人教版九年级数学下第四讲 相似三角形的性质与判定复习导学案

/第四讲相似三角形的性质与判定一、知识精讲1.比例的性质比例的性质例如剖析〔1〕根本性质：〔2〕反比性质：〔3〕更比性质：、或〔4〕合比性质：〔5〕分比性质：〔6〕合分比性质：〔7〕等比性质：〔其中为正整数,〕①②,当时2.成比例线段及相关概念概念1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比,叫做这两条线段的比．2．成比例线段：如果线段和的比等于线段和的比,那么线段,,,叫做成比例线段,记作或．3．比例中项：假设,那么称是,的比例中项．4．黄金分割点：如图,点把线段分成两条线段和〔〕,假设,那么称线段被点黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,与的比叫做黄金比,即．注意：线段的黄金分割点有两个．3.平行线分线段成比例定理及推论定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．如图1,所示,如果,那么,,．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边〔或两边的延长线〕,所得的对应线段成比例．如图2,所示,假设,那么有,,．如图3,假设,那么有．图⑴ 图⑵ 图⑶4.相似图形的相关知识定义例如剖析相似图形：形状相同的图形叫做相似图形．两个正方形是相似图形相似多边形：我们把形状相同,大小不同的多边形,叫做相似多边形．放大后的图形和放大前的图形是相似多边形．相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比〔或相似系数〕相似三角形的性质：⑴相似三角形的对应角相等,对应边成比例.相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比；〔需要证明〕⑵相似三角形的周长之比等于相似比.⑶相似三角形的面积比等于相似比的平方．假设,那么〔为相似比〕,3.相似三角形的判定相似三角形的判定定理：⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑶三边对应成比例的两个三角形相似.由⑴得到①任何两个等边三角形都相似;②任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;③三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似;④一个锐角相等的两个直角三角形相似．二、典例解析题型一：线段成比例【例1】⑴假设,那么〔〕A． B． C． D．⑵,那么以下等式中不成立的是〔〕A． B． C． (且) D．=3\*GB2⑶,那么．=4\*GB2⑷在比例尺为1︰2019的地图上测得AB两地间的图上距离为5,那么AB两地间的实际距离为m．=5\*GB2⑸b是a、c的比例中项,且,,那么_____.⑴D．⑵D．=3\*GB2⑶∵,∴,∴．=4\*GB2⑷100；=5\*GB2⑸.【例2】⑴在中,交于,交于,以下不能成立的比例式是〔〕A．B． C． D．⑵如图,,那么②假设,那么cm,③假设的周长为16cm,那么的周长为．=3\*GB2⑶如图,中有菱形,如果,那么的值为．=4\*GB2⑷如图,,,现得到以下结论：其中正确比例式的个数有〔〕A．4个 B．3个 C．2个 D．1个⑴D；⑵；4；24；⑶；⑷B.题型二：相似的相关计算【例3】⑴手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是〔〕ABCD⑵如图,中,点在线段上,且,那么以下结论一定正确的选项是〔〕A． B．C． D．⑶如图,在平行四边形ABCD中,,,E是AD的中点,在AB上取一点F,使,那么BF的长是〔〕A.5B.8.2C.6.4D.1.8⑷如图,,点D、E分别在AB、AC上,且∠ABC=∠AED．假设DE=4,AE=5,BC=8；那么AB的长为．⑴D.⑵C.⑶D.⑷10．题型三：相似三角形的判定【例4】⑴如图,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的选项是〔〕A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．⑵给出以下条件：①的两个角分别是和,的两个角分别是和.②的两边长分别为和,夹角为,的两边长分别为和,夹角为.③的边长分别是、、,的边长分别是、、.④中,,,,中,,,.其中能判定和相似的条件有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个⑴或或〔答案不唯一〕；=2\*GB2⑵D.【例5】=1\*GB2⑴如图,在正方形网格上有6个斜三角形：①,②,③,④,⑤,⑥,其中②～⑥中,与三角形①相似的是〔〕A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥=2\*GB2⑵如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,是格点三角形〔三角形的三个顶点都是小正方形的顶点〕,假设以格点、、为顶点的三角形与相似〔全等除外〕,那么格点的坐标是．=3\*GB2⑶,,,,那么．=1\*GB2⑴B；=2\*GB2⑵、.=3\*GB2⑶．【例6】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°．点E为底AD上一点,将△ABE沿直线BE折叠,点A落在梯形对角线BD上的G处,EG的延长线交直线BC于点F．