振动理论与应用第5章-两自由度系统的振动

第5章两自由度系统的振动返回总目录制作与设计贾启芬振动理论与应用TheoryofVibrationwithApplications返回首页第5章两自由度系统的振动TheoryofVibrationwithApplications5.1两自由度系统的自由振动5.2拍振5.3坐标的耦联5.4两自由度系统的受迫振动目录

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第5章两自由度系统的振动5.1两自由度系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications自由振动微分方程取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定律得两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。5.1两自由度系统的自由振动5.1.1运动微分方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications质量矩阵刚度矩阵质量影响系数刚度影响系数加速度列阵

坐标列阵5.1两自由度系统的自由振动5.1.1运动微分方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications根据微分方程的理论，设方程的解为这组解可写成以下的矩阵形式

代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组

passingsimultaneouslythroughtheequilibriumposition.5.1两自由度系统的自由振动5.1.2频率方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications系数行列式等于零

这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程

determinantiszerocharacteristicequation

5.1两自由度系统的自由振动5.1.2频率方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications它的展式为

则特征方程可改写为这就是特征方程的两组特征根eigenvalues

andeigenvectoes

。特征根正值小于是两个大于零的不相等的正实根5.1两自由度系统的自由振动5.1.2频率方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications这就是特征方程的两组特征根。特征根正值小于是两个大于零的不相等的正实根p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率p1称为第一阶固有频率；较高的频率p2称为第二阶固有频率。由式看出，固有频率p1、p2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。5.1两自由度系统的自由振动5.1.2频率方程返回首页TheoryofVibrationwithApplications第一主振动

第二主振动

振幅比

第二主振型第一主振型将第一固有频率p1代入normalmode

theratiooftheamplitudes5.1两自由度系统的自由振动5.1.3主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。

将p1、p2之值代入，得这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。5.1两自由度系统的自由振动5.1.3主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即由运动的初始条件确定。写成矩阵形式5.1两自由度系统的自由振动5.1.3主振型返回首页TheoryofVibrationwithApplications例题k3

x2

例5-5试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为解：（1）建立运动微分方程式5.1两自由度系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications例题质量矩阵刚度矩阵将M和K代入频率方程，得系统的第一阶和第二阶固有频率为（2）解频率方程，求pi5.1两自由度系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications例题将、分别代入，得（3）求主振型主振型为节点5.1两自由度系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications例题例5-6在上题所示系统中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，;（2）t＝0，x10＝1cm，。将M、K代入频率方程，得对应的两个主振型和振幅比为解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为5.1两自由度系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications例题将初始条件（1）代入式，解得这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。5.1两自由度系统的自由振动返回首页TheoryofVibrationwithApplications例题这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。再将初始条件（2）代入式，得5.1两自由度系统的自由振动

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第5章两自由度系统的振动5.2拍振返回首页TheoryofVibrationwithApplications前面讲到当同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的条件是两个简谐分量的频率相差很小。对于两自由度无阻尼的自由振动，既它们的主振动是简谐振动，所以当两个固有频率相差很小时，就可能出现拍振。

图表示两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度k很小，在一定的初始条件下，系统将作拍振。5.2拍振返回首页TheoryofVibrationwithApplications取、表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图。得到摆做微小振动的微分方程得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统的第一阶和第二阶主振型为5.2拍振返回首页TheoryofVibrationwithApplications于是得到第一主振动第二主振动系统振动的一般解5.2拍振返回首页TheoryofVibrationwithApplications如果初始条件是：t=0时，因此得到双摆作自由振动的规律这时p1、p2相差很少，摆将出现拍振。将上式写成如果弹簧的刚度k很小，因而＜＜代入上式得到5.2拍振返回首页TheoryofVibrationwithApplications拍频率拍振周期5.2拍振

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第5章两自由度系统的振动5.3坐标的耦联返回首页TheoryofVibrationwithApplications5.3坐标的耦联5.3.l耦联与非耦联5.3.2主坐标返回首页TheoryofVibrationwithApplications两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做耦联，具有耦联性质的系统叫耦联系统。像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦联或质量耦联5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsl1l2GmgCGx5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联静力耦联或弹性耦联质心与几何中心不重合质心x几何中心返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsGCl4l3GxcC5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联动力耦联或质量耦联C几何中心返回首页TheoryofVibrationwithApplications5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联x=x1ll1l2Gmgx1G静力与动力耦联返回首页TheoryofVibrationwithApplications某个系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。一般说来，为了表示多质点系的运动状态，可以选用的独立坐标系，即广义坐标generalizedcoordinates，有好几种。根据选择坐标的不同，系统可以是静力耦联，动力耦联、静力兼动力耦联，或非耦联的（即完全无耦联的）。耦联可用二层楼模型的例子来说明。5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联返回首页TheoryofVibrationwithApplications用质点m1的位移x1和质点m2的位移x2表示系统的振型，如图(a)所示。构成了静力耦联。选择质点m1的位移q1和质点m2与m1之间的相对位移q2为两个坐标，如图(b)所示。这时

动力耦联系统

5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联返回首页TheoryofVibrationwithApplications以连结两质点的直线与地面的交点的坐标为q1，该直线与垂直方向所夹的转角为q2，并选择这样的q1和q2作为广义坐标，图(c)所示。当q2为微小量时，两质点的位移可表示成构成静力、动力耦联5.4坐标的耦联5.4.l耦联与非耦联返回首页TheoryofVibrationwithApplications经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为主坐标。

例5-7试由双摆作微小摆动的微分方程，寻求出系统的主坐标。解：双摆作微小摆动的微分方程为将以上两式相加、相减便得到令上式变为5.4坐标的耦联5.4.2主坐标返回首页TheoryofVibrationwithApplications可见，是系统的主坐标，可直接得到其固有频率为令上式变为5.4坐标的耦联5.4.2主坐标

返回首页TheoryofVibrationwithApplications第5章两自由度系统的振动5.4两自由度系统的受迫振动返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsk3

x2

若两个物块受到激振力的作用

列出该系统的受迫振动微分方程，其矩阵形式为为简谐振力的幅值列阵，

为激振频率系统的稳态响应。设特解为质量矩阵刚度矩阵5.4两自由度系统的受迫振动返回首页TheoryofVibr