高中数学人教A版（2019）必修总复习-修改

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母，，，…表示集合，用小写的字母，，表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合与集合相等记作.6.元素与集合之间的关系（1）属于：如果是集合中的元素，就说属于集合，记作，读作属于.（2）不属于:如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作，读作不属于.7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式的解组成的集合.8.常用数集及其记法（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或.（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作.（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作.（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作.（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作.9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为，其中是集合中的元素代表，则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式的解集可以表示为：.1.2集合间的基本关系1.子集一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为：或（）.读作集合包含于集合（或集合包含集合）.集合是集合的子集可用图表示如下：或关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：；（2）传递性：如果，且，那么.2.真子集如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记为（或），读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.集合是集合的真子集可用图表示如右.3.集合的相等如果集合，且，此时集合与集合的元素是一样的，我们就称集合与集合相等，记为.集合与集合相等可用图表示如右.4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）（是任意一个集合）；（2）（）.1.3集合的运算1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）.符号语言：.图形语言：理解：或包括三种情况：且；且；且.并集的性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.2.交集自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”）.符号语言：.图形语言：理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是.交集的性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.（2）补集的概念自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为.符号语言：图形语言：补集的性质（1）；（2）；（3）；（4）.1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件.在生活中，是成立的必要条件也可以说成是:（表示不成立），其实，这与是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若，则”为假命题，那么由推不出，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.2.充要条件如果“若，则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有就记作.此时，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.“是的充要条件”,也说成“等价于”或“当且仅当”等.1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为：，，读作“对任意属于，有成立”.（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为：，，读作“存在中的元素，使成立”.2.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：，，它的否定：，.全称量词命题的否定是存在量词命题.（2）存在量词命题的否定存在量词命题：，，它的否定：，.存在量词命题的否定是全称量词命题.第一章集合与常用逻辑用语章末综合一、单选题（每题只有一个选择为正确答案，每题5分，共40分）1．QUOTE2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是（）A．QUOTE-12<x<3 B．QUOTE-1<x<6C．QUOTE-12<x<0 D．QUOTE-3<x<122．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A．3 B．4 C．7 D．83．设集合，，，则（）A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}4．设集合，．若，则()A． B． C． D．5．设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（）A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件6．设集合，（）A． B． C． D．7．已知集合A=，B=，则（）A．AB= B．ABC．AB D．AB=R8．已知，，则()A． B． C． D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．下面命题正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若,则”的否定是“存在,则”.C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件D．设,则“”是“”的必要不充分条件10．若集合，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．11．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（）A． B．所有正方形都是矩形C． D．至少有一个实数x，使12．下列说法正确的有（）A．不等式的解集是B．“，”是“”成立的充分条件C．命题，，则，D．“”是“”的必要条件三、填空题(每题5分，共20分13．对于任意实数，①“”是“”的充分条件；②“是无理数”是“是无理数”的必要条件；③“”是“的充分条件；④“”是“”的必要条件，其中正确结论的序号为_________.14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为_______．15．已知“是的充分不必要条件”、“是的必要不充分条件”、“是的充要条件”，则①是的充分不必要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的必要不充分条件其中正确结论的序号为________.16．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是________

