高等数学上册教案

高等数学教案

一、课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业

的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心

课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”,

“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运

算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑

推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼

于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的

意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数

关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、

右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极

限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小

求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类

型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的

性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称

为该集合的元素

表示方法：用A,B,C,D表示集合；用a,b,c,d表示集合中的

元素

l)A={ai,a2,a3,....}

2)4={一的性质P}

元素与集合的关系：Aa&A

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合

称为无限集。

常见的数集：N,Z,Q,R,N+

元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合

B的元素，则称A是B的子集，记作AuB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B

若作AuB且AHB则称A是B的真了•集。

空集。：0uA

2、集合的运算

并集AuB：ADB={X|XwA曲e8}

交集AcB：AcB={x|xeAJLre5}

差集A\B：A\B={x|xe

全集I、E补集4：

集合的并、交、余运算满足下列法则：

交换律、A<JB=B<JAAC5=3CA

结合律、(AD3)UC=Au(BuC)

(AcB)cC=Ac(8cC)

分配律(AUB)CC=(ACC)D(8CC)

(AnB)uC=(AuC)n(BuC)

对偶律(AD3)C=A'T|B，(Ac3)c=A'、D3'

笛卡儿积AXB={(x,y)|xeA且yeB}

3、区间和邻域

开区间(a,加

闭区间[a,b]

半开半闭区间(a,“\a,b)

有限、无限区间

邻域：U(a)U(a,S)=U|a—SYxYa+S}

a邻域的中心3邻域的半径

去心邻域6(a,b)

左、右邻域

二、映射

1.映射概念

定义设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则/,使得对X中

的每一个元素X,按法则/,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，

则称/为从X到Y的映射，记作

/：Xfy

其中y称为元素x的像，并记作/(x),即y=/(x)

注意：1)集合X；集合Y；对应法则/

2)每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DuR,则称映射R为定义在D上

的函数记为y=/(x)xeD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用/、g、<P

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.

例：1)y=2

2)y=N

1XAO

3)符号函数y=<0x=0

—1XY0

4)取整函数y=[x](阶梯曲线)

2五0<x<l

5)分段函数y=<

1+xx>1

2、函数的几种特性

1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界）

有界的充要条件：既有上界又有下界.

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2）函数的单调性（单增、单减）在XI、X2点比较函数值

/（内）与/（占）的大小（注：与区间有关）

3）函数的奇偶性（定义域对称、/（幻与/（-X）关系决定）

图形特点（关于原点、Y轴对称）

4）函数的周期性（定义域中成立：/（%+/）=/（%））

3、反函数与复合函数

反函数：函数，：。->/（。）是单射，则有逆映射/T（y）=x,称此映

射/t为/函数的反函数

函数与反函数的图像关y=x于对称

复合函数：函数M=g（y）定义域为D”函数y=/（x）在D上有定义、

且了（。）匚。1。则〃=g（/（x））=go/（x）为复合函数。（注意：构成

条件）

4、函数的运算

和、差、积、商（注：只有定义域相同的函数才能运算）

5、初等函数：

1）幕函数：y=x’2）指数函数：y=a*

3）对数函数y=log“（x）

4）三角函数

y=sin(x),y=cos(x),y=tan(r),y=cot(r)

5)反三角函数

y=arcsin(x),y=arccor>

y=arctan©>=arccot⑺

以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

,ex-e~x.ex+e~x

shx=--------cnx=---------

22

shxex—e~x

tnx=----=-------—

chxex+e~x

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(x+y)=shx-chy+chx-shy

sh(x—y)=shx-chy—chx-shy

ch(x+y)=chx-chy+shx-shy

ch(x—y)=chx-chy—shx-shy

y=arshx

反双曲函数：-rchx

y=arthx

作业：同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1)这个序列中的每个数都编了号。

2)序列中有无限多个成员。

一般写成：a,a2a3a4..........an..........

缩写为｛以｝

例1数列是这样一个数列｛x“｝,其中

x“=—，n=1,2,3,4,5..........

n

也可写为：

]1111

2345.................

