人教版九年级数学第24章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系反证法讲义

/合作探究探究点1(高频考点)点和圆的位置关系知识讲解设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,那么有:点P在圆外⇔d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r.(1)由点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系,反过来,点到圆心的距离与半径的关系,可以确定该点与圆的位置关系(2)符号“⇔〞读作“等价于〞,它表示从符号“⇔〞的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.典例剖析例1

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以B为圆心、BC为半径作⊙O,问:点A、C及AB、AC的中点D、E与⊙B有怎样的位置关系?解析

先分别求出点A、C、D、E到圆心B的距离,再与半径比拟.答案在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,∴AB=AC2∵⊙B的半径为3cm,AB=5cm>3cm∴点A在⊙B外.∵BC=3cm,点C在⊙B上,∵DB=52∴点D在⊙B内。EB>BC=3cm,点E在⊙B外,点拨判断点与圆的位置关系时,只需比拟该点到圆心距离d与半径r的大小类题突破1如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm(1)以点A为圆心、4cm为半径作⊙A,那么点B、C、D与⊙A的位置关系如何?(2)假设以点A为圆心作⊙A,使B、C、D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,那么⊙A的半径r的取值范围是什么?答案∵(1)AB=3cm<4cm∴点B在⊙A内.∵AC=32∴点C在⊙A外。∵AD=4cm∴点D在⊙A上.

(2)AB<AD<AC,满足条件的⊙A的半径r的取值范围是3cm<r<5cm.点拨(1)根据勾股定理求出AC的长,进而得出点B、C、D与⊙A的位置关系;(2)利用(1)中所求,即可得出半径r的取值范围。探究点2

过三点的圆知识讲解不在同一条直线上的三个点确定一个圆注意

这里的“三个点〞不是任意的三点,而是不在同一条直线上的三个点,而过同一条直线上的三个点不能画一个圆。“确定〞一词应理解为“有且只有〞,即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆,过一点可画无数个圆,过两点也能画无数个圆,过不在同一条直线上的三个点能画且只能画一个圆典例剖析例2如下图,这是一块残缺的圆铁片,请画出它所在圆的圆心,并把这个圆画完整.(不写作法,保存作图痕迹)解析要确定残缺的圆铁片的圆心,可根据“不在同一直线,上的三个点确定一个圆〞在残缺的圆铁片的弧形边缘取三个不同的点A、B、C,再作线段AB、BC的垂直平分线,其交点就是圆心O,以O为圆心、OA为半径画圆,便得完整的圆,答案如上图所示,类题突破2如图,点A、B、C表示三个村庄,现要建一座深水井泵站,向三个村庄分别供水,为使三条输水管线长度相等,水泵站应建在何处?请画出示意图,并说明理由。答案如图,连接AB、BC,分别作AB、BC国的垂直平分线l和l',l和1’交于点O,那么水泵站建在点O处。由以上作法知,OA=OB=OC点拨因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同,所以水泵站应在AB、BC的中垂线的交点处探究点3三角形的外接圆知识讲解经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。(1)“接〞是说明三角形的顶点在圆上,或者圆经过三角形的三个顶点。(2)锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部典例剖析例3

如下图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求其外接圆的半径

解析

根据外心性质可知,外心在BC的垂直平分线上,因此作AD⊥BC,设外心为O,连接0C,构造直角三角形求解。答案

如下图,作AD⊥BC于点D.因为AB=AC,所以AD垂直平分BC,且外心在AD上,设为0CD=BD=12BC=6,所以在Rt△BDA中,AD=AB即AD=102-6∴在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC.∴(8-r)2+62=r2,解得r=254,即该三角形外接圆的半径是方法提示由图形及条件可知,等腰三角形ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部,并且在底边BC的高上,故通过添加辅助线,转化为直角三角形,运用勾股定理及外心的性质,可求出△ABC外接圆的半径.

