)

l-y/x

由题意得(1-«)•—与i>m(m-8)对"x£11

恒成立,

\-yJxT654

等价于6+1>m（m-五），即（1+〃2）4+1-川〉0对XW七；恒成立,

显然相。-1,令i=G

11一11

--G一--

QXG694—42

一

所以（1+M->0,对小恒成立,

令g⑺=（1+〃2），+1-〃/是关于t的一次函数,

1

-(l+a)+l-a92>0

2_1

要使g(r)>0,对fe恒成立,即，

452；(1+。)+1一/>0

解得：所以实数相的取值范围（-1]

故答案为：（-L；）

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法:

①分离参数。*〃x）恒成立（。之"Ma即可）或a<恒成立（a</（x）m，n即可）;

②数形结合（y=/（x）图像在y=g（x）上方即可）;

③讨论最值/"L,20或“XL,W0恒成立

8.1

【详解】显然，｛%｝为严格递增的正整数的数列.则

答案第4页，共10页

故原式=£1£|..£2...£20144235_2%>I5

由q=l,g=2,%=7及数学归纳法，知为*+2为偶数，肉与%*+3为奇数.

从此，沏心为偶数，因此，所求代数式的值为1.

故答案为：L

9.证明见解析

【详解】不妨斗4々44占0,设力=x//xj—xJ,

当OViVjV10时,因为3林,(3-%)《卜；+%巧+用卜/一%)=另一七3,

即当且仅当，=/时，等号成立.

10101

故所以存在ie{l,2,,10},使得3/(1/)<白，即

r=l/=!10

所以存在i,je{0,l,2,,10},使得0<xx(x

10.证明见解析

【分析】cosmjtx+cosmny,a=cos2ni7ix4-cos2ni7ry,利用二倍角公式知

4cos2mjrx-4bcosm7rx+2b2-tz-2=0»利用换元法整理成关于f的方程

4〃-49+2。2_〃_2=0,利用反证法可得证.

【详解】设〃=costn/rx+cosmny,a=cos2〃27rx+cosImny,

利用二倍角公式知a-2cos267rx+2cos?mny-2=2cos2mnx+2(b-cosmjrx)2-2,

整理得：4cos2mjvx-4/?cosirurx+2b2-a-2=0

令£=cosnrnx,则为关于t的方程45-4初+2后一〃一2=0的根.

其中A=(叫2_4x4x(202-a-2)=16(a+2-/)=(cos/n^x-cosmTry)->0

由条件”，匕均只有有限个取值，故COSWTX也只有有限个取值.

假设X不为有理数，则对任意正整数机，令V=8S〃尔，其中7=二2万=*2,

mn:m

对不同的不为有理数的x,cos/mrx的取值不同，与cosmrx也只有有限个取值矛盾，

故x为有理数.

答案第5页，共10页

同理可证，y也为有理数.

11.(1)P+2(-2,-I),2P(2,-1),100P(0,-V2)

(2)存在,尸卜_孚6彳或尸.

7

【分析】(1)利用新定义数形结合直接求解P+Q、2P以及100尸的坐标

(2)利用参数方程假设存在，找出点P、。对应的参数，求出P+Q对应的参数，以及2P,

3尸对应的参数，列方程直接求解.

【详解】(1)根据新定义P+Q"和''的运算，画图如下：

过S做PQ的平行线，因为即°=3=《s，所以平行直线过原点，可知尸+Q的坐标与S关于

原点对称，所以p+。(-2,-1)过S做P处切线的平行线，可知2P的坐标2P(2,-1),以此类

推100P(0,-夜)

(2)存在.设

A(acosa,bsina),B(acos0,bsin/3),C(acosy,bsin/),D(acos仇bsin0)

i,八bsina-bsinBbsiny-bsin0

贝IjAB//CD=--------------------=---------------

acosa-acos/3acosy-acosO

_.ct—Ba+B.y一6y+e

2sin---—•cos---匚2sm-----cos--

<=>2222

c.a-B.a+B0.Y-0.y+6

2sin---—•sin----2sin-----sin--

2222

a-\-By+6

———=tan----<=>2+4三7+。(010(12万).

22

而S(2,D对应的参数为于是,若点p、Q对应的参数为,、B，则P+0对应的参数7满

答案第6页，共10页

足y三a+0---(mod24).

4

TT

设尸(acos。,/?sin9),且对应的参数为。.则2P对应的参数为2夕-7(mod2;r),3P对应的参数

4

7T

^kj3(p--(mod27r).

itrn冗.._7T^.kjT

故3夕一万■三i(mod27rx)=>^>=—4-.

于是，3P的坐标为(20cos]?+等)0sin(?+等)).

从而，所求坐标为尸-1-咚',6-g或尸-1+等s-x/5-；.

12.轨迹为a过8的切线在。2内的部分

【分析】第一步证明A、C、M、。四点共圆，BK为。的切线.，第二步证明。的在B

处的切线在。2的部分BF,BF上的任意一点满足题意要求，即可得证.

【详解】连结3K、AB.AC,G为MD射线上一点，因为NADG=NA8D=ZAC3+NC4B=

ZACB+ZBCM=ZACM,故4、C、M、。四点共圆，故NAA/D=NACB.

因为EK//MD,则NKED=NBDM=NKAB,故A、B、E、K四点共圆.故NA3%=/AEK.

又EKJIMD=ZAEK=AAMD,故NABK=NACfi.

故.BK为。1的切线.

设BK延长线交。2于点F,设（为所内任意一点，延长A（交。2于点R.

过，作。2的切线GQ,连结。力并延长交01于点G.

过G作圆°i的切线交GQ于点M,设4M交于点片,下证E&//MQ.

此时仍有A、G、M、A四点共圆，故N4MR=ZAC.B,而BKt为切线,故NAB&=乙4GB，

答案第7页，共10页

从而

又因为=ZABDt=ZABKt+N&BR,且ZG.D.A=ZAM,D,+ZK,AE,,故有

N&BR=NKiAE],故A、B、%、&四点共圆，进而N4E内=N48%=NAMB,故

EK"M\D\.

故K的轨迹即为。过8的切线在，。2内的部分.

下面证明:就必有

4+%<ka3,

44।1

故k4----k5>（4+%+。3）

k、4+。2。3

人％+生

令-----<0=>—<x<k=>al+a2<ka3

14.证明见解析

【分析】因为[=*=L2,,所以4以〃为循环节，从而53“=%+2〃，对于很大的

数A,我们只需要循环相加即可得到，所以只需证明Ae[l,2〃],存在正整数w、v,使得

等于A或A+1,新定义一个数〃=%+%++q(i=1,2,3,,〃)，接下来分类讨论，当2〃个

数々也，也，4+AH+A也+A不是模2〃的完系，当2〃个数

答案第8页，共10页

伉也，也，伉+A+L也+4+1不是mod2〃的完系时，找到相应的数s,,,,等于A或A+1,

若上述两组数均是mod2〃的完系，证明不成立，证毕.

【详解】证明：因为4+々++4=2〃,所以S“再”=S”,"+2〃，从而不妨设14A42〃.

记b；=a,+a2++«,.(/=1,2,3,,n),

下面分情况讨论：

(i)若2〃个数々也，•也+A也+A