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理；；.2.等式的基本性质性质1如果，那么；性质2如果，，那么；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么.3.不等式的基本性质性质1如果，那么；如果，那么.即性质2如果，，那么.即，.性质3如果，那么.由性质3可得，.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果，，那么；如果，，那么.性质5如果，，那么.性质6如果，，那么.性质7如果，那么（，）.2.2基本不等式1.重要不等式，有，当且仅当时，等号成立.2.基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立.叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R第二章一元二次函数、方程和不等式章末综合一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1．若，，则的值可能是（）．A． B． C．2 D．42．不等式(x＋3)2＜1的解集是()A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}3．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．4．已知不等式的解集是，则的值为（）．A．1 B． C．0 D．5．已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（）A． B．C． D．6．已知正实数x，y满足.则的最小值为（）A．4 B． C． D．7．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（）如果,那么 B．如果,那么C．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立8．已知实数，满足，，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．已知函数，则该函数的（）．A．最小值为3 B．最大值为3C．没有最小值 D．最大值为10．对于实数，下列说法正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．若，则下列不等式中一定不成立的是（）A． B． C． D．12．已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（）．A． B． C． D．三、填空题（每题5分，共20分）13．已知，则的最小值为______．14．设，，若，则的最小值为__________．15．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______16．若关于x的不等式的解集为或，则_____，_____．四、解答题（18题10分，其余每题12分，共70分）17．设函数．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在上恒成立，求实数的取值范围．18．已知关于x的不等式．（1）若不等式的解集是，求的值；（2）若，，求此不等式的解集．19．设函数（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：20．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．21．某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？22．已知关于的函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数的概念设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作,.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集.2.区间：设,是两个实数，而且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：,.这里的实数，都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间（4）实数集可以表示为,“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.满足，，，的实数的集合，用区间分别表示为，，.这些区间的几何表示如下表所示.定义符号数轴表示注意：（1）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.（2）以“”或“”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.（2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.（3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.6.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如（1），（2）.说明：=1\*GB3①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.=2\*GB3②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.=3\*GB3③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.=4\*GB3④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.3.2函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（3）单调性、单调区间、单调函数如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：=1\*GB3①设值：设，且；=2\*GB3②作差：；=3\*GB3③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；=4\*GB3④判断符号，得出函数的单调性.（5）函数的最大值与最小值=1\*GB3①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称M是函数的最大值.=2\*GB3②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称是函数的最小值.2.奇偶性（1）偶函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：=1\*GB3①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；=2\*GB3②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；=3\*GB3③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.（2）奇函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：=1\*GB3①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；=2\*GB3②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；=3\*GB3③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；=4\*GB3④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.3.3幂函数1.幂函数的概念一般地，形如（，为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数，我们只研究，，，，时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在上递减在上递增增函数增函数在，上递减定点3.4函数的应用（一）略.第三章函数概念与性质章末综合一、单选题(每题只有一个正确答案，5分/题，共40分）1．已知幂函数的图象过点，则的值为A． B． C． D．2．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．3．函数的定义域为()A． B．C． D．4．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．5.若偶函数在区间上是增函数，则()A． B．C． D．6．设函数,则（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减7．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为A．5 B．4C．3 D．2二、多选题(每题至少一个为正确答案，5分/题，共20分）9．给出下列命题，其中是错误命题的是（）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；B．函数的单调递减区间是；C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.10．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，11．下列各组函数表示的是同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与E.与12．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则.三、填空题(5分/题,共20分）13．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.14．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．15．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________.16．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________．解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）1．已知函数，且（1）判断的奇偶性，并证明；（2）判断在上的单调性，并证明；18．已知函数是奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．19．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知，这种服装每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间可看成一次函数关系：．（1）写出商场每天卖这种服装的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的总销售额与购进这些服装所花费金额的差）．（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？20．已知二次函数的最小值为1，且．（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值；（3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围.21．已知函数（，常数）.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上是单调函数，求的取值范围.22．已知定义在上的函数满足：①对任意，，；②当时，，且．（1）试判断函数的奇偶性．（2）判断函数在上的单调性．（3）求函数在区间上的最大值．（4）求不等式的解集．