可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0,记为

lim—=0

"—8n

1、极限的£—N定义：

V£A()BN称数列氏｝的极限

为a,记成1inK=a

“Toon

也可等价表述：

1)Ve>03NV〃>Np｛xnd)<£

2)Ve>0BNV〃>NxnGO(a£)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没

有关系。

二、收敛数列的性质

定理1:如果数列｛/｝收敛，那么它的极限是唯一

定理2如果数列｛怎｝收敛，那么数列｛%„｝一定有界

定理3：如果limx“=a且a>0(a<0)那么存在正整数N>0,当n>N时，

X->QO

X,,>o(x„<0)

定理4、如果数列｛x“｝收敛于a那么它的任一子数列也收敛，且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在与点的极限

1)玉)可在函数的定义域内，也可不在，不涉及/在玉)有没有定义,

以及函数值/(%)的大小。只要满足：存在某个。>0使：

(X。—dx<>)J(X。，“<>+Q)uZ)。

2)如果自变量》趋于尤。时，相应的函数值/(x)有一个总趋势-一

以某个实数A为极限，则记为：lim/(x)=A。

•rfxo

形式定义为：

,

V£>O-BJ-Vx(O<|x-xo|<J)|/(x)-i4|

注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、X—>8的极限

设：y=/(x)xe(-8,+o。)如果当时函数值有一个总趋势....该

曲线有一条水平渐近线y=A---则称函数在无限远点8有极限。记为:

lim/(x)=A

在无穷远点8的左右极限：

/(48)=1im/(x)

XT+oo

/(9)=lim/(x)

X—>-00

关系为：

lim/(x)=Aolimf(x)=A=limf(x)

X—>8x—>-KO

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列｛居｝,如果成立如下的命题：

<£则称它为无穷小量，即

limxn=0

X->8

注：1、V3£的意义；

2、同<£可写成k“-q<£;p(0,Xn)<£

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数£,存在一个号码

N,使在这个号码以后的所有的号码〃，相应的须与极限0的距离比这

个给定的£还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1在自变量的同一变化过程Xf%(或X-8)中，函数/(X)

具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a,其中a是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列卜“},如果成立：

>G那么称它为无穷大量。记成：

limx”=00。

X—>8

特别地，如果PG>U・3NNn>N・x〃>G,则称为正无穷大，记

成limx“=+oo

XT8

特别地，如果VG>0与N・V〃>N-x,〈一G,则称为负无穷大,

记成lim%“=—

Xf00

注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2在自变量的同一变化过程中，如果/(x)为无穷大，则」一

/(x)

为无穷小；反之，如果/(X)为无穷小，且/'(x)。。则一^为无穷大

/(X)

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当x“wO时：有

lim=0=>lim—=oo

QOx—>00X

lim=oo=>lim—=0

x<—oox->oox人〃

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

I、无穷小的性质

设色｝和｛%｝是无穷小量于是：

(1)两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn=0lim=0=>lim(x„±)=0

Xf8x—>00OO

(2)对于任意常数C,数列｛c-x,J也是无穷小量：

limxn=0=>lim(c-x,()=0

x—>00x<—00

(3)｝也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小

量。

1inx„=01iny„=0=>1i小.%)=0

X->8Xf8X->8

(4)｛xj｝也是无穷小量：

limxn=0。limlx,1=0

x->xoXTxJ

(5)无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数/和g在点玉)有极限，则

lim(/(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

Xf*0>A0A—>xo

2、函数/在点X。有极限，则对任何常数”成立

lim(6z•/(%))=a-lim/(%)

3、若函数/和g在点与有极限，则

lim(/(%)•g(x))=limf(x)-limg(x)

x—A—>.r0x7玉)

3、若函数/和g在点与有极限，并且limg(x)=〃wO,

贝!)

