数学-专项01 二次函数图像与系数的关系（选择题）（带答案）

二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题01——二次函数图像与系数的关系（选择题）（成都专用）1．（2022·四川成都·石室中学校考一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，下列说法不正确的是（

）A．abc＜0 B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0 D．若(﹣5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，y1＞y2【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对B进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对A进行判断；由于x＝﹣3时,则得到9a﹣6a+c=0，则可对C进行判断；通过点(﹣5，y1)和点(3，y2)离对称轴的远近对D进行判断．【详解】解：A、∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣b2a＝﹣1∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以A正确，不符合题意；B、∵抛物线对称轴为直线x＝﹣b2a＝﹣1∴2a﹣b＝0，所以B正确，不符合题意；C、∵x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c=0，∵b＝2a，∴9a﹣6a+c=0，即3a+c=0，所以C正确，不符合题意；D、∵点(﹣5，y1)离对称轴的距离等于点(3，y2)离对称轴的距离，∴y1=y2，

所以D错误，符合题意．故答案为：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质，灵活运用二次函数解析式和图像是解答本题的关键．.2．（2020秋·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列说法不正确的是（）A．抛物线与坐标轴有三个交点B．b2﹣4ac＞0C．a﹣b+c＝0D．当x≥1时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【详解】解：A．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与坐标轴有三个交点，A正确；B．∵抛物线与x轴坐标轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴B正确；C．抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴C正确；D．因为不知a的正负，所以不能确定函数的开口方向，所以不能确定函数的增减性，所以D错误．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．3．（2019春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】①函数的对称轴在y轴的右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解；②当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，故b＞a+c，即可求解；③当x=2时，由图象可知y=4a+2b+c＞0，即可求解；④a+b+c＞【详解】解：①函数的对称轴在y轴的右侧，则ab＜0，②当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0③当x=2时，由图象可知y=4a+2b+c＞④当x=1时，a+b+c＞m(am+b)+c，则⑤函数的对称轴为：x=1，故b=-2a，而由②可知，b＞a+c，故故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．4．（2022春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(-1,3)①b2-4ac=0；②a+bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可判断①，由抛物线的对称性及抛物线是点的坐标特点可判断②，由抛物线的对称轴方程可判断③，由顶点坐标与对称轴方程可判断④，从而可得答案．【详解】解：由抛物线与x轴有两个交点，可得：b2-4ac＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c∴抛物线的对称轴为：x=-1,∵x=1,y=a+b+c,∵抛物线与x轴的交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴(1,a+b+c)在第四象限，∴a+b+c＜0，故∵抛物线的对称轴为：x=-1,∴-b∴b=2a,∴2a-b=0,故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c∴a-b+c=3,把b=2a代入上式可得：c-a=3,故④正确，综上：正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查的是抛物线的图像与性质，利用抛物线的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·四川成都·成都外国语学校校考二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图像如图所示，下列说法中：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若A（﹣12，y1）、B（32，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【分析】利用抛物线开口向上得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），则x＝﹣2时，y＜0，可对②进行判断；利用二次函数的性质和A、B、C点到直线x＝1的距离大小可对③进行判断；把m、n看作二次函数y＝a（x﹣3）（x+1）与直线y＝2的交点的横坐标，结合函数图像可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-b

∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故②正确；∵抛物线开口向下，点B（32，y2）到直线x＝1的距离最近，点C（﹣2，y3）到直线x＝1∴y3＜y1＜y2，故③正确；∵m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，∴把m、n看作二次函数y＝a（x﹣3）（x+1）与直线y＝2的交点的横坐标，∴﹣1＜m＜n＜3，故④正确．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，系数、式子的符号等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．（2021春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4【答案】D【分析】由图可知，二次函数开口向下，即a＜0；与y轴交于正半轴，所以c＞0；与x轴有两个交点，即△＞0；对称轴x=-1，且当x=-1时y最大．根据这些性质结合题意逐个判断即可．【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2∴4ac-b∴①正确；∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c<0，∴2a+2b+2c<0，