第四章指数函数与对数函数4.1指数1.n次方根与分数指数幂（1）方根如果，那么叫做的次方根，其中，且.=1\*GB3①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数.这时，的方根用符号表示.=2\*GB3②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成（）.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作.式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.关于根式有下面两个等式：；.2.分数指数幂（1）正分数指数幂（，，，）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂（，，，）.0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）.3.无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当是无理数时，是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是.所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质.=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）.4.2指数函数1.指数函数的概念函数（，且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是.2.指数函数的图象和性质一般地，指数函数（，且）的图象和性质如下表所示：图象定义域值域性质（1）过定点，即时，（2）在上是减函数（2）在上是增函数4.3对数1.对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作.其中叫做对数的底数，叫做真数.当，且时，.2.两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为.（2）自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作.3.关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）；（3）.4.对数的运算如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）（）.5.换底公式（，且，，，）.4.4对数函数1.对数函数的概念一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.2.对数函数的图象和性质图象定义域值域性质（1）过定点，即当时，.（2）增函数（2）减函数3.反函数指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.4.不同函数增长的差异对于对数函数（）、一次函数（）、指数函数（）来说，尽管它们在上都是增函数，但是随着的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数（）的增长速度越来越慢；一次函数（）增长的速度始终不变；指数函数（）增长的速度越来越快.总之来说，不管（），（），（）的大小关系如何，（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度；（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度.因此，总会存在一个，当时，恒有.4.5函数的应用（二）1.函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.（2）函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.2.用二分法求方程的近似解对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证.（2）求区间的中点.（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：=1\*GB3①若（此时），则就是函数的零点；=2\*GB3②若（此时），则令；=3\*GB3③若（此时），则令.（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3.函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第四章指数函数与对数函数章末综合一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．方程的解所在的区间是（）A． B． C． D．2．函数的定义域是()A．[0，) B．[0，] C．[1，) D．[1，]3．函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．－ C． D．24．函数的单调递增区间是A． B．C． D．5．函数的零点个数为（）A． B． C． D．6．设，，，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a7．函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是A．6 B．7 C．8 D．98．若，则()A． B．1 C． D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（）A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点10．下列说法正确的是（）A．函数在定义域上是减函数B．函数有且只有两个零点C．函数的最小值是1D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称11．若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（）A． B． C． D．12．已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（）A．2 B．4 C．5 D．6三、填空题（每题5分，共20分）13．若函数f(x)=(且)有两个零点，则实数的取值范围是.14．函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.15．已知，，，则三个数按照从小到大的顺序是______.函数的零点为________.解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）lg(＋).18．设，且.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.19．设函数（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.20．已知函数．（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值． 21．函数对任意的实数m，n，有，当时，有．（1）求证：．（2）求证：在上为增函数．（3）若，解不等式．22．已知函数f（x）=+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．（1）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；（2）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α·β的值．

