新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 高频精讲（解析版）

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：分离变量法 2高频考点二：分类讨论法 7高频考点三：等价转化法 11高频考点四：双元最值法 18高频考点五：构造法和同构法 20温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.4、双元最值法形如：，不等式或者的模型（或者）第二部分：高频考点一遍过高频考点一：分离变量法典型例题例题1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数，对，当时，恒有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，由题意，在上单调递减，在恒成立，即在时恒成立，设，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，而，，即，经检验，符合题意，即a的取值范围为，故选：D.例题2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数对一切，恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】∵，即，注意到，整理得，故原题意等价于对一切，恒成立.设，则，令，则；令，则；则在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最小值为，故，即实数的取值范围是.故答案为：.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，，，，曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）若不等式恒成立，则在上恒成立，因为，所以恒成立，令，，令，恒成立，所以在上单调递增，当趋近于，趋近于负无穷，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，所以存在使得，所以当时，，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，解得：，即，则，所以，所以.实数a的取值范围为.例题4．（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，所以，所以，，所以所求切线方程为，即.（2）对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立.①当时，显然成立.②当时，不等式等价于.设，所以.设，则.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，又因为在中，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为.练透核心考点1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．-1【答案】A【详解】由不等式，可得，设，即使得的最小值满足条件即可，又，令，则，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，即恒成立.因此当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即实数的最大值为.故选：.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝xlnx，若对于所有都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围．【答案】【详解】依题意，得在上恒成立，即不等式在上恒成立，亦即，．设，则.令，得，当时，，在上是增函数．所以在上的最小值是.故a的取值范围是．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.【答案】3【详解】由恒成立，得，∴.∵，∴恒成立，设，则，令，则，∵，∴，在上单调递增，而，∴存在，使，即，∴当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，∴在处有极小值（也是最小值），∴，又由恒成立，即，∴k的最大整数值为3.故答案为：3高频考点二：分类讨论法典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，①当，即时，满足；②当，即时，若，则有，令，则有，若，易知在上单调递增，不一定都满足，∴，即，，由，解得，由，解得，所以，在上单调递增，在上单调递减，由，则有，解得，所以时，满足；③当，即时，若，则有，即，易知，当且仅当时取等号，当时，所以，即，所以不满足恒成立；综上，若，的取值范围是.故选：A例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数的图像与直线相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求与的函数关系；(3)当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），，所以，函数在点处的切线方程是：，令得，所以该切线在x轴上的截距等于．（2）因为，，函数的图像在处的切线方程是：，即，两端乘以b变作：①又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．（3）函数的零点为，时．对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．①当时，对恒成立，此时．②当时，恒成立．设，求得．时，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以当时，取得极小值，，此时．③当时，恒成立，与②同，设，．令，则，在上单调递增．所以，时，得，在上单调递减．所以，时，取得最大值，此时．整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．所以实数的取值范围为．练透核心考点1．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数．(1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；(2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由可得，故函数在是严格增函数，设，，，则，即，即直线的斜率大于0．（2）由题意得，设，，①当时，恒成立，符合题意；②当时，，（ⅰ）若，，所以在上是严格减函数，，满足题意；（ⅱ）若，注意到在时，，于是，故，不满足题意舍去；综上，实数的取值范围是．2．（2023·四川广安·统考一模）已知函数．(1)若是的极小值点，求a的取值范围；(2)若，，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由已知可得，定义域为R..①当，则恒成立，解可得，解，可得；解，可得.显然是的极小值点，满足条件.②当时，解可得，.（ⅰ）当，即时，解，可得或；解，可得.此时是的极小值点，满足条件；（ⅱ）当，即时，恒成立，无极值点；（ⅲ）当，即时，解，可得或；解，可得.此时是的极大值点，与已知不符.综上所述，a的取值范围为.（2）由（1）知，，因为，所以，①当时，可知恒成立，则单调递增.故时，，所以，满足条件.②当时，可知时，，单调递减；时，，单调递增.所以，在区间上，当时，取得极小值，也即为最小值.由于，恒成立，则，即有，整理可得，因为，，所以有，解得.综上所述，a的取值范围为.高频考点三：等价转化法典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若，求的极值；(2)证明：当时，.【答案】(1)极大值为，极小值为(2)证明见解析【详解】（1）由题知，定义域为.所以.