类题突破3

如右图,小颖同学在手工制作中,把一边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,假设三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,那么该圆的半径为A.32cm

B.33cm

C.42cm

D.43cm答案

D点拨作等边三角形任意两条边上的高,交点即为圆心,将等边三角形的边长用含半径的代数式表示出来,进行求解即可探究点4反证法知识讲解(1)先假设命题的结论不成立,然后由此出发通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或条件相矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法(2)反证法主要解决的问题是用直接证法不易证明或不能证明的命题,主要有:①命题的结论是否认型的②命题的结论是无限型的③命题的结论是“至多〞或“至少〞型的典例剖析例4

用反证法证明:过直线外一点,有且只有一条直线与直线垂直答案:点O在直线AB外,如下图求证:过O点只有一条直线垂直于AB证明:假设过点O有两条或两条以上的直线与AB垂直,那么这些与AB垂直的直线互相平行,这与它们交于一点O相矛盾,所以假设不能成立,故过直线外一点,有且只有一条直线与直线垂直

类题突破4用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角答案

:△ABC中,AB=AC.求证:∠B,∠C为锐角证明:如图,假设∠B,∠C都不为锐角,那么∠B,∠C为直角或钝角

(1)当∠B,∠C都为直角时,∠B+∠C=90°+90°=180°,那么∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,.∠B,∠C不可能都为直角

(2)当∠B,∠C都为钝角时,即90°<∠B<180°,90°<∠C<180°∵AB=AC,∴∠B=∠C∵180°<∠B+∠C<360°.∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,∴∠B,∠C不可能都为钝角。

(3)当∠B,∠C一个为直角,一个为钝角时,证法同(2).

综合(1)(2)(3)可知∠B,∠C必为锐角

点拨

欲证∠B,∠C为锐角,用反证法证明,先假设∠B,∠C不是锐角,那么∠B,∠C为直角或钝角。重点难点重难点1点和圆的位置关系的判断(1)根据圆的定义可知:圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径);到定点的距离等于定长的点都在圆上(2)从画图的过程,我们可知道：①圆内各点到圆心的距离都小于半径,反之,到圆心的距离小于半径的点都在圆内;②圆外各点到圆心的距离都大于半径,反之,到圆心的距离大于半径的点都在圆外(3)点和圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离和半径之间的数量关系,也可以由数量关系判断点和圆的位置关系(4)注意“⇔〞读作“等价于〞,“A⇔B〞具有两方面的含义:一方面表示“A=B〞,另一方面表示“B=A〞例1在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AB,AC的中点,AC=6,BC=8,假设以C为圆心、4为半径作圆,试判断点D,E与⊙C的位置关系解析判断点D,E与⑨C的位置关系,只需比拟CE,CD的长与日C半径的大小,答案

如图:∵AC=6,BC=8,∠C=90°∴AB=62又D,E分别是AB,AC的中点∴CE=3,CD=5又∵⊙C的半径为4,∴点D在⊙C外,点E在⊙C内方法提示在直角三角形中,利用勾股定理等知识计算出点到圆心的距离,然后进行判断.类题突破1

矩形ABCD中,AB=8,BC=3、5,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆,那么以下判断正确的选项是A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外,点C在圆P内C.点B在圆P内,点C在圆P外D.点B,C均在圆P内答案

C

点拨∵AB=8,点P在边AB上,且BP=3AP∴∴r=PD=(35)2+22=7∵PB=6<r,PC=9>r,

∴点B在圆P内重难点2

圆确实定(1)我们知道,经过一个点A作圆很容易,只要以点A以外的任意一点为圆心,以这一点与点A的距离为半径就可以作出如图(1)所示的圆,这样的圆有无数个(2)如果要作经过两个点A,B的圆,那么就要以与点A,B距离相等的点为圆心,即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心,以这一点与点A或点B的距离为半径,就可以作出如图(2)所示的圆,这样的圆也有无数个(3)经过三点一定能画出一个圆吗?如图(3)所示,过不在同一条直线上的A、B、C三点距离相等的点为圆心,即AB、BC或AC任意两条线段垂直平分线的交点为圆心,以这一到点A或点B或点C的距离为半径作圆,这样的圆只能作一个例2

如下图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交AB于点C.交弦AB于点D,AB=24cm,CD=8cm(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保存作图痕迹);(2)求(1)中所作圆的半径解析求作此残片所在的圆,关键是确定圆心位置,然后确定半径.我们知道,不在同一直线上的三点确定一个圆,故再连接AC.作AC的垂直平分线,与CD的交点即为圆心,OA就为圆的半径答案(1)如上图所示(2)连接OA,设OA=OC=x∵CO⊥AB,AB=24,CD=8∴AD=12,OD=x-8在Rt△AOD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即x2=122+(x-8)2.解得x=13(cm)∴此残片所在的圆的半径为13cm方法归纳要确定残片所在圆的圆心,如能转化为求AB所在圆的圆心问题就会迎刃而解。要注意思维转移,同时学会用解方程的思想解决几何问题

