7.3.2离散型随机变量的方差课件-高二下学期数学人教A版2019选择性

7.3.2离散型随机变量的方差回顾：1、离散型随机变量的数学期望：2、数学期望的性质：(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，(2)E(aX)＝aE(X)，(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念与意义. 2.掌握方差的性质，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题.

问题1

从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：应该派哪名同学参赛？按什么标准选拔？X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03知识点一：离散型随机变量的方差和标准差E(X)=8；E(Y)=8.均值相等 评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，下图分别是X和Y的概率分布图：乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.思考：根据以前所学知识，样本数据的离散程度是如何表示的？该如何定量刻画随机变量取值的离散程度？随机变量的离散程度样本数据的离散程度(样本方差)所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”

可能取值与均值的“偏差平方的平均值”(随机变量的方差)通过类比，可按如下步骤定义随机变量的方差：(1)计算随机变量的可能取值

xi与均值E(X)的偏差(xi-E(X))，i=1，2，3，...，n.(2)取偏差的平方：(xi-E(X))2，i=1，2，3，...，n.(3)偏差平方的加权平均

为避免正负偏差相互抵消则称为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为.Xx1x2…xnPp1p2…pn概念生成设离散型随机变量X的分布列如表所示: 随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.思考：通过计算方差和标准差，比较问题1中甲、乙成绩的稳定性.因为D(Y)<D(X)(等价地，)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.30.03在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化：解:抛掷散子所得点数X的分布列为P654321X例1

掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X的方差例2投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表1表2(1)投资哪种股票的期望收益大？(2)投资哪种股票的风险较高？解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大.(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×2=1.29,D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投资股票A比投资股票B的风险高.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：

归纳总结(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)；(4)根据方差的定义求出D(X).

A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，产出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好？次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04次品数ξ20123概率P0.80.060.040.10练一练Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差.

Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1<Dξ2

故A机床加工较稳定、质量较好.解：思考：联系以前所学知识，分析D(X+b)，D(aX)，D(aX+b)与D(X)分别有什么关系？与期望的性质有何不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即

D(X+b)=D(X)因此，D(aX+b)=a2D(X)知识点二：离散型随机变量的方差的性质由

，可得

D(aX)=a2D(X)证明：练一练已知随机变量的分布列为