数学-2021年北京二模-新定义问题（学生版）

2021年北京二模——新定义问题1．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”；（2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．2．对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”；若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”．已知，（1）在中，点A的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线．

①若点P在⊙O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；②若在⊙O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点，，中，对线段ON的可视度为60º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．4．对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，则称点P＇为点P关于⊙G的旋转点．下图为点P及其关于⊙G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，－2）．（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是；（2）若在直线上存在点P关于⊙O的旋转点，求的取值范围；

（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标P＇的取值范围．5．在平面直角坐标系中，对于⊙内的一点，若在⊙外存在点，使得，则称点为⊙的二倍点．（1）当⊙的半径为2时，①在，，三个点中，是⊙的二倍点的是；②已知一次函数与y轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙的二倍点，求a的取值范围．（2）已知点，，，⊙的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙的二倍点，直接写出m的取值范围．6．在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点．（1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点．①________，_________；②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围；（2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过

中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值．7．在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC关于∠BAC的“劲度点”，线段PA的长度称为△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点、、、中，连接点A和点的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N（4，0）．①当t=时，求出△MON关于∠MON的“劲度距离”的最大值．②如果内至少有一个值是△MON关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．8．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点．（1）如图1，点．

①若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为__________；②若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为__________；（2）如图2，⊙的半径为1．若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；（3）是轴上的动点，⊙的半径为2，若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围．9．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点M，N，且MN＝2，使得以P，M，N为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“正点”．已知A（2，0），B（0，）．（1）在点（－1，），（0，0），（2，）中，线段AB的“正点”是；（2）直线（）上存在线段AB的“正点”，求k的取值范围；（3）以（）为圆心，为半径作⊙，若线段AB上总是存在⊙的“正点”，直接写出的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N），特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M，N）＝0已知点．

（1）①求d（点O，线段AB）；②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值；（2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；（3）若直线上存在点E，使d（E，）＝1，直接写出b的取值范围．11．对于平面直角坐标系中的一点和，给出如下的定义：若上存在一个点，连接P