(1)求证：△ABG∽△BFE；(2)设,,当四边形EFCD为平行四边形时,求BC的长度．(1)证明：∵AD∥BC；∴∠AEB=∠EBF；∵由折叠知△EAB≌△EGB,∴∠AEB=∠BEG,∠EBF=∠BEF；∴FE=FB,△FEB为等腰三角形；∵∠ABG+∠GBF=90°,∠GBF+∠EFB=90°；∴∠ABG=∠EFB；在等腰△ABG和△FEB中,∴∠BAG=∠FBE；∴△ABG∽△BFE；(2)∵四边形EFCD为平行四边形,EF∥DC；∵由折叠知,∠DAB=∠EGB=90°,∠DAB=∠BDC=90°；又∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC；∴△ABD∽△DCB；∵AD=4,AB=3,∴BD=5；即BC=.【练1】如图,E是矩形ABCE的边BC上一点,EF⊥AE,EF分别交AC、CD于点M、F,BG⊥AC,垂足为G,BG交AE于点H．(1)求证：△ABE∽△ECF；(2)找出与△ABH相似的三角形,并证明；(3)假设E是BC中点,,,求EM的长．【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF,∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF．(2)△ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC,∴∠ABG+∠BAG=90°,∴∠ABH=∠ECM,由(1)知,∠BAH=∠CEM,∴△ABH∽△ECM．(3)解：作MR⊥BC,垂足为R,∵AB=BE=EC=2,∴AB：BC=MR：RC=2,∠AEB=45°,∴∠MER=45°,CR=2MR,∴,,∴．【练2】如图,直角梯形中,,,点在上,点在上,．⑴求证：．⑵当,,点、分别是、的中点时,求直角梯形的面积．⑴在梯形中,又∵是的中点,∴∵是的中点∴直角梯形的面积.【练2】类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整．(1)如图1,在□ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G．假设,求的值．(2)拓展迁移：如图2,梯形ABCD中,DC//AB,点E是BC的延长线上一点,AE和BD相交于点F．假设,,那么的值是__________(用含a,b的代数式表示)． (1)作EH∥AB交BG于点H,那么∽∵AB=CD,∴EH∥AB∥CD,∴∽∴,∴CG=2EH(2),过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．【练3】⑴如下图,是的中线,点在上,是的延长线与的交点．①如果是的中点,求证：；②由①知,当是的中点时,成立,假设是上任意一点〔如下图,与、不重合〕,上述结论是否成立？假设成立,请写出证明；假设不成立,请说明理由．⑵如下图,在中,是的中点,是上一点,且,连接并延长,交的延长线于点,求的值．⑴过点、、作平行线均可构造出平行线的根本图形,然后利用这些根本图形的性质来解题．①如下图,过点作的平行线,交于点．由可得,由可得,那么；②结论依然成立,解法同上．⑵如下图,过点作的平行线交于点．因为,,那么．而,故．又因为,那么.三、课堂检测1.如图,在中,,延长到,在上取,连结与交于,求证：．过作交于．在中,有,,∴①．在中,∵,∴②．由①②得．2.如图,在长为、宽为的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形〔图中阴影局部〕与原矩形相似,那么留下矩形面积是〔〕A． B． C． D．C．3.如图,、是的边、上的点,且,求证：.4.梯形中,,,、分别为AB与BC中点．求证：⑴；⑵,求的长．⑴∵为的中点,且又∵∴四边形是平行四边形又∵⑵由⑴知由∵5.以下四个三角形,与左图中的三角形相似的是〔〕DDB．四、课后练习1.：,那么=；⑵=.2.如图,平行四边形中,E是AB延长线上一点,连接DE,交BC于F,交于,那么图中相似三角形〔不含全等三角形〕共有〔〕对.A.6 B.5 C.4 D.3B.3.如图,在平行四边形中,过点作,垂足为,连接,为线段上一点,且．⑴求证：．⑵假设,,,求的长．⑴∵四边形是平行四边形⑵∵四边形是平行四边形又∵在中,

第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：线段AB,在直线AB上有一点C,假设AC与BC之间具有特殊的比例关系,那么将点A、B、C称为线段AB的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点；过公共分点作平行线,构造根本相似模型,来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；根本相似模型为“A字型〞和“8字型〞.【探究1】如图,一条直线与△ABC的边AB、AC及BC的延长线交于D、E、F三点.假设,试说明：D是AB的中点.【分析】结论AD=BD,我们可视A、B、D为线段AB的三个不同的分点；条件,我们可视A、E、C为线段AC的三个不同的分点.两者结合可得：A为公共分点,过A作BF的平行线交FD的延长线于点G.图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型〞的根本构图,如以下图所示；类似地：过点A作DF的平行线交BF的延长线于点H,我们可以得到两个“A字型〞的根本构图,如以下图所示；

【探究2】：如图,在△ABC中,,E为CD的中点,AE的延长线交BC于点F.求.【分析】由可知：A、D、B为线段AB