c11mf(x)a

----

11rr^(x)1

XfX。

极限的四则运算成立的条件是若函数/和g在点X。有极限

例：求下述极限

[.x-32x-3

lim----lim

7九一一9—5x+4

3X3+4X2+2

lim-------；---

32

X—>007x+5x-3I/2x-x+5

2X3-X2+5sin%

limhm----

XTOO3?-2x-lXf8x

4、复合函数的极限运算法则

定理6设函数y=/[g(x)｝是由函数y=/(〃)与M=g(x)复合而成,

/[g(x)]在点/的某去心邻域内有定义，若limg(仕)=%,

0

lim/(W)=A,且存在品〉0,当xw”(X0,bo)时，有

g(x)#"o，则

lim/[^(x)]=limf(u)=A

XT/NT%

第六节：极限存在准则两个重要极限

定理1夹逼定理：三数列｛5｝、｛%｝和｛z“｝,如果从某个号码起成

立：1)xn<yn<z“，并且已知｛x,J和｛z“｝收敛,

2)limx“=a=limz”，则有结论：

X—>00X—>00

limyn=a

定理2单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收

敛。

smx

例：证明:lim----1

x->0x

..tan11-cosjc

例：lim-----lim----：——

x->0%xf0%"

「arcsinx

lim-------

10x

lim(l-L),的极限

证明:lim(lH—)'有界。求

x->8

xXf8X

第七节：无穷小的比较

定义：若a,/?为无穷小

lim^=O

a

lvim—P=oo

a

且

lvim—P=c^0n

a

p八

hrm-^r=c#0

aK

lim—=1

a

高阶、低阶、同阶、k阶、等价a〜夕

1、若a,1为等价无穷小则（3=。+。（。）

2、若a〜〃、夕〜夕且limg存在，

贝小=

,.tan2x「sinx

例：lim——-lim-------

Isin5xXTOX5+3x

a+x2r-i

lrim---------------

xf°cosx-1

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数/在点与连续，当且仅当该点的函数值/(%)、左极限

/(xo-o)与右极限y(xo+o)三者相等：

y(xo-o)=/(xo)=/(xo+o)

或者：当且仅当函数/在点X。有极限且此极限等于该点的函数值。

lim/(x)=/(%„)其形式定义如下：

XT殉

Ve<()3^VX|-X-x0|<^)|/U)-/(x0)|

函数在区间(a,b)连续指：区间中每一点都连续。

函数在区间［a,b］连续时注意端点。

注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：/(%—0)=./•(%)=.f(Xo+°)中有某一个等式不成立，就间

断，分为：

1、第一类间断点：

可去型：/(松—0)=f(+0)但limf(x)*/(xo)

Xox

^x0

跳跃型：/(xo+O)^/(xo-O)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。

2、第二类间断点与：左极限/(Xo—°)与右极限/(/+0)两者

之中至少有一个不存在(无穷型间断点和振荡型间断点)

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

l.lim/(%)=f(Xo)且limg(x)=g(%),

x—X—>x0

=>lim{a'/(%)+。g(x)}=a'/(x0)+/3-g(x0)

2limf(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0),

x->xoXfXo

=>Hm{/(x)*g(x)}=/(x)*g(x)

XT%。00

3.limf(x)=/(%)且limg(x)=g(x0)/0，

A—>AQXT/

=lim包=3

f。g(%)g(%0)

反函数连续定理：如果函数f:y=/(x)xGDf是严格单调增加

(减少)并且连续的，则存在它的反函数/』：x=f-'(y)yeDj并

且/t也是严格单调增加(减少)并且连续的。

注：1)反函数的定义域就是原来的值域。

2)通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

)=尸3XGD尸

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件况guDf,若函数g在点Xo连续；

g(xo)=m°,又若/函数在点/连续，则复合函数/og在点X。连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换:

limf(g(x))=/(lim^(x))

1玉)

从这些基本初等函数出，通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数

统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：y=.f(x),在上有界，现在问在值域

D={y|y=/(%),%G。}

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点与e。的函数

值>o=/(/)，则记%=max{/(x)}叫做函数在D上的最大值。

xeD

类似地,如果Df中有一个最小实数,譬如说它是某个点々GDf的

函数值%=/(％2)，则记%=min{/(%)}称为函数在上的最小

XGDf

值。

二、有界性

有界性定理：如果函数/在闭区间口力］上连续，则它在句上有

界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数/在闭区间上连续则它在

［。力］上有最大值和最小值，也就是说存在两个点G和使得

/(G</(x)</(7),xwb］

亦即

/($■)=niin{/(x)}/S)=ma"(%)}

xe［a,b\xe［a,b\

若Xo使/(%)=0,则称Xo为函数的零点

零点定理：

如果函数/在闭区间［a,“上连续，且/在区间［a,”的两个端点

异号：/(a)*/(0)<0则至少有一个零点Je(a,。)，使/(4)=0

中值定理：

如果函数/在闭区间［a,b］上连续，则/在\a,b］上能取到它的最大

值和最小值之间的任何一个中间值。

作业：见课后各章节练习。

第二章导数与微分

教学目的与要求22学时

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会

求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，

会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间

的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练

掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和

一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会

求反函数的导数。

一、导数概念(1)