第五章三角函数5.1任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.（2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.（4）终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍；象限角的表示：第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.位置表示终边在轴非负半轴终边在轴非正半轴终边在轴终边在轴非负半轴终边在轴非正半轴终边在轴终边在坐标轴2.弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.5.2三角函数的概念1.三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆相交于点.把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）.正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，（）.设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为.可以证明：；；.（2）几个特殊角的三角函数值，，，的三角函数值如下表所示：函数不存在不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.，，，其中.2.同角三角函数间的基本关系（1）平方关系.（2）商数关系.作用：（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式.5.3诱导公式1.公式二，，.2.公式三，，.3.公式四，，.小结：（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号.（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：4.公式五，.5.公式六，.小结：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号.5.4三角函数的图象与性质1.正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数的图象.=1\*GB3①画点在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为.在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标.由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点.=2\*GB3②画（）的图象把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象.=3\*GB3③（）的图象由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样.因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）.正弦函数的图象叫做正弦曲线.=4\*GB3④五点作图法在函数，的图象上，有以下五个关键点：，，，，.画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五点作图法”.（2）余弦函数的图象因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象.余弦函数，的图象叫做余弦曲线.余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，.2.正弦函数、余弦函数的性质（1）周期性一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是.余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是.（2）奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.（3）单调性正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到.余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到.（4）最大值与最小值正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值.余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值.3.正切函数的图象正切函数的图象叫做正切曲线.4.正切函数的性质（1）定义域正切函数的定义域为（2）周期性正切函数是周期函数，最小正周期是.（3）奇偶性正切函数是奇函数.（4）单调性正切函数在每一个开区间（）上都单调递增.（5）值域正切函数的值域是实数集.5.5三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）.（2）差角公式（），（），（）.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3.降幂公式，，.4.半角公式，，.其中，符号由所在象限决定.5.辅助角公式，其中，.叫做辅助角，的终边过点.5.6函数1.（，）的图象（1）变换法作（，）的图象（，）的图象，可以用下面的方法得到：=1\*GB3①画出函数的图象；=2\*GB3②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；=3\*GB3③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；=4\*GB3④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象.（2）“五点作图法”作（，）的图象例题：用“五点作图法”画函数在一个周期内的图象.解：令，则.=1\*GB3①列表：=2\*GB3②描点：，，，，.=3\*GB3③连线：用光滑的曲线把上面的五个点连接起来，即得函数在一个周期内的简图.2.（，）的性质（1）周期性是周期函数，最小正周期为.（2）奇偶性当（）时，是奇函数；当（）时是偶函数；当（）且（）时，既不是奇函数也不是偶函数.（3）单调性在每一个区间（）上都单调递增；在每一个区间（）上都单调递减.（4）最大值与最小值当（）时取得最大值；当（）时取得最小值.（5）对称轴（）.（6）对称中心（）.5.7三角函数的应用在物理中，（，，）可以表示一个简谐运动.是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；是这个简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间；是这个简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为相位；时的相位称为初相.第五章三角函数章末综合一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．已知角的终边经过点，且，则（）A． B． C． D．2．已知，则A． B． C． D．3．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A． B． C． D．4．已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（）A． B． C． D．5．若为锐角，，则等于（）A． B． C． D．6．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．的最小正周期是 B．在上单调递增C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴7．已知，则=（）A． B． C． D．8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的值可以是（）A． B． C． D．二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．设函数，给出下列命题，不正确的是（）．A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象D．的最小正周期为，且在上为增函数10．设函数，则()A．是偶函数 B．在区间上单调递增C．最大值为2 D．其图象关于点对称11．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（）．A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变C．把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．函数的最小正周期为C．函数的图像的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．14．函数=的最小值为_________．15．已知，则______．16．已知函数的相邻两个对称中心距离为，且，将其上所有点的再向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图像，则的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．19．（2020·陕西高三三模（文））已知函数.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在上的值域.20．一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？21．已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.（1）求函数的解析式；（2）若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.22．（2020·山东潍坊·高一期末）已知函数的图象如图所示.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.（i）求函数的最大值；（ii）若函数在内恰有2015个零点，求、的值.

第六章平面向量及其应用思维导图思维导图单元测试单元测试一、单选题（每题只有一个选项有正确答案，每题5分，8题共40分）1．在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（）A． B．4 C． D．2．下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）A．B．C．D．3．已知，，，则（）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线4．海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A． B．C． D．125．如果向量，，那么()A．6 B．5 C．4 D．36．设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则（）A．2 B．-2 C．6 D．-67．在中，下列各式正确的是（）A． B．C． D．8．已知为的一个内角，向量.若，则角()A． B． C． D．二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分共4题20分）9．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（）A． B． C． D．10．已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（）A． B．C． D．11．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为212．对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形B．若A＞B，则sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个D．若三角形ABC为斜三角形，则三、填空题（每题5分，4题共20分）13．在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是_______________________14．已知向量.若与共线，则在方向上的投影为________.15．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为________.16．在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·深圳市）已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．（1）若∥，，求x的值；（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．18．（2020·全国高一课时练习）的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.19．（2020·全国高一课时练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.20．（2020·全国高一课时练习）在中，内角的对边分别为，设平面向量，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求中边上的高.21．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．22．（2020·全国高一单元测试）已知是平面内两个不共线的非零向量，=，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

