第八章 过渡过程的经典解法 2014下半年

1第八章过渡过程的经典解法28-1概述电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态的过程，称为过渡过程。3在过渡过程的分析中，常将外界对电路的输入称为激励，将电路在激励作用下所产生的电流、电压称为响应(或输出)。一个电路若引入激励历时已久，那么这个电路在激励作用足够长时间所建立的状态称为强制状态或强迫状态。当一个稳定电路的激励是恒定或随时间作周期性变化时，强制状态就是稳定状态，简称稳态。仅由电阻和电源组成的网络称为电阻网络，响应是即时跟随的，是无记忆的，故电阻网络也称即时网络。含有电容、电感等动态元件的电路，称为动态电路。在求解动态电路过渡过程时，任一时刻的响应不仅与当前的激励有关，而且与过去的电路状态有关。4求解动态电路过渡过程的四种方法(1)经典法(电路时域分析法)：根据电路来列写关于响应x(t)的微分方程，在时域直接求解微分方程，求出其特解和通解，再由初始条件决定积分常数。

(2)运算法(电路复频域分析法)：应用拉普拉斯变换(简称拉氏变换)得到关于响应的复频域代数方程，求出响应的象函数，再经拉氏反变换，最后得到时域解。

(3)积分法：利用卷积积分和裘阿梅里积分，在时域中直接求解任意函数激励下的零状态响应。

(4)状态变量法：适当选择一组状态变量，将一个n阶微分方程变换为几个一阶微分方程组，即状态方程，然后求解状态方程最后得到响应。58-2阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)定义为阶跃函数K•1(t)，又称为开关函数6延时单位阶跃函数利用阶跃函数和延时阶跃函数表示矩形脉冲函数7单位冲激函数单位冲激函数定义为单位脉冲函数定义89冲激函数的筛分性质108-3换路定则和初始条件电路的结构、参数突然改变或激励的突然变化，统称为换路。在换路时，通常电路服从换路定则。换路定则1：当电容电流ic为有限值时，电容上的电荷qc和电压uc在换路瞬间保持连续。1112初始条件的确定利用换路定则、基尔霍夫定律、欧姆定律131415当电路换路后，电路中存在由电压源、电容组成的回路或纯电容回路时，换路定则不再适用，各电容电压可能会跳变，此时电容电流不再是有限值。16当电路换路后，电路中存在由电流源和电感组成的割集或纯电感割集时，换路定则亦不再适用，各电感电流可能要发生跳变，此时电感电压不再是有限值。1718磁链为代数量，选择回路方向，当电感电流方向与回路方向一致时，取正，反之取负。19小结：(3)当电容电压、电感电流发生强迫跳变时，在节点上电荷守恒，即。值得注意的是，电荷为代数量，当与节点相连为电容正极板时，电荷取正，反之，取负；在回路中磁链守恒，即同样，磁链也为代数量，选择回路方向，当电感电流方向与回路方向一致时，取正，反之取负。(2)当电路中存在电压源与电容组成的回路或纯电容回路时，存在电流源与电感组成的割集或纯电感割集时，在换路前后瞬间电容电压、电感电流将发生强迫突变，不再满足换路定则。(1)换路定则：通常情况下，在换路前后瞬间电容电压连续，即；电感电流连续，即。208-4一阶电路的零输入响应当电路中含有一个储能元件L或C时，列写的电路基尔霍夫电流或电压定律方程通常是一阶微分方程。仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。当电路中没有激励，仅由储能元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。RC电路RL电路21RC电路的零输入响应当t>0，S切换至2后，由KVL得上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为特征根为齐次方程的通解为22负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。i还可以这样求23τ具有时间的量纲，因而称为电路的时间常数。时间常数τ的大小反映了过渡过程进展的快慢。τ越大，过渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢；τ越小，过渡过程维持的时间越短，过渡过程进行得越快。从理论上说，过渡过程需要经过无穷长的时间才能结束，当时，指数函数，但实际上去经过3τ～5τ时间后，通常认为过渡过程基本结束，因为响应衰减至初始值的5%~0.67%244τ从衰减曲线上任一点P作切线25时间常数τ的大小取决于电路的结构和参数，而与激励无关。RC串联电路的时间常数τ=RC。R、C愈大，τ愈大。当R一定时、C愈大，则电容C上储存的初始能量越大，放电时间愈长；当C一定时、R愈大，则放电电流愈小，放电时间愈长。上述的过渡过程实质上是电容中原来储存的电场能转换为电阻消耗的热能的过程。在整个过渡过程中，电阻消耗的总能量为26RL电路的零输入响应2728时间常数τ在RL电路中，时间常数τ与L成正比，与R成反比。当R一定时，L愈大，电感中储存的初始能量愈大，放电时间愈长；当L一定时，R越大，电阻R消耗的功率Ri2愈大，磁场能转化为热能的速率愈大，放电时间愈短，时间常数愈小。