/

I、定义f(x0)=lim电

Ax-»OAx

=limf(Xo+Ax)-f(x())

Axf0Ax

..f(x)-f(x)

=hm.......—0

X—>XQX-XQ

f/(x)=limf(x+-x)-f(x)

Axf0Ax

左导数

\f(x+Ax)-f(x)f(x)-f(x)

f.(x)=lrim——-0-----------0=lim--------0-

Ax->0'取xfx()-X-X。

右导数

\rf(x0+Ax)-f(x0)f(x)-f(x0)

f+(x)=lim——-------------=lim---------

+

Ax.o+以x->x0x-x。

，f/(Xo)=Agf/(Xo)=f；(Xo)=A

可以证明：

可导一连续。即可导是连续的充分条件。

连续是可导的必要条件。

左右导数(注：与左右极限关系)

2、导数的几何意义

曲线y=f(x)在点(X0,y0)处切线：

y-yo=f/(xoXx-xo)

例1：讨论xsin—**0在*=0处可导性

f(x)=<X

0x=0

解：:limf(x)=limxsin—=0=f(0)

x-0xf0x

f(x)在x=0连续

lim*x)-f(。)=limsiIU-不存在•*-f(x)在

x~^0X—0x~^0X

x=0不可导

例2：已知f/(X0)存在

则n1n与士型二区2=2F(XO)

…h-------

limf(x<)-5h)-f(x°)=_5f，(x0)

i。h---------

［淞/禺+3〃)-/(/-1)

/ioh

=limf(x0+3h)-f(x0)_f(x°-h)-f(x。)

h…hh

=4-(x°)

例3：设函数f(衿可微，

则limf"x+Ax)-f2(x)=2f(x)fz(x)

AxfOAX----------

例4：

设xx<x

以f(X)=0

ax+bx>0

为使f(x)在x=x()处可导，应如何选取常数a、b

解：首先f(X)必须在xo连续

limf(x)=limx2=XQ

X-»X0-X—>X0.

limf(x)=limax+b=ax0H-b

xfx°+x—>XQ+

Aax+b=Xn①

22

XX0

f_(x)=hm------------=limXo

x-»X0-x-x0xfx0

=limx+x0=2x0

x->x(f

f：(x)=lim网-帆)=]imax+b-x0

+

Xfxo+X-Xox->x0X-Xo

..ax-ax

hm---------0=a

xfx()+x-x

0（由①得）

f/(x0)存在

a=2x0从而b=-x0

例5：f(x)=x(x-l)(x-2).......(x-9),则f(o)=—9!

•••f/(O)=limf必f(。)

x->0X-0

=lim(x-l)(x-2).......(x-9)=-9!

x->0

例6：设f(x)在x=0领域内连续，Rm，(x)__=2,

x->oVl+x-1

则f/(O)=l

丁f(0)=limf(x)=0(分母fO)

xf0

...f(x)-f(O)..f(x)

・・f(0)=lim------------=lim

xf0x-0xf()x

f(x)Jl+X-11

=hm/-------------=2—=1

x—>oJl+x-1x2

例7：设函数f(1+x)=af(x),

且f/(0)=b(a,b7^0),

问Q(l)存在否？

解：Q⑴=Hm…)Slim笆她任纥

Ax->0AxAxfOAx

f(Ax)-f(0)"仆

=lrima----------=af(0)=abk

AxfOAx

二、导数的求法

1、显函数导数

求一个显函数的导数需解决：

①基本初等函数导数(PQ;

②导数四则运算法则(P65)；

③复合函数与反函数求导法则(P66)。

定理：

u=(p(x)在X有导数出,，y=f(u)在对应点U有导数曳,

dxdu

则复合函数y=f[(p(x)]在x处也有导数，

a=曳.曳=f/(u)W(x)。

dxdudx

例1：y=xsin(2x2+1)求y'

