【Syx】向量的加法运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算回顾与引入上一节我们学习了向量的定义，表示及相关概念.请你回顾一下下列问题：1.什么是向量，向量有哪些基本要素，与起点有关系吗？相等向量和相反向量是怎么规定的？

在数学上，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。

向量有两个基本要素：大小和方向。

数学的向量是自由向量。只要大小相等，方向相同的向量都是相等向量，大小相等，方向相反的向量都是相反向量。2.向量如何表示？手写体和印刷体有何不同?

向量可以用字母表示：两个大写字母（前后两字母分别表示起点和终点）或一个小写字母。此时印刷体用黑体或粗体，手写时字母上面要加箭头“→”.

在几何上向量用有向线段表示。向量的大小用有向线段的长度来表示，向量的方向用有向线段的方向来表示。3.什么是向量的模？零向量和单位向量有何特点?向量的大小称为向量的模(或向量的长度).长度(模)为0的向量称为零向量，记作：长度(模)为1个单位的向量称为单位向量.所有的零向量都相等，但任意两个单位向量却不一定相等

我们知道，数是能进行运算的，正因为数有了运算才使它威力无穷.那么向量能否像数一们进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到了启发，引进了向量的运算.向量的基本运算有两类

一是线性运算(加法，减法，数乘)；

二是积运算(数量积，向量积）.

本节我们就来研究平面向量的线性运算，并探究其性质，体会向量运算的作用.

接下来我们首先学习向量的加法运算.知识探究(一)

思考1：物理中的位移、力都是向量，它们可以合成，这给我们以向量加法的启示：从位移的合成、力的合成中引入向量的加法运算，我们先来看一个与位移有关的问题.

如图，某质点从A点经过B点到达C点，那么质点M的位移该如何表示？向量加法的概念求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法则

先将相加的两个向量首尾相接，连成一串；

再作出这个向量串从起点到终点的向量就是它们的和.首尾相连,首尾连.返回向量加法的平行四边形法则

先将相加的两个向量平移至起点重合；

再以这两条线段为邻边作平行四边形;

最后作出这两个向量所夹的对角线,则这条对角线所对应的有向线段就表示它们的和.起点重合,夹出和.返回起点重合,夹出和.向量加法的运算法则三角形法则平行四边形法则首尾相连，首尾连。

两个法则只是形式上不相同,但本质是一致的,应用时可根据具体情况灵活选用.

思考5:表示任意两个向量的有向线段都能组成三角形或平行四边形吗?若不能又怎样处理?特例1：相加向量中出现了零向量特例2：相加的两个非零向量平行(1)同向时:(2)反向时:

当两个向量平行时，表示向量的有向线段虽不能组成三角形,但向量加法的三角形法则仍然适用.思考6:你能将以上性质与实数的加法进行一个类比吗?

同号的两数相加,把这两数绝对值相加,符号取这两数的符号.异号的两数相加,将这两数绝对值相减(大减小),符号取绝对值较大数的符号.

同向的两个向量相加，把这两个向量的模相加，方向取这两个向量的方向.反向的两个向量相加，把这两个向量的模相减(大减小)，方向取模较大向量的方向.返回作法1：三角形法则例析在平面内任取一点O，作法2：平行四边形法则在平面内任取一点O，结

论练习

思考：我们刚才学习了一种新的运算：向量的加法运算.一般地，定义了一种新的运算后，接下就应该研究它的运算律.

我们知道

，实数的加法满足交换律和结合律

，

即对

∀a、b∈R

，有

a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)

那么，向量的加法是否也满足交换律与结合律?知识探究（二）向量加法的运算律向量的加法是否也满足交换律与结合律，即返回例析思考(1)：多个向量相加时,如果依次相加比较困难,应怎么办?思考(2)：本题是否一定要借助于图形?思考(3)：两个相反向量之和为多少?这个性质有什么作用？

利用向量加法满足交换律和结合律，调整次序或先把容易相加的两个向量相加。

由于用两个大写字母表示

向量时，向量的起点和终点已经很明确，因此可以不利用图形进行运算。

例3.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以15km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东6km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小(精确到0.1)和方向(用与江水速度间的夹角,精确到1°).BA水速C船速D船的实际速度解：(1)(2)在Rt∆ABD中，

∴船实际航行速度的大小约为16.2km/h,方向与江水速度的夹角约为68°.练习1.根据图示填空√ⅩⅩ课堂小结1.请你回顾一下向量的加法定义的过程是怎样的？

借助于物理背景（位移的合成，力的合成）得到可以用三角法则和平行四边形法则对两相向量进行相加，类比实数的运算，定义了加法后，研究它性质和运算律，最后进行了简单的应用。2.向量加法的三角形法则和平行四边形法则是怎样的？

若相加的向量中出现了零向量，若相加的两个非零向量共线，情况又会怎样？3.向量加法的运算律有哪一些？4.对向量加法和实数加法作一个比较？

(1)当相加的向量中出现了零向量或相加的两个非零向量共线时，向量加法与实数加法类似(模对应绝对值，方向对应符号)；

(2)若相加的两个非零向量不平行，则向量加法用三角形法则和平行四边形法则；(3)运算律都满足交换律和结合律；(4)模的关系与绝对值的关系类似：

1.教材P22习题6.2第1,2,4(1)(2)(3)题

2.(选