数学-专项1.1 二次根式及其性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.1二次根式及其性质（知识讲解）【学习目标】理解二次根式的概念；掌握并运用二次根式的非负性解决问题；【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

特别说明：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如6，a，m+n，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

特别说明：

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：（1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。（2).≥0时，==；<0时，无意义，=.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念的理解 1．在式子中，二次根式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B

【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．解：是二次根式，符合题意，是三次根式，不合题意，是二次根式，符合题意，不是二次根式，不合题意．故选：B．【点拨】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．举一反三：【变式】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有：（x＞0），，，共3个．故选：C．【点拨】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．类型二、二次根式➽➼有（无）意义 2．在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．且【答案】D【分析】直接根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件计算即可．解：根据题意得：

，解得：且．故选：D．【点拨】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】若，则的值是（

）A．5 B．1 C． D．2【答案】D【分析】利用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入可得x的值，从而得解．解：依题意得：，解得：，将代入得，∴，故选D．【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．【变式2】已知实数a满足，那么的值是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．解：由题意得：，即，，，

，，则，故选：A．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．类型三、二次根式➽➼求二次根式值✬✬求参数 3．与结果相同的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0故选：A．【点拨】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．举一反三：【变式1】已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（

）A．1 B．2 C．3 D．12【答案】C【分析】先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可．解：∵=且是整式，∴3n是完全平方数，∴正整数n的最小值是3故选C【点拨

】此题主要考查二次根式的定义和化简，熟练掌握二次根式的定义和化简方法是解题的关键．【变式2】已知有理数满足，则的值是______.【答案】【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．解：∵，∴，∵a，b为有理数，∴，解得，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．类型四、二次根式➽➼二次根式性质✬✬化简 4．阅化简：；(2)；；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案即可；（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案即可；（3）利用二次根式的性质结合平方差公式化简求出答案；（4）先将被开方数化为假分数，再利用二次根式的性质化简求出答案即可．

（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点拨】本题考查了二次根式的性质和平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式1】求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是正确的；(2)化简代数式，（其中）；(3)若，直接写出的取值范围．

【答案】(1)小芳；(2)3；(3)【分析】（1）由知，据此可得，从而作出判断；（2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得；（3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应值，合并即可．（1）解：，，则，所以小芳的解法是正确的，故答案为：小芳；（2），；（3）当时，，解得：；当时，；当时，，解得：，综上，的取值范围是：．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．

【变式2】设、是实数，且求的值．【答案】【分析】根据已知式子利用完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得的值，代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解．解：∵即∴∴，解得：，∴【点拨】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数的性质，二次根式的性质化简，求得的值是解题的关键．类型五、二次根式➽➼二次根式性质✬✬复合二次根式的化简 5．观察下列各式及其化简过程：，．(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；(2)化简；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】（1）将31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先将7分解成，计算第二层根式，再将35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；

（3）将等式两边同时平方即可求出答案．【详解】（1）（2）（3）两边平方可得：∴，【点拨】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键．举一反三：【变式1】因为，所以因为，所以因为，所以

请你根据以上规律，结合你的经验化简：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．【答案】（1）﹣；（2）；（3）；（4）【分析】（1）由被开方数中5分为(3+2)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果；（2）被开方数变形为：，中的4分为(3+1)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果；（3）由被开方数中7分为(4+3)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果；（4）由被开方数中13分为(7+6)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果．【详解】（1）∵，∴，故答案为：；（2）∵，而，∴∴，故答案为：；（3）∵，∴，故答案为：；

（4）∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式．【变式2】小明在解决问题：已知a＝，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：因为a＝＝＝2－，所以a－2＝－.所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.所以a2－4a＝－1.所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：=

－.(2)计算：＋…＋；(3)若a＝，求4a2－8a＋1的值．【答案】(1)，1；(2)9；(3)5【分析】（1）；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；（3）首先化简，然后把所求的式子化成代入求解即可.解：(1)计算：

；(2)原式；

(3)，则原式，当时，原式.【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.中考真题专练 5．（2022·安徽·中考真题）计算：．【答案】1【分析】原式运用零指数幂，二次根式的化简，乘方的意义分别计算即可得到结果．解：【点拨】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂，二次根式的化简和乘方的意义是解本题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·中考真题）计算：．【答案】【分析】按照绝对值的性质、乘方、零指数幂、二次根式的运算法则计算.解：原式.【点拨】本题考查绝对值的性质、乘方、零指数幂、二次根式的运算法则，比较基础.【变式2】（2020·湖南邵阳·中考真题）已知：，（1）求m，n的值；（2）先化简，再求值：．【答案】（1）；（2），