高等数学：二重积分及其应用

二重积分及其应用9.1二重积分的概念与性质9.2二重积分的计算9.3二重积分的应用本章小结

9.1二重积分的概念与性质

一、引例1.曲顶柱体的体积设二元函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,且f(x,y)≥0,(x,y)∈D.如图9-1所示,以曲面z=f(x,y)为顶,以区域D为底、侧面以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面所围成的立体称为曲顶柱体.那么,如何求该曲顶柱体的体积呢?图9-1

如果z=f(x,y)在D上为恒大于等于零的常数,则图9-1所示的曲顶柱体就是一平顶柱体,该平顶柱体的体积可用公式体积=底面积×高来计算.但当z=f(x,y)在D上不是恒为常数时,若点(x,y)在区域D上变化,高f(x,y)也会不断变化,因而曲顶柱体的体积不能再用上面的公式来计算.

我们可以借鉴求曲边梯形面积的方法来求曲顶柱体的体积,步骤如下:

1)分割(化“整”为“零”)将区域D任意分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,其中Δσi表示第i个小区域,也表示它的面积;分别以每个小区域为底,以它们的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.

2)近似(以“粗”代“精”)

为了求每个小曲顶柱体的体积ΔVi,在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi),用高为f(ξi,ηi)、底为Δσi

的平顶柱体体积f(ξi,ηi)Δσi来近似代替ΔVi,即

3)求和(合“零”为“整”)

对n个小曲顶柱体求和,则所求曲顶柱体体积V可近似地表示为

4)取极限(去“粗”取“精”)

用λ表示n个小区域直径的最大值(有界闭区域的直径是指该区域中任意两点间距离的最大值),当λ→0时,式(9-1)的极限就是曲顶柱体体积V,即

2.平面薄片的质量

如图9-2所示,设有一平面薄片置于xOy平面上,它所占有的区域记作D,假设此薄片的质量分布是不均匀的,其面密度为ρ(x,y),如何求这个平面薄片的质量呢?图9-2

当薄片质量分布均匀时,其质量等于面密度乘以薄片面积.因此,我们仍采用处理曲顶柱体体积的方法来求质量分布不均匀薄片的质量,步骤如下:

1)分割(化“整”为“零”)

将区域D分割成n个小区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,仍然用Δσi

表示第i个小区域的面积

2)近似(以“粗”代“精”)在每个小区域Δσi

内任取一点(ξi,ηi),近似地将小块Δσi

看成是质量均匀分布的,其面密度为ρ(ξi,ηi),则小块Δσi

的质量ΔMi

可近似表示为

3)求和(合“零”为“整”)

整个薄片的质量M可近似地表示为

4)取极限(去“粗”取“精”)

M用λ表示n个小区域直径的最大值,当λ→0时,式(9-2)的极限就是平面薄片的质量,即

二、二重积分的定义

定义9-1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,其中Δσi表示第i个小闭区域,也表示它的面积;在每个Δσi内任取一点(ξi,ηi),作乘积f(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n)后将其相加,即如果当各小闭区域直径的最大值λ→0时,和式的极限总存在,且与闭区域D的分法和点(ξi,ηi)的取法无关,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作y)dσ,即

由二重积分的定义可知,上述曲顶柱体体积V是f(x,y)在区域D上的二重积分

平面薄片的质量M是面密度ρ(x,y)在区域D上的二重积分

下面对二重积分的定义作两点说明:

(1)如果二重积分存在,就称函数f(x,y)在区域D上是可积的.可以证明,如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上可积.

(2)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为dσ=dxdy,故二重积分可写为

与一元函数定积分类似,二重积分的几何意义是十分明显的:

在D上,当f(x,y)≥0时,σ等于曲面z=f(x,y)在区域D上所对应的曲顶柱体的体积;当f(x,y)<0时,

等于曲面z=f(x,y)在区域D上所对应的曲顶柱体的体积的负值;如果f(x,y)在D上的某些部分上是正的,而在另外的部分上是负的,那么等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.

三、二重积分的性质

由于二重积分与定积分的定义类似,因此它们的性质也相似,而且其证明也与定积分性质的证明类似.注意:本书所涉及的函数均假定在D上可积.

性质9-1被积函数中的常数可以提到二重积分号外面,即

性质9-2两个函数代数和的二重积分等于这两个函数的二重积分的代数和,即

性质9-2可以推广到有限多个可积函数的情形.