第七章复数思维导图思维导图单元测试单元测试一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．已知复数z对应的向量为（O为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且复数z的模为2，则复数z为（）A． B． C． D．2．已知i是虚数单位，复数的虚部是（）A．1 B． C． D．3．.已知，对应的复数为，则（）A． B． C． D．4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A． B． C． D．5．设是虚数单位，则的值为（）A． B． C． D．6．若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0 B．1 C． D．27．复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（）A．1 B．i C．﹣i D．1+i二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共4题20分）9．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（）A． B．的实部是C．的虚部是 D．复数在复平面内对应的点在第一象限10．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（）A．若为纯虚数，则实数a的值为2B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是（为的共轭复数）的充要条件D．若，则实数a的值为211．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则12．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数是实数的充要条件是B．复数是纯虚数的充要条件是C．若，互为共轭复数，则是实数D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称三、填空题（每题5分，4题共20分）13．已知复数，那么_____________.14．已知、，为虚数单位，且，则____________．15．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数为_____.16．如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.

第八章立体几何初步思维导图思维导图单元测试单元测试一、单选题（每题5分，8题共40分）1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是四面体 D．④不是棱柱2．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．已知正三棱柱，为的外心，则异面直线与所成角的大小为（）A．30° B．60° C．45° D．90°5．已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积（）A． B． C． D．6．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（）A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC7．已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为，设四面体的表面积为，则等于（）A． B． C． D．8．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（）A． B． C．π D．二、多选题（每题不止一个选择为正确答案，每题5分，4题共20分）9．已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B．无论点在上怎么运动，都有C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°10．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A． B．C． D．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF三、填空题（每题5分，4题共20分）13．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.14．如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．①直线与直线始终是异面直线②存在点，使得③四面体的体积为定值④当时，平面平面15．如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．16．已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为___________.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.3．如图，在三棱锥P-ABC中，，底面ABC.（1）求证：平面平面PBC；（2）若，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.20．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点.（1）求证;（2）求三棱锥的体积.21．已知四边形，，，将沿翻折至.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.22．如图，在长方体中，分别为的中点，是上一个动点，且.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

第九章统计思维导图思维导图单元测试单元测试一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．3个数1，3，5的方差是（）A． B． C．2 D．2．从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随机数表的第1行与第2行）A．24 B．36 C．46 D．473．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（）A．3000 B．6000C．7000 D．80004．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降5．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（）A． B． C． D．6．在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地总体均值为，中位数为 B．乙地总体均值为，总体方差大于C．丙地中位数为，众数为 D．丁地总体均值为，总体方差为7．在一次数学测试中，高二某班名学生成绩的平均分为，方差为，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A． B． C． D．8．某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是（）A． B． C． D．二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）9．某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：）变化情况：对比数据，关于这名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间内的人数较健身前增加了人B．他们健身后，体重原在区间内的人员一定无变化C．他们健身后，人的平均体重大约减少了D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少10．下列命题中是真命题的有（）A．有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为11．下列命题是真命题的有（）A．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为512．统计某校名学生的某次数学同步练习成绩(满分分)，根据成绩依次分为六组，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．B．C．分以下的人数为D．成绩在区间的人数有人三、填空题（每题5分，4题共20分）13．A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只.14．已知一组数据的平均数为（其中），则中位数为_____________．15．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是，则_____.16．某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取__________________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.18．成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.20．年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组（1）求、、的值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.21．A､B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下：B同学的成绩不慎被墨迹污染(，分别用m，n表示).（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A､B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)；（2）若B同学的平均分为78，方差s2=19，求m，n.22．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2.使用微信时间(单位：小时)频数频率[0，0.5)30.05[0.5，1)xp[1，1.5)90.15[1.5，2)150.25[2，2.5)180.30[2.5，3]yq合计601.00确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图．

第十章概率思维导图思维导图单元测试单元测试一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A．与互斥 B．与对立C． D．2．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）．A． B． C． D．3．已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（）A． B． C． D．4．将一枚质地