∵对称轴x=-1，∴-b2a=-1∴b+2b+2c<0，即3b+2c<0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x=-1，∴y=a-b+c的值最大，把x=m代入抛物线解析式得：y=am∴am∴m(am+b)+b≤a，∴③正确；∵a+b+c<0，a-b+c>0，∴(a+c+b)(a+c-b)<0，则(a+c)2-∴④正确；综上①②③④都正确．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键.．7．（2021·四川成都·成都外国语学校校考一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根据二次函数的性质逐项分析可得解．【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；③abc＞0，正确；④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；⑤对称轴x=-b2a=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1故所有正确结论的序号是①②③⑤．故选C8．（2019·四川成都·成都外国语学校校考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1

．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】A【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可．【详解】解∶∵对称轴x=-b∴b2a=-1<0，2a+b=0；故∴a、b异号，∴ab＜0，故①正确；∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确．如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．9．（2019·四川成都·成都外国语学校校考一模）若二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象于①b2-4ac>0；

②x=x④ax0-x1x0-xA．①② B．①②④ C．①②⑤ D．①②④⑤【答案】B【分析】先分解函数图象与x轴有两个交点可得方程ax

的判别式即可判断①；将点Mx0,y0代入函数解析式可得ax02+bx0+c=y0，由此即可判断②；当a>0时，得出x1<x0<【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象于x轴的交点坐标分别为∴方程ax∴此方程根的判别式Δ=b2-∵图象上有一点Mx∴ax∴x=x0是方程ax当a>0时，∵Mx0,∴x1当a<0时，∵Mx0,∴x0<x1或x0∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象于∴y=ax∵图象上有一点Mx0,∴y0=ax综上，正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．10．（2022·四川成都·树德中学校考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(A．ac<0 B．b2-4ac>0【答案】D【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴即可判断A；根据抛物线与x轴有两个不同的交点即可判断B；根据当x=2时，y>0即可判断C；根据抛物线对称轴为直线x=1即可判断D．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，∴a<0，∴ac<0，故A不符合题意；由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴Δ=b2-∵抛物线经过点A（3，0），∴当x=2时，y>0，即y=4a+2b+c>0，故C不符合题意；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴-b∴2a+b=0，故D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．11．（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考期末）二次函数y=ax2+bx+A．abc<0 B．C．am2+bm<a-【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的定义，抛物线的最值，结合图像逐一计算判断即可．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在原点的左侧，∴-b2a＜∴b＜0，∵抛物线的对称轴是x=-1，且过点(0,2)，∴c=2＞0，-b2a=-1即∴abc＞0，

∴选项A，B错误；根据图像知，当x=-1时，函数取得最大值，且最大值为y=a-b+c，当x=m时，函数值y=am∴am2∴am∴选项C错误；∵c=2，b=2a，∴方程ax2+bx+c-2=0∵a＜0，∴x2解得x1=-2，∴方程ax2+bx+c-2=0的解为x∴选项D正确；故选D．【点睛】本题考查了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，熟练掌握最值的意义，对称轴的意义是解题的关键．12．（2021春·四川成都·九年级成都实外校考开学考试）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac<0；②2a+b＝0；③a﹣b+c>0；④b2>4ac．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数图像与系数的关系逐个进行判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为x=-b∴b=-2a，∴b+2a=0，∴②正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac<0，∴①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2∴b2

∴④正确；∵抛物线对称轴为x=-b2a=1，B(3∴A(-1，0)，把A点坐标代入抛物线得：a-b+c=0，∴③错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是读懂图像信息，灵活运用所学知识解决问题．13．（2021·四川成都·成都实外校考一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于AA．bc<0 B．b2-4ac>0【答案】D【分析】利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线的对称轴位置得到b<0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对A进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对B进行判断﹔设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA=-1，OB=2，利用根与系数的关系可对C进行判断．把B点坐标代入解析式可对D进行判断．【详解】∵抛物线开口问下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵-b∴b<0∴bc<0，故A正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故B正确；设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA=-x1，OB=x2，∵x1∴OA·OB=-c