性质9-3如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2,如图9-3所示,则

性质9-3表明二重积分对积分区域具有可加性.图9-3

性质9-4如果在闭区域D上,f(x,y)≡1,σ为D的面积,那么

性质9-4的几何意义是:以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积

性质9-5如果在闭区域D上,有f(x,y)≤g(x,y),则

特别地,有

性质9-6设M和m分别是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,σ为D的面积,则

式(9-3)称为二重积分的估值不等式.

性质9-7设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得

式(9-4)称为二重积分的中值定理,其几何意义是:在区域D上以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积,等于以区域D内某一点(ξ,η)的函数值f(ξ,η)为高的平顶柱体的体积.

例9-1比较二重积分的大小,其中区域D由x轴、y轴和直线x+y=1所围成.

解在积分区域D内有0≤x+y≤1,因此(x+y)2≥(x+y)3,故由性质9-5可得

例9-2估计二重积分的值,其中区域D={(x,y)x2+y2≤4}.

解由于区域D={(x,y)x2+y2≤4},可知区域D的面积σ=π×22=4π.下面求函数f(x,y)=x2+4y2+9在条件x2+y2≤4下的最大、最小值.

9.2二重积分的计算

对一般的函数和积分区域来讲,利用二重积分的定义计算二重积分是不实际的.事实上我们可以借助于一元函数定积分来帮助解决二重积分的计算问题,其基本思想是将二重积分化为二次定积分计算.转化后的这种二次定积分常称为二次积分或累次积分.

一、直角坐标系下二重积分的计算

在具体讨论二重积分的计算之前,先介绍X型区域和Y型区域的概念.

1.X型区域和Y型区域

X型区域为{(x,y)a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)},其中φ1(x)和φ2(x)在区间[a,b]上连续.这种区域的特点是:穿过区域且平行于y轴的直线与区域的边界相交不多于两个点,如图9-4所示.图9-4

Y型区域为{(x,y)c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)},其中ψ1(y)和ψ2(y)在区间[c,d]上连续.这种区域的特点是:穿过区域且平行于x轴的直线与区域的边界相交不多于两个点,如图9-5所示.图9-5

2.二重积分的计算

我们知道,在直角坐标系下,二重积分可写成

假设积分区域D为X型区域:{(x,y)a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)},由二重积分的几何意义可知,当f(x,y)≥0时,上述二重积分的值等于以积分区域D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.下面利用第五章中计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来求这个曲顶柱体的体积.

首先计算截面的面积,为此在区间[a,b]上任取一点x,则过该点且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间[φ1(x),φ2(x)]为底的曲边梯形,则此截面的面积为

故曲顶柱体的体积为

式(9-5)右端的积分称为先对y后对x的二次积分或累次积分.习惯上,常将式(9-5)中的中括号省略不写,即记作

类似地,如果积分区域D为Y型区域:{(x,y)c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)},则有

式(9-6)右端的积分称为先对x后对y的二次积分或累次积分.

一般地,在直角坐标系下计算二重积分的步骤是:

(1)画出积分区域D的图形,然后判断D是X型区域还是Y型区域;若均不是则进行分割.

(2)根据积分区域D的类型确定累次积分的上下限.若D是X型区域,则积分变量x的变化范围是两个常数,假设x所属区间为[a,b],则积分的上限和下限分别为b和a.然后在区间[a,b]上任意取一点x,过点x作平行于y轴的直线穿过区域D,若该平行线与区域D的下方边界线y=φ1(x)相交,则积分下限为φ1(x);与区域D的上方边界线y=φ2(x)相交,则积分上限为φ2(x).类似地,可以确定Y型区域的累次积分的上下限.

(3)利用累次积分计算二重积分的值.

例9-3改变二次积分的积分次序.

解题设二次积分的积分区域是X型区域,D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1-x},作出积分区域D,如图9-6所示.

按新的次序确定积分区域D为Y型区域,则D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤1-y},故有图9-6

例9-4计算二重积分其中D是由y=x2、x=1和y=0所围成的区域.

解解法一画出积分区域D的图形,如图9-7所示.可把D看成是X型区域,即

解法二画出积分区域D的图形,可把D看成是Y型区域,即图9-7

例9-5计算二重积分其中D是由抛物线y2=x和直线y=x-2所围成的闭区域.

解解方程组得曲线交点坐标为(1,-1)和(4,2).

画出积分区域D的图形,如图9-8所示.如果先对x后对y进行积分,即将积分区域D视为Y型,则区域的积分限为-1≤y≤2,y2≤x≤y+2,故有图9-8

例9-6求其中D是以(0,0)、(1,1)和(0,1)为顶点的三角形所围区域.