解：yZ=sin(2x2+l)+x-4xcos(2x2+1

例2：求y

/12xx

解：v=------=-----

2l+x21+x2

例3：y=arctgV7求y

解：y/=—!____L

1+x2Vx

1

arctg—/

例4：y=ax求y

解：

例5：y=ln3(2x+1)求y，

解：y/=31n2Qx+l)—

2x+1

例6：例Jx+Jx+g求y/

解：y_i

2个x+Vx+Vx

例7：y=xsinx求y/

繇v_psinxlnxzssiinnxxfsinx.1

解：y-ey/=xi+cosx-InxI

p>x„ba/

例8：y=aD+x+bv求y

解：yz=abIna-bxlnb+abxa-1+bxInb-axa-1

例9：i求y/

Ve2x+1

解：y=-^[lne2x-ln(e2x+1)]=x-^ln(e2x+1

/।12e2x1

y=1---------------=----------

2x2x

2e+1l+e

高阶导数、二阶:

d2yf《X0+Ax)-f/(x())

=lim

2

dxx=XQAX->0Ax

二Iim叫曰如)

X—»XQX—XQ

例10：y=f(e2x),fZ(x)=Inx求dy

dx

解：dy_df(e2x)de2x

dxde2xdx

=f/(e2x).2e2x

=lne2x-2e2x=4xe2x

先讲微分(后页)

2、隐函数导数参数方程导数

如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导，注意y-y(x)

例10：求下列隐函数的导数

(1)设ysinx—cos(x-y)=0求y，

解：方程两边对X求导，

yGinx+ycosx+sin(x-y)•(1-y，)=0

/_ycosx+sin(x-y)

sin(x-y)-sinx

(2)设y=y(x)是由方程6*丫+ln上=0所确定的隐函数，

x+1

求y/(0)

解：由原方程知当x=0时，y=l，

e

方程两边对X求导。

exy(y+xy-....1—-0，将x=0,y=—代入得：

v'y1+xe

—+eyZ（0）-1=0,,ty/（0）=—|1—j

eeVej

（3）y=y（x）是由方程e、+q=e所确定的隐函数，

试求y/（0）,y〃（0）。

解：方程两边对X求导：

eyyz+y+xy/=0①

方程两边再对X求导：

eYy"+eY（y，y+2y/+4”=0②

由原方程知，当x=（）时，y=l,代入①得y/（o）=_J_

e

再将x=0,y=1,y/（o）=_J_代入②式，

e

得y"（0）=g

求立

y=t3+ldxdx2

dy2

解：dy_dt_3L_3*2C-2t

dx-dx_2e2t-2

dt

d*端

dy_(dxj_dt_3(2te-21-2t2e-2')--^

dx2-dx-dx-22e21

dt

a

=1t(l-t)e-41

(5)设y=y(x)是由方程组，、、=t?一2t—3所确定的函数，求：曳。

y--e>sint-1=0dx

解:

dxc3

—=2t-2

dt

dyvv-dy„dyeycost

--eJcost-eJsint—=0—=---------

dtdtdtl-eysint

dy

dy_dt_e、cost

dxdx2(t-l)(l-eysint)

dt

3、分段函数的导数

’22

)用—ax+1—,x<0

Duf(x)=a.a(a>0,a^l),

srnx八

----,x>0

、x

求：fZ(x)

x<0,fz(x)=-lna-ax

解：当a

八、xcosx-sinx

x>0,f/(x)=------z------

x

/±a+1---1

f_(0)=lim.KO]lim/—J

x->o-x-()x-(rx

—(ax-1)2

=lim---------=—Ina

X->O-Xa

sinx

f\(0)=limWz他

lim

x"Xx-o+X

sinx-x..COSX-1c

hm---h-m------------=0

x"x，x->o+2x

f/_(0)wf/+(0)

f/(0)不存在，故/(x)=.x<0

x>0

高阶导数(n阶)略，

例y=x(2x-(x+3)3

y⑹=4x6!

