抚州一中-09屇数学第二轮复习-专题五·解析几何

专题五解析几何课时1轨迹问题【知道高考要求】求动点的轨迹方程是解析几何考查的根本内容，必须正确理解各种方法在什么情况下使用．在曲线类型已经确定的问题中，经常使用待定系数法〔满足条件的动点恰适合某种曲线定义，因而可用待定系数法求方程〕；在曲线类型不确定的时，经常使用直译法、动点转移法和参数法.在求动点轨迹方程的过程中，一定要全面理解题意，弄清题目中的和未知，发现两者之间的关系，进行知识的重新组合．画出示意图，把不宜直接计算的关系化为可以进行数学处理的关系式．另外，求出方程后，还要仔细检查有无多余的点，如有还需将其剔除．【重温典型问题】题１如图，为直角三角形，，假设，在轴上，且，点在轴上移动，求点的轨迹方程．答案：.题２如图，直线和相交于点，，点，以为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等，假设为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线的方程．简析以为轴，的中垂线为轴建立坐标系，如右图所示，设曲线：．关键在于求出的值．，，那么由，，得或〔舍去〕于是得曲线：题３设点和为抛物线上除原点外的两个动点，．(1)如果于，求点的轨迹；(2)求线段的中点轨迹方程．简析〔１〕设，，那么，：①又：又：②由①②消去得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉点．〔２〕．题４设和，是直线上的动点，的角平分线交于，求点的轨迹方程．简析设，那么，，再设，那么，由角平分线性质，又，代人上式得．此类问题也可用向量求解：设，那么，，，相除，当时有，当，即，时，也符合上式，再由得〔下略〕【提升能力水平】１．如图，的两个顶点，分别是椭圆的焦点，且，试写出顶点的轨迹方程．答案：.２．是圆内的一点，，是圆上两动点，且，求矩形的顶点的轨迹方程．答案：.３．设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，求的重心的轨迹方程．答案：.４．设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，，原点到直线的距离为．〔１〕证明：；〔２〕设，为椭圆上两个动点，，过原点作直线的垂线，求点的轨迹方程．答案：〔１〕略；〔２〕设，当时，由知直线的斜率为，故或，其中，．，由.当时，点的坐标仍满足上式，点的轨迹方程为.５．设等腰的顶角，底边上的高为，在内有一动点，到三边的距离分别为，且满足，求点的轨迹．答案：以底边上的高为轴，为原点建立直角坐标系，设，那么，，，在内部在直线的下方，，同理，，直接代人条件中得〔下略〕６．椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，点在直线上，且满足，求点的轨迹方程．答案：首先动点满足，再从条件中改造得第二个“可用”条件．，，注意椭圆上点的纵坐标，，，上式可写成，于是想到将的方程与椭圆联立，运用韦达定理得〔其中令，得〕．或或，由于，，而当时，而当时，可得．课时2直线与圆锥曲线的位置关系【知道高考要求】直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考常考的内容．１．直线与圆锥曲线位置关系的判定，可以转化为二元二次方程组解的讨论．但当直线与曲线只有一个交点〔即〕中必须除去两种情况：一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行．２．直线与圆锥曲线有两个不同的交点时，直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦，假设弦经过焦点，那么称焦点弦，假设焦点弦垂直于焦点所在的对称轴，此时焦点弦也称通径．当直线与圆锥曲线相交时，有弦长问题、面积问题、中点弦问题和对称问题四个典型问题．①弦长或，弦长的计算，经常是用设而不求的技巧，借助韦达定理整体代入的，对于焦点弦长的计算可用公式，但有时用第二定义更方便．②面积的计算也尽量使用韦达定理．③中点弦问题一般用点差法，双曲线的中点弦用此法一定要检验．④对称问题，点差法和韦达定理均可．3.二次曲线的切线问题设有一条二次曲线，①假设点在上，那么过点的切线方程可用替换方法得到：将分别用替换；将分别用替换.②假设点不在上，且过点可向二次曲线作两条切线，设切点分别为，那么切点弦的方程与①中所得方程相同.