故C正确∵OB=OC，C(0，c)，∵B(c，0)，∵ac2+bc+c=0，∴ac+b+1=0，故D错误；故选：D【点睛】本题考查二次函数图像与各项系数的关系，是中考的常考题型，熟悉二次函数各项系数与图像的关系是重点．14．（2019秋·四川成都·九年级成都实外校考期末）如图，抛物线的图像交x轴于点A(-2，0)和点B，交y轴负半轴于点C，且OBA．-b2a<0 B．a+b【答案】B【分析】A根据对称轴的位置即可判断A正确；图象开口方向，与y轴的交点位置及对称轴位置可得a>0，c<0，b>0即可判断B错误；把点A坐标代入抛物线的解析式即可判断C；把B点坐标-c,0代入抛物线的解析式即可判断D【详解】解：观察图象可知对称性x=-b2a<0由图象可知a>0，c<0，b>0，∴a+bc<0，故结论∵抛物线经过A(-2,0)，∴4a-2b+c=0，故结论C正确，∵OB=OC，∴OB=-c，∴点B坐标为(-c,0)，∴ac∴ac-b+1=0，∴ac=b-1，故结论D正确；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0

时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-15．（2022春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）二次函数y＝ax2﹣bx和一次函数y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由二次函数表达式可知图像过原点，所以排除A、B，再分别讨论开口和对称轴，即可判断最后答案．【详解】解：A、由二次函数y＝ax2﹣bx可知，图象过原点，故本选项错误；B、由二次函数y＝ax2﹣bx可知，图象过原点，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝--b2a＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，bD、由抛物线可知，a＞0，x＝--b2a＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b故选：D．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像判断，熟练掌握每个系数与图像的关系是解题的关键．16．（2021·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考一模）如图，是二次函数y=ax2+A．abc>0 B．若-2C．4a+2b【答案】D【分析】根据二次函数的性质、对称轴可得a<0,c>0,b=-2a>0，由此可判定选项A和D，根据

二次函数的对称性可得y1=y2，由此可判定选项B，根据二次函数的对称性可得x=2时的函数值与x=0时的函数值相等，且大于【详解】∵二次函数的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，∴a<0,c>0，∵二次函数的对称轴为x=-b∴b=-2a>0，即2a+b=0，选项D正确；∴abc<0，则选项A错误；∵-23,∴点-23,∴y1=∵二次函数的对称轴为x=1，∴x=2时的函数值与x=0时的函数值相等，且大于0，∴4a+2b+c>0，则选项C错误；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．17．（2020·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：-b2a＜∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞-b2a时，y随着x的增大而增大，故

故选C．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．18．（2022秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）对于二次函数y=-3x+6A．图象与y轴交点的坐标是0,-5B．顶点坐标为6,-5C．该函数图象先向上平移5个单位，再向右平移6个单位后的图象解析式yD．当x<-6时，y随x【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得抛物线开口向下，对称轴为直线x=-6，顶点坐标为-6,-5，从而得到当x<-6时，y随x的增大而增大；令x=0，则y=-113，可得图象与y轴得交点为0,-113，再由平移的性质可得该函数图象先向上平移5个单位，再向右平移6个单位后的图象解析式y=-3【详解】解：∵二次函数y=-3x+62-∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-6，顶点坐标为-6,-5∴当x<-6时，y随x的增大而增大，令x=0，则y=-113，∴图象与y轴得交点为0,-113，该函数图象先向上平移5个单位，再向右平移6个单位后的图象解析式y=-3x故A、B、C选项错误；D选项正确．故选：D

．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，抛物线的平移的性质是解题的关键．19．（2021秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a>0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c<0，即可判断①；根据当x=-1时，y大于0即可判断②；根据抛