2)设f(X)在(-8,+8)上具有二阶连续导数，且f(0)=0,对函

f(x)xWO

数x

g(x)=

ax=0

(1)确定a的值，使g(x)在(-8,+8)上连续

(2)对(1)中确定的。，证明g(x)在(-co,+8)上

一阶导数连续

解：

①「/、「f(x)f(x)-f(O)/

a=limg(x)=lim----=lrim-----------=f(0)

x->0x-»0xx->0x

即当a=P(O),y(x)在x=0连续，

也就是在(-8,+8)连续

,、仆—-fz(0)

②g/(0)=lim软也-8(0)=时_jc--------

xf0xxf0x

rf/(x)rf〃(x)f〃(0)

=lim-----=lim------=------

x-»o2xxfo22

而r><\v好/(x)—f(x)

叩limg(x)=lim------------

xfOx-0x'

11xf(x)+f(x)-f'(x)=limS

m=g(°)

x-X)2

XTO2X

8‘伍)在乂=。连续,即在(-00,+8)连续

三、微分

y=f(x)

dy=fZ(x)Ax=f/(x)dx

一阶微分形式不变y=f(u)

dy=fz(u)du(u自变量)

如y=f(u)u=(p(x)

dy=f/(u)(p/(x)dx=f(u)du(u中间变量)

乂222o2

例：y=e,dy=2xevdx，dy=exdx2=2xexdx

可导----------可微

第三章微分中值定理导数的应用

教学目的与要求

1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒

中值定理。

2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方

法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3.用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、

铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4.握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5.道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6.了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式(放入泰勒级数中讲)

1.罗尔定理

如f(x)满足：

(1)在［a,b］连续.

(2)在(a,b)可导.

(3)f(a)=f(b)则至少存在一点1w(a,b)

使口⑹=0

例设g(x)=x(x+l)(2x+l)(3x-1)>则

在区间(T,0)内，方程g/(x)=0

有2个实根；在(-1,1)内g〃(x)=0有2个根

例设f(x)在［0,1］可导,且f(0)=f⑴=0,

证明存在r|w(o,i),使f(r))+u>(n)=o。

证：设F(x)=xf(X)在［a,b］可导，F(0)=F(l)

存在r|G(0,l)使F/(T|)=0即f(r|)+r|f/(r|)=0

例设f(x)在［o,1］可导，且f(o)=f(l)=o,

证明存在nF(r|)+F(r|)=O。

解：设F(x)=eXf(x),且Ro)=F(l)由罗尔定理

存在.使F/(r|)=OBPer|f(r|)+er|f/(r|)=O,

亦即f(n)+f/(r|)=O

例习题6

设F(x)=f(x)eg(x)(复合函数求导)

2、拉格朗日中值定理

如f(x)满足：①在［a,b］连续；②在(a,b)连续，

则存在&G(a,b)

使f(b)-f(a)=f/⑹(b-a)。

推论：⑴如果在区间I上f［x)三0,则f(x)=c

⑵如果在区间I上f/(x)〉0(<0),

f(x)在I单增(减)

例对任意满足冈<1的X,

11-X1.71

都有arete,------+—arcsinx=—

"1+x24

_______1_

f/(x)=—J

1+三2百

1+xVl+x

11+X1+X21

2271-x2l+x22A/1-X2

f(x)=c

・•・f(o)=；

f(x)=£

例设(X>。)，证明上<in(l+x)<x

1+x

求导证明

作业：见各章节课后习题。

二、洛必达法则

未定形：

如下的函数极限都是未定形。

0,..x-sinx„„

1、一型：如：lim------------型：

0zotanx-x

ooInx八

2、一型：如：lim-----a>0

00Xa

3、（）*8型：如：limxa-Inxa>0

X-»-KC

5、0°型：如：lim产3nx

1+0

I

6^oo°型：如：hm(ctgx)}nx

XT+O

.i

「smx-

7、1型：如：lim(z------)xv

DX

它们的计算不能用函数极限的四则运算法则,

且它们只表示类型，没有具体意义。

1、9(上)型的洛必达法则xfa(同理xf8)

0oo

定理：对函数和，如果:

(1)lim/(x)=0limg(x)=O

x->ax->«

(XT8)(Xf8)

(2)在某个邻域N(a,5)内(x>X后)有导数

/和g',且g'(x)wO；

f'(