高考物理 考前教材回归十二 圆周运动万有引力与航天

圆周运动万有引力与航天1．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝eq\f(4,3)πR3，则可估算月球的()A．密度 B．质量C．半径 D．自转周期[答案]A[解析]“嫦娥二号”在近月轨道运行，其轨道半径约为月球半径，由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R及ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3可求得月球密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，但不能求出质量和半径，A项正确，B、C项错误；公式中T为“嫦娥二号”绕月运行周期，月球自转周期无法求出，D项错误．2．卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3×108m/s.)()A．0.1s B．0.25sC．0.5s D．1s[答案]B[解析]由Geq\f(Mm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2得，r3＝eq\f(GM,4π2)·T2，则eq\f(r同3,r月3)＝eq\f(T同2,T月2)，即r同＝eq\r(3,\f(T同2,T月2))·r月；同步卫星的周期T同＝1天，上式代入数据得，r同＝4.2×107m；则t＝eq\f(2r同－r地,c)＝0.24s，选项B正确．3．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的是()A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小[答案]AD[解析]小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝eq\f(mv02,R)，即v0＝eq\r(gR)，选项A正确B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝eq\r(5gR)，则最低点时的角速度ω＝eq\f(v,R)＝eq\r(\f(5g,R))，选项D正确而C错误．4．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是()A．卫星距地面的高度为eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为Geq\f(Mm,R2)D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度[答案]BD[解析]卫星受到的万有引力提供向心力，大小为Geq\f(Mm,R＋h2)，选项C错误；由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)可得卫星距地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，选项A错误；由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)可得卫星的运行速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，而第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))，选项B正确．由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma可得卫星的向心加速度a＝eq\f(Mm,R＋h2)，而地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，选项D正确．5．如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R.轨道端点所在的水平线相隔一定的距离x.一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v.小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为ΔF(ΔF>0)，不计空气阻力．则()A．m、x一定时，R越大，ΔF一定越大B．m、x一定时，v越大，ΔF一定越大C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大D．m、R一定时，v越大，ΔF一定越大[答案]C[解析]小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前离开了圆形轨道，m、R一定时，x越大，小球到达最高点A时的速度越小，小球在最低点B与最高点A时轨道的压力之差ΔF一定越大，C正确．6．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A．线速度v＝eq\r(\f(GM,R)) B．角速度ω＝eq\r(gR)C．运行周期T＝2πeq\r(\f(R,g)) D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)[答案]AC[解析]月球对航天器的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)＝mω2R＝meq\f(4π2R,T2)＝ma，又万有引力等于重力，即eq\f(GMm′,R2)＝m′g，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，ω＝eq\r(\f(GM,R3))＝eq\r(\f(g,R))，T＝2πeq\r(\f(R,g))，a＝g＝eq\f(GM,R2)，选项A、C正确．7．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图(a)所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()A.eq\f(v02,g) B.eq\f(v02sin2α,g)C.eq\f(v02cos2α,g) D.eq\f(v02cos2α,gsinα)[答案]C[解析]物体抛出后在最高点的加速度为g，水平速度为v0cosα，由a＝eq\f(v2,R)得g＝eq\f(v0cosα2,ρ)，故P点曲率半径ρ＝eq\f(v0cosα2,g)，C项正确．8．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则()A．X星球的质量为M＝eq\f(4π2r13,GT12)B．X星球表面的重力加速度为gx＝eq\f(4π2r1,T12)C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(m1r2,m2r1))D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1eq\r(\f(r23,r13))[答案]AD[解析]选飞船为研究对象，则eq\f(GMm1,r12)＝m1eq\f(4π2r1,T12)，解得X星球的质量为M＝eq\f(4π2r13,GT12)，选项A正确；飞船的向心加速度为a＝eq\f(4π2r1,T12)，不等于X星球表面的加速度，选项B错误；登陆舱在r1的轨道上运动时满足：eq\f(GMm2,r12)＝m2eq\f(4π2r1,T12)，eq\f(GMm2,r12)＝m2eq\f(v12,r1)，登陆舱在r2的轨道上运动时满足：eq\f(GMm2,r22)＝m2eq\f(4π2r2,T22)，eq\f(GMm2,r22)＝m2eq\f(v22,r2).由上述公式联立可解得：eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))，eq\f(T2,T1)＝eq\r(\f(r23,r13))，所以选项C错误，选项D正确．9．一行星绕恒星作圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则()A．恒星的质量为eq\f(v3T,2πG)B．行星的质量为eq\f(4π2v2,GT2)C．行星运动的轨道半径为eq\f(vT,2π)D．行星运动的加速度为eq\f(2πv,T)[答案]ACD[解析]对行星：eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，T＝eq\f(2πr,v)，解得：M＝eq\f(v3T,2πG)，r＝eq\f(vT,2π)，a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(2πv,T)，选项A、C、D正确．10．如图所示，用长为L的轻绳把一个铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有()A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为5mgB．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mgC．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为eq\r(7gL)D．若小铁球运动到最低点轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L[答案]C[解析]小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，说明小铁球在最高点B处，轻绳的拉力最小为零，mg＝mv2/L，v＝eq\r(gL)；由机械能守恒定律得，小铁球运动到最低点时动能mv12/2＝mv2/2＋mg·2L，在最低点轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律F－mg＝mv12/L，联立解得轻绳的拉力最大为F＝6mg；选项A、B错误；以地面为重力势能参考平面，小铁球在B点处的总机械能为mg·3L＋eq\f(1,2)mv2＝eq\f(7,2)mgL，无论轻绳是在何处断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能eq\f(1,2)mv′2＝eq\f(7,2)mgL，落到地面时的速度大小为v′＝eq\r(7gL)，选项C正确；小铁球运动到最低点时速度v1＝eq\r(5gL)，由s＝v1t，L＝eq\f(1,2)gt2，联立解得小铁球落到地面时的水平位移为s＝eq\r(10)L，选项D错误．11、(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即eq\f(a3,T2)＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)[答案](1)k＝eq\f(GM太,4π2)(2)6×1024kg[解析](1)Geq\f(M太m,a2)＝maeq\f(4π2,T2)，又k＝eq\f(a3,T2)，故k＝eq\f(GM太,4π2)(2)Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，M地＝eq\f(4π2r3,GT2)，代入数值解得：M地＝6×1024kg.12．如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点的速度为v时，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点速率为2v，则此时每段线中张力为多大？(重力加速度为g)[答案]eq\r(3)mg[解析]当速率为v时，满足mg＝eq\f(mv2,R)当速率为2v时，满足mg＋F＝eq\f(m2v2,R)得F＝3mg则设每根线上的张力为T，满足：2Tcoseq\f(60°,2)＝3mg即T＝eq\r(3)mg.13．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．(1)求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；(3)由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式．[答案](1)eq\r(Rg)(2)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))(3)ρ＝eq\f(3g,4πGR)[解析](1)设卫星的质量为m,地球的质量为M物体在地球表面附近满足Geq\f(Mm,R2)＝mg①第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)②①式代入②式，得到v1＝eq\r(Rg)(2)卫星受到的万有引力为Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r③由①③式解得r＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))(3)设质量为m的小物体在地球表面附近所受重力为mg则Geq\f(Mm,R2)＝mg将地球看成是半径为R的球体，其体积为VV＝eq\f(4,3)πR3地球的平均密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3g,4πGR)14．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6.(取g＝10m/s2)(1)如果汽车在这种高