解因为无法用初等函数表示,所以积分时必须先对x后对y进行积分,即将积分区域D视为Y型,则有

例9-7求其中D是由直线y=x、y=1、y=2和x=0所围成的闭区域.

解积分区域可视为Y型,即D={(x,y)1≤y≤2,0≤x≤y},故有

二、极坐标系下二重积分的计算

有些二重积分,其积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较简单,如圆形或扇形区域的边界等.此时,如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式,则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.本节我们讨论在极坐标系下二重积分的计算.

一般地,我们选取直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴作为极轴,则直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)之间的转换关系式为

在极坐标系下,二重积分的面积元素为dσ=rdrdθ,故有在极坐标系下,二重积分的面积元素为dσ=rdrdθ,故有

极坐标系中的二重积分同样可化为二次积分来计算,我们按下面三种情况来讨论:

(1)极点O在区域D之外(见图9-9),这时区域D在θ=α、θ=β两条射线之间,由θ的变化范围[α,β]可确定外积分变量θ的上下限.用从极点出发的射线穿过区域D,设入口线为r=r1(θ),出口线为r=r2(θ),即可确定内积分变量r的上下限,因此有图9-9

(2)极点O在区域D之内(见图9-10).设区域D的边界曲线方程为r=r(θ),则有图9-10

(3)极点O在区域D的边界上(见图9-11).设区域D的边界曲线方程为r=r(θ),则有图9-1

例9-8计算二重积分其中D是由中心在原点、半径为a的圆所围成的闭区域.

解画出区域D的图形,如图9-12所示.在极坐标系下,积分区域D可表示为(0≤θ≤2π,0≤r≤a),则有

本题如果用直角坐标计算,由于积分∫e-x2dx不能用初等函数表示,因此无法计算.图9-12

例9-9-计算其中D为圆x2+y2=1和x2+y2=4围成的圆环形区域.

解画出区域D的图形,如图9-13所示,区域D可表示为(0≤θ≤2π,1≤r≤2),则有图9-13

例9-10计算二重积分其中D={(x,y)|(x-a)2+y2≤a2,a>0}.

解积分区域D如图9-14所示,其边界曲线(x-a)2+y2=a2(a>0)的极坐标方程为r=2acosθ(a>0),故区域D可表示为则有图9-14

例9-11将二次积分化为极坐标形式的二次积分,并计算I的值.图9-15图9-16

当积分区域D为X型区域、Y型区域或可分成若干个无公共内点的X型区域、Y型区域时,一般选择在直角坐标系下计算二重积分;当被积函数为f(x2+y2)的形式,而积分区域为圆形、扇形或圆环形式时,在直角坐标系下计算往往很困难,通常都是选择在极坐标系下计算二重积分.

若在直角坐标系下计算,则先根据积分区域的形状和被积函数的特征确定累次积分次序,然后用直角坐标系下的定限方法确定累次积分的上下限.若在极坐标系下计算,则一般先对r后对θ进行积分,然后用极坐标系下的定限方法确定上下限.

9.3二重积分的应用

一、几何应用1.平面区域的面积由二重积分的性质可知,被积函数f(x,y)=1的二重积分表示平面区域D的面积,即区域D的面积为图9-17

2.空间曲面的面积

设空间曲面S的方程为

其中D是曲面S在xOy平面上的投影区域.函数f(x,y)在D上具有连续偏导数和则曲面S的面积(仍记作S)的计算公式为

即球的表面积为S=4πR2,它等于圆面积的4倍.

例9-15求抛物面z=x2+y2在平面z=4下方部分的面积.

解如图9-18所示,抛物面z=x2+y2

与平面z=4的交线z=x2+y2

z=4{在xOy平面上的投影曲线为x2+y2

=4,故投影区域D={(x,y)|x2+y2

≤4}.由于曲面方程为z=x2+y2

,因此有

故曲面面积为图9-18

3.曲顶柱体的体积

由二重积分的几何意义可知,当f(x,y)≥0时,以D为底、曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为

因而可利用二重积分求曲顶柱体的体积.

例9-16求平面x+2y+z=4和三个坐标平面所围成的四面体体积.

解如图9-19所示,平面x+2y+z=4与三条坐标轴的交点分别为A(4,0,0)、B(0,2,0)和C(0,0,4),故所求四面体体积可视为以平面z=4-x-2y为顶、三角形OAB所围区域(记作D)为底的曲顶柱体的体积.在xOy平