令，得或，当变化时，，的变化情况如表所示，x―1+0―0+增极大值减极小值增由表可知当时，函数取得极大值，且极大值为，当时，函数取得极小值，且极小值为.（2）问题可转化为证要证，即证，，即证，.，进而转化为求,设，则，故在上单调递增，所以.又因为，所以，所以.①当时，因为，，所以.②当时，令，则.设，则，则.设，则.因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即.综上可知，当时，，即当时，.例题2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函数在处取极大值，．(1)求的值；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，，又函数在处取极大值，所以，所以．经检验时，,函数在上是单调递增的,,函数在上是单调递减的,故函数在处取极大值，所以．（2）由（1）知，，故要证，即证．令，则，．令，,得到在上单调递增，因为，所以，使得，即所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，即，所以，所以，即，即得证．例题3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末）已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3).【详解】试题分析：（1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值；（2），则，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增；（3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零”结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：.试题解析：（1）的定义域为，当时，，，3—0+极小所以的极小值是，没有极大值；（2），，①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增；（3）“对内任意一个，都有成立”等价于“函数在上的最小值大于零”由（2）可知①当时，在上单调递增，所以，解得；②当，即时，在上单调递减，所以的最小值为可得，因为，所以；③当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得，所以；④当，即时，可得最小值为，因为，，所以，故，恒成立.综上讨论可得所求的范围是：.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．(1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．【答案】(1)或(2)1【详解】（1），则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.令，，则，则，解得或；（2）不等式恒成立，即恒成立，由于，则．设，则，，即．设，则，所以在上单调递减，又，，所以存在，使，即．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以．又，则，由于恒成立，，所以实数a的最小整数值为1．2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数，.(1)求的极值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的极小值为，无极大值(2)【详解】（1）的定义域为，，由解得，所以在区间递减；在区间递增.所以在时取得极小值，无极大值.（2）依题意在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，，令，，所以在上递增，，故，所以，所以在上递增，当时，取得最小值为，所以，即的取值范围是.3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设，，已知和在处有相同的切线.（1）求，的解析式；（2）求在上的最小值；（3）若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；.（2）．（3）.【详解】：解：（1）依题意，即，（2）在上递减，在递增①当时在递减，在递增②当时在递增（3）令由题意时恒成立在上只可能有一个极值点①当即时，在递增不合题意②当，即时符合题意③当，即时在上递减，在上递增；符合题意综上所述实数的取值范围是：高频考点四：双元最值法典型例题例题1．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数对区间上任意的都有，则实数的最小值是________.【答案】20【详解】，则＝0，，当或时，，递增，当时，，递减．所以，，又，，所以在上，，所以的最大值为，即，所以的最小值为20．故答案为：20．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求的取值范围.【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)【详解】（1）的定义域为，，设，则，，所以在上为增函数，所以当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上为减函数.综上可得，的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）对，使恒成立，即对，成立.由（1）知在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以，为和中的较大者，∵，，，又∵，得.∴，即.∴在[0，2]上∴，即，解之，得或，∴对，使恒成立时，a的取值范围为.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极大值为2．(1)求函数的解析式；(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．【答案】(1)(2)4（1）解：，因为函数在处取得极大值为2，所以，解得，经检验符合题意，所以；（2）解：，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减，又，所以当时，，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，所以，所以实数的最小值为4．高频考点五：构造法和同构法典型例题例题1．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意知，，不等式恒成立，即成立.设，则.因为，所以在上单调递增，于是对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，即.因为，所以当时，;当时，0，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选：.例题2．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）若对任意的恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．1 C．e D．【答案】C【详解】因为等价于，即，即．设，所以，即在上单调递减，因为，所以在上恒成立，即，即，故a的最大值为e．故选：C．例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________．【答案】【详解】由，因为，所以，因为，，所以，构造新函数，，因为，所以函数单调递增，所以由，即，设当时，单调递减，当时，单调递增，所以，因此有，故答案为：例题4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为________.【答案】【详解】.令，，则，∴在上单调递增.∵，，∴，∴恒成立，令，则，∴单调递增；单调递减，时，的最大值为，∴，∴的最小值