类题突破2一条公路弯道处是一段圆弧AB,点O是这条弧所在圆的圆心,点C是AB的中点,0C与AB相交于点D.AB=120m,CD=20m,那么这段弯道的半径为A.200m

B.2003mC.100mD.1003m答案C点拨连接OA,由垂径定理求出AD的长,判断出△AOD的形状,再设OA=r,利用勾股定理即可得出r的长重难点3三角形的外接圆和三角形的外心(1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做用形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,外心到三角形三个顶点的距离相等,而这个三角形叫做这个圆的内接三角形(2)注意:①“接〞是说明三角形的顶点与圆的关系,圆经过三角形的各顶点(或三角形的各顶点都在圆上),而“内〞“外〞定相对位置关系,是以一个图形为准,说明另一个图形在它的里的或外面,如“圆的内接三角形“是以圆为准,说明三角形在它的内部.②锐角三角形〞是以圆为准,说明三角形在它的内部,直角三角形角形的外心是斜边中点,钝角三角形的外心在三角形外部,无论哪种三角形,它们的外心都是三角形两边垂直平分线的交点,它各顶点的距离相等,只要三华意两边垂直平分线的交点,它到三角形半径就确定了例3

在△ABC中,AB=AC=5且△ABC的面积为12,那么△ABC外接圆的半径为

解析连接OB,OA,OA交BC于D,如下图,设BC=l,AD=h

那么BD=12l,由题意得1①+②×2得(12l+h)2=49①-②×2得(12l-h)2=1,所以所以12l解得l=8在Rt△BOD中,OB=R,OD=(R-h),BD=12l所以R2=42+(R-3)2或R2=32+(R-4)2,解得R=25答案R=256或R=25规律总结此题考查三角形外接圆半径的求法,方法为作辅助线,放入直角三角形中,运用勾股定理计算类题突破3

如图,△ABC的外心坐标是_____

.

答案

(-2,-1)点拨

△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点∴作图得:∴EF与MN的交点O'即为所求的△ABC的外心∴△ABC的外心坐标是(-2,-1)重难点4

反证法的应用(1)对于一个命题,当使用直接证法比拟困难时,可以采用间接证法,反证法就是一个间接证法(2)反证法的一般步骤是:①假设命题的结论不成立②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确反证法是一种重要的证明方法,在以后的学习中,将会进一步体会到它的价值例4

求证:在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条相交,也必然和另一条相交,:如下图,直线l1、l2、l3在同一平h-面内,l1∥l2且l3与l1交于点P.求证:l3与l2相交

解析先假设l3与l2相交不成立,即它的反面l3//l2成立,然后从这个假设出发推下去,找出矛盾,从而说明l3//l2不成立答案

假设l3与l2不相交,那么l3//l2因为l1//l2,这就是说过直线l2外一点P有两条直线都和l2平行,这与“经过直线外一点,有且只有一条直线与直线平行〞相矛盾,所以假设不成立,故要求证的原命题正确类题突破4:如图,直线a∥c,b//c.求证:a//b答案假设直线a,b不平行,那么它们一定相交如图,设交点为P,这样过点P就有两条直线a,b与直线c平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与直线平行〞矛盾所以a//b

点拨利用反证法,先假设直线a,b不平行,然后再加以证明易错指导易错点1对不在同一条直线上的三个点确定一个理解不透例1以下命题错误的选项是()A.经过三点可以画一个圆B.三角形的外心可能在三角形的外部C.任何一个三角形都有外接圆D.三角形的外心是三边垂直平分线的交点错解B或C或D错因分析对于过三点确定圆的条件理解不透彻,没有正确理解三角形的外接圆和外心的定义及性质正解

A纠错心得任意三个点可能在同一条直线上,也可能不在同一条直线上,由“不在同一条直线上的三个点确定一个圆〞可知A错误易错点2根据点与圆的位置关系求d或r的值时出错例2点P到