人教版九年级数学第24章圆24.1圆的有关性质 圆心角讲义

/合作探究探究点1圆周角的概念知识讲解顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上,②角的两条边都与圆相交,二者缺一不可。典例剖析例1如下列图,关于圆周角的个数的说法正确的选项是(〕A.有3个B.有2个C.有1个D.有0个解析第一个图中的角的顶点不在圆周上,不是圆周角；第二个图、第三个图中的角也不是；第四个图中的角符合圆周角的两个条件,是圆周角；第五个图中的角的一条边与圆不相交,第六个图中的角的两条边都不与圆相交,故后两个都不是圆周角。故符合圆周角定义的角只有1个。答案C类题突破1如图,A、B、C、D、E是⊙上的五个点,那么图中共有_____个圆周角。答案6点拨共有6个圆周角.探究点2(高频考点)圆周角定理情景激疑如图,(1)所对的两个圆周角的度数有什么关系?比拟一下,再变动一下C点在圆周上的位置,有何变化?你能发现其中的规律吗?把你的结论与同伴交流一下。(2)所对的两个圆周角与圆心角的度数有什么关系?你有什么发现?由此,你能得出什么结论？知识讲解一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的半。这是与圆相关的一个重要性质——圆周角定理,在这里注意:定理中的圆周角和圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的,故不能把“同一条弧〞这一前提省略,而说成“圆周角等于圆心角的一半〞。也不能说成“一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半〞,因为圆的一条弦对着两种情况的圆周角。典例剖析例2如右图,弦AB把圆周分成1：5的两局部,那么劣弧所对的圆周角的度数为___________________。解析要求所对的圆周角的度数,可先求的度数,进而求出所对的圆心角的度数。再利用圆周角定理,就可求出所对的圆周角的度数。答案30°类题突破2如图,将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上,两条直角边分别交⊙0于A、B两点,点P在优弧上,且与点A、B不重合,连接PA、PB,那么的大小为_________。答案45°点拨所对的圆心角为90°.根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半,即可得到.探究点3(高频考点)圆周角定理的推论知识讲解同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。典例剖析例3如图,在⊙0中,弦,圆周角,求⊙0的直径。解析要求⊙O的直径,必须构造出一条直径,此直径与AB构造成直角三角形,问题就。容易解决了。答案如图,连接BO,并延长作出直径BD.连接AD,那么,由∠D与∠ACB都对可知所以.又因为所以.类题突破3如图,AB是⊙O的直径,D是圆上任意一点(不与A、B重合),连接BD并延长到C,使,连接AC.试判斯的形状。答案如图,连接AD,是⊙O的直径,,即.又,为等腰三角形。点拨连接AD,由AB为⊙0的直径。利用直径所对的圆周角为直角得到,再由,得到AD是垂直平分BC,利用线段垂直平分线定理得到,可得结论.探究点4圆内接四边形的性质知识讲解圆内接四边形的对角互补.典例剖析例4在圆内接四边形ABCD中∠A、∠B、∠C的度数的比是3:2:7,求四边形ABCD各内角的度数。解析假设设∠A、∠B、∠C的度数分别为,由圆内接四边形的性质可知,解得,于是可求出各角的度数。答案由题意可设∠A、∠B、∠C的度数分别为.∵四边形ABCD是圆内接四边形,,即,又.类题突破4如图,A、B、C、D四点共圆,且.求证:DC平分∠BDE.答案四点共圆,又,又,又,即DC平分.点拨根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到,由等腰三角形的性质得到,等量代换得到,于是得到结论。重点难点重难点1圆周角定理的应用(1)圆周角是继圆心角之后学习的又一个和圆有关的角。它和圆心角一样在圆中经常出现,它与圆心角的关系紧密,有许多与圆有关的问题,需要通过它来解决。这两个角容易弄混,这是需要注意的地方,要根据两者特征加以区分。(2)在解决与圆有关的问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种根本技能技巧一定要掌握。(3)定理成立的条件是“同一条弧所对的〞两种角,在运用定理时不要忽略了这个条件,把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。(4)注意:①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶角和底角的关系进行转化；②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁〞——圆心角转化。例1如图,AB是⊙O的直径,C是的中点,于D,交AE于F,连接AC.试说明.解析一欲说明,只需说明,其中是所对的圆周角。而由条件知因此只需找出所对的圆周角与∠ACF相等即可,而构造所对的圆周角,需连接BC,此时恰好构造了直径AB所对的圆周角∠ACB.答案连接BC,如图.∵AB是直径,,即,是的中点,,解析二欲说明,只需说明.因为对着,只需找出所对的弧与相等即可,延长CD交圆于H,利用垂径定理,可得,从而得到,那么问题得解.答案如下图,延长CD交圆于点H,∵AB是直径,又∵C是AE的中点,∴AC=CE,∴AH=CE.类题突破1如下列图所示,AB是半圆O的直径,,D是AC的中点,那么的度数是()A.25°B.29°C.30°D.32°答案B点拨:,那么的度数为64°,的度数为.∵D是的中点,∴的度数为重难点2圆周角定理的推论的应用(1)圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。(2)圆内接四边形的性质是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据.例2:如下列图,AB是⊙0的一条弦,点C为的中点,CD是⊙0的直径,过C点的直线交AB所在直线于点E.交⊙0于点F.(2)〔3〕(1)试判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并写出结论；(2)将直线绕C点旋转(与CD不重合),在旋转过程中,E点、F点的位置也随之变化,请你在两个备用图中分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应字母,选其中一个图形给予说明。解析直线与AB的交点E的位置可以分为三类；(1)E在AB上；(2)E在BA的延长线上；(3)E在AB的延长线上,故要进行分类讨论.答案(1).(2)如图(2),∵CD是⊙O的直径,点C是的中点,∵是⊙0的直径,,方法归纳根据同角的余角相等,所以直线在旋转过程中,始终保持着这一不变的结论.类题突破2如图,AB是⊙0的直径,点C、D都在⊙0上,连接CA,CB,DC,DB.∠D=30°,BC=3,那么AB的长是____________________。答案6点拨求出结果。易错指导易错点1对于圆周角定理掌握不好例1如图,⊙0是的外接圆,,那么的大小为()A.40°B.30°C.45°D.50°错解A错因分析没有掌握同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系,认为与的大小相等导致出错。正解D纠错心得解决本类题主要是明确圆周角和圆心角的定义,要理解圆周角和圆心角所对的弧是同一条弧时,该弧所对的圆周角才是圆心角的一半,它们之间的关系是倍半关系,而不是相等。易错点2忽略弦所对的圆周角有两个而致错例2⊙O中弦AB的长等于半径,求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数.错解如图,∵AB的长等于半径,为等边三角形,,即弦AB所对的