电阻上消耗的总能量为电阻上消耗的能量就等于电感L上的初始储能。从RC和RL电路的零输人响应可以看出，零输入响应的大小与其对应的初始值成正比关系。例如式(8-4-11)，当电流i的初值增大K倍，则零输入响应i也随之增大K倍。这一特性称为零输入线性。零输入线性298-5一阶电路的零状态响应当所有的储能元件均没有初始储能，电路处于零初始状态情况下，外加激励在电路中产生的响应称为零状态响应。直流激励下的零状态响应RC串联电路开关S原置于位置2，电路已达稳态，，电容上无初始储能。30当t>0后，电压源对电容C充电。电容C从初始电压为零逐渐增大，最终充电至稳态电压Us，而电流i则从初始值逐渐减小，最终衰减至稳态值零。31微分方程的特解所对应的分量就是强制分量，齐次方程的通解对应的分量就称为自由分量。当电路中激励为恒定或随时间作周期性变化时，强制分量就是稳态分量，也称为稳态响应；自由分量就称为暂态分量，也称为暂态响应。一般将单位阶跃函数激励下的零状态响应，称为单位阶跃响应。在如图所示电路中，若Us=1V，那么电容电压uc(t)、电流i(t)以及电阻上的电压uR(t)是单位阶跃响应。若Us=K时，那么电路的零状态响应是对应的阶跃响应的K倍，这一特性称为零状态线性。32RL串联电路特解对应的分量就是强制分量，此处的激励是直流电源，所以强制分量就是稳态分量。因此换路后电路达到新的稳定状态的稳态电流就是特解33积分常数A由初始条件确定。在t=0时刻，根据换路定则34正弦交流激励下的零状态响应RC串联电路仍以图8-5-1所示电路为例，将直流电压源改为正弦交流电压源3536式(8-5-16)～式(8-5-18)说明电源的初相角对暂态分量的大小有影响，通常称为接通角。当，电容电压的暂态分量最大。从式(8-5-16)不难看出，电容过渡电压的最大值无论如何不会超过稳态电压幅值的两倍，但是从式(8-5-17)可以看出，在某些情况下，过渡电流的最大值将大大超过稳态电流的幅值。37工程上遇到接通电容电路，例如接通空载电缆或架空母线时，会形成极大的电流冲击，应注意采取相应的安全措施。38RL串联电路仍以如图所示电路为例，将直流电压源改为正弦交流电压源非齐次微分方程的全解是特解ip(t)与通解ih(t)之和特解就是正弦交流激励下的稳态电流，可用相量求解394041回顾上述的RC、RL电路的零状态响应，无论是在直流还是在正弦交流激励下，零状态响应的大小均与激励成正比关系。倘若激励扩大K倍，各零状态响应也随之扩大K倍，这一特性称为零状态线性。428-6一阶电路的全响应和三要素法由外加激励和非零初始状态的储能元件的初始储能共同引起的响应，称为全响应。全响应就是微分方程的全解，是方程的特解与其齐次方程的通解之和。全响应开关S闭合前，电容两端已有初始电压uc(0-)=U043全响应=零输入响应+零状态响应上述结论的另外一种引出方法这一方法也适用于高阶线性常系数微分方程的情况，故高阶电路也具备这一性质。44用经典法求解一阶电路过渡过程，一阶电路的全响应等于对应的一阶线性常系数微分方程的全解，记为f(t)三要素法上式就是著名的三要素公式。45一阶动态电路的三个要素(1)fp(t)：是一阶线性常系数微分方程的特解，是一阶动态电路在激励作用下的强制分量。各种激励函数作用下的特解形式详见表8—6—1。当激励是直流或正弦交流电源时，强制分量即是稳态分量，这时候，可按直流电路、正弦交流稳态电路的求解方法求得fp(t),fp(t)=f(∞)。(2)f(0+)：是响应在换路后瞬间的初始值，按本章第三节中介绍的方法求解。(3)τ：是时间常数，一个一阶电路只有一个时间常数。是电路储能元件两端的端口等效电阻。46474849505152535455565758598-7一阶电路的阶跃响应和冲激响应阶跃响应在单位阶跃函数激励下的零状态响应，称为单位阶跃响应。如图所示RL电路，设电压us(t)=1V是单位阶跃函数,即us(t)=1(t),相当于在t=0时刻接通1V的直流电压倘若将图中的激励改变为延时的单位阶跃函数，即相当于在t=t0时刻接通1V的直流电压，仍以t=0时刻作为时间的起点，利用三要素公式得60非时变电路比较式(8-7-1)与式(8-7-2)，发现只要将式(8-7-1)中的时间变量t用延时的时间变量(t-t0)替代，就得到式(8-7-2)。由此可见，该电路的激励延时t0，则响应也随之延时t0，这种电路称为非时变电路。若电路中的R、L、C、M均为常系数，这样的电路都是非时变电路。616263如图所示的周期性矩形脉冲电压序列us(t)作用下RL串联电路的零状态响应电流i(t)为64冲激响应单位冲激响应是指单位冲激函数δ(t)激励下电路的零状态响应，常以h(t)表示。根据冲激函数的特点，冲激激励δ(t)可看做在t=0时刻电路中有一个幅度为无限大而作用时间为无限小的电源。当t<0时，显然没有激励作用；当t=0时，无限大激励作用,使储能元件的初始储能从0-到0+无限短时间里发生跳变，建立起t=0+时刻的初始储能;当t>0后，显然也没有激励，电路依靠t=0+时刻的初始储能产生零输入响应。因此，求冲激响应的关键是求换路后瞬间的初始值。65式(8-7-7)可知，i