等式性质与不等式性质学生用

专题04等式性质与不等式性质高考概览1.理解等式的性质与不等式的概念;2.掌握不等式的性质及应用.必备知识.真题演练【知识梳理】1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).【常用结论】1.不等式相减、相除及取倒数(1)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d.(2)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).(3)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).2.分数性质若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)假分数性质：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).【真题体验】1．（2020天津卷）设，则的大小关系为()A． B． C． D．2．（2021全国乙卷）设，，．则（）A.B.C. D.3.2021全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（）A. B. C. D.考点突破.典题精研考点一比较数(式)的大小1.已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则eq\f(S3,a3)与eq\f(S5,a5)的大小关系为________.2.若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).3.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，则()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c4.若a＞0，b＞0，则p＝(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2))与q＝ab·ba的大小关系是()A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q名师点拨1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.考点二不等式的性质【例1】(1)设a，b，c，d均为非零实数，则下列命题中正确的为()A.若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab<0B.若a<b<0，则eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b)C.若a>b，c>d，则a－c>b－dD.若a>b>1>d＋1，则loga(b－d)<logb(a－d)(2)(2021届陕西西安中学月考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，给出下列不等式，其中正确的是()A.eq\f(1,a＋b)>eq\f(1,ab)B.|a|＋b>0C.a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)D.lna2>lnb2名师点拨解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练1】(1)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是()A.ab＞ac B.c(b－a)＜0C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0(2)下列命题中正确的是()A.若a＞b，c∈R，则ac＞bcB.若a＞b，c＜d，则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dD.若ab＞0，a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)考点三不等式及其性质的应用角度1不等式在实际问题中的应用【例2】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.角度2求代数式的取值范围【例3】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.【变式1】将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围.【变式2】将本例条件改为“已知－1<x－y<4，2<x＋y<3”，求3x＋2y的取值范围.名师点拨1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练2】(2021·武汉质检)已知实数a∈(1，3)，b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))，则eq\f(a,b)的取值范围是________.课后跟踪训练【基础巩固】一、选择题1.下列命题中，正确的是()A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若ac>bc，则a>bC.若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，则a<bD.若a>b，c>d，则a－c>b－d2.(2021届湖北荆州中学月考)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中不恒成立的是()A.aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2))B.eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC.eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)D.ac2<bc23.（2021·甘肃张掖市第二中学高二期中）下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，，则4.（2021·赣州市赣县第三中学高一月考）若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．5.已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A.M<N B.M>NC.M＝N D.不确定6.(2021·齐鲁名校联考)若α，β满足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A.－π＜2α－β＜0 B.－π＜2α－β＜πC.－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2) D.0＜2α－β＜π7.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则()A.ln(a－b)>0 B.3a<3bC.a3－b3>0 D.|a|>|b|8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A.c≤3 B.3<c≤6C.6<c≤9 D.c>9二、填空题9（2021·北京高二期末）能够说明“设a，b，c是任意实数．若c＜b＜a，则ab＞ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．10.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab>0.其中正确的命题是________(填序号).12.若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，eq\f(1,2)，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________.能力提升13.(多选题)(2021·山东新高考模拟)若0＜a＜1，b＞c＞1，则()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(a)＞1