【重温典型问题】题１⊙和椭圆，其离心率为，假设与相交于，，线段恰为⊙的直径，求椭圆及直线的方程．简析：仔细分析后发现可将问题转化为：椭圆的离心率，弦的中点为，，求及直线的方程．圆的方程在提供了圆心、直径之后就可以隐退．答案：，椭圆．题２双曲线的中心为原点，左右顶点、在轴上，离心率为，点在双曲线上，直线经过的重心且与双曲线交于、，假设线段的中点为，且，求直线的方程．简析易求得双曲线方程：，进而得．设，.令，得.，从而，再由得〔只有一个符合〕．题３，在抛物线上，且不平行轴，为焦点，，的中垂线过点．(1)求抛物线方程；(2)求面积的最大值．简析：〔１〕由焦半径公式得．另一方面将的方程与联立得，之中也有，从而，线段的中点为，中垂线为，将点坐标代入得，从而，抛物线方程为．〔２〕设直线与轴交于，那么〔时取等号〕【提升能力水平】１．椭圆与直线交于，两点，为的中点，假设，直线的斜率为，求椭圆方程．答案：２．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，，假设，到直线的距离之和为，求直线的方程．答案：３．抛物线方程，点，，是抛物线中过点的弦，求证：．提示：当轴时，结论显然成立．当方程为时，只要证明即可．，下略.４．抛物线，直线过点交于，，设平行四边形的顶点轨迹为曲线．〔１〕求曲线的方程；〔２〕假设直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围．答案：〔１〕动点，的中点，又是，的中点，设，，令，，由此，代入消去得再由可得的范围．或．〔２〕５．中心在原点的双曲线的一个焦点为，一条渐近线为．〔１〕求双曲线的方程；〔２〕假设以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求的取值范围．答案：〔１〕〔２〕设，与双曲线联立得．令的中点为，的中垂线与坐标轴的交点为和依条件代入解得或．〕课时3定点、定值与范围问题【知道高考要求】定点、定值问题是解析几何解答题考查的重点之一，此类问题变中有定，并且常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，深入考查直线、圆锥曲线、直线和圆锥曲线位置关系等知识．范围问题那么是近几年高考的热点，由于综合性强，对推理、计算要求较高，因而有一定的难度．【重温典型问题】题１椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．〔１〕求椭圆的标准方程；〔２〕假设直线与椭圆交于两点〔不是顶点〕，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证直线过定点，并求出定点的坐标．简析：〔１〕.〔２〕.令，右顶点，由，且满足．当时，恒过，矛盾；当时，恒过定点．题２．双曲线的左右焦点分别为，过的动直线与双曲线交于两点．〔１〕假设动点满足〔为原点〕，求点的轨迹方程；〔２〕在轴上是否存在定点，使为常数？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由．简析：〔１〕首先利用条件〔向量式〕有，的中点为，当不与轴垂直时，，即，再用点差法即可得．〔２〕假设存在，设，与双曲线联立得由此．由于是与无关的常数，故．此时．当不存在时，．存在．题３设椭圆的中心在原点，是它的两个顶点，直线与交于点，与椭圆交于两点．〔１〕假设，求的值；〔２〕求四边形面积的最大值．简析：〔１〕椭圆方程为，或〔２〕到的距离到的距离．〔当时取等号〕另外：，．当时取等号．归纳：解析几何中求最值或求范围问题，一般有两种解法：一是建立变量间的函数关系，利用函数的方法求解；二是建立变量间的不等式关系，利用不等式的方法求解．【提升能力水平】１．抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，假设所在直线的方程为．〔１〕求抛物线的方程；〔２〕假设为坐标原点，是抛物线上的两个动点，且，试问：动直线是否过一个定点？答案：〔１〕，〔２〕过定点.２．设椭圆，过点，且左焦点为．〔１〕求椭圆的方程；〔２〕当过点的动直线与椭圆交于两个不同点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上．答案：〔１〕；〔２〕．３．如图，椭圆的一个焦点为，且过点．〔１〕求椭圆的方程；〔２〕假设为垂直于轴的动弦，直线与轴交于，直线与交于．①求证：点恒在椭圆上；②求面积的最大值．答案：〔１