数学-专项18 正方形中“外角平分线”模型（带答案）

专题18正方形中“外角平分线”模型解题思路解题思路【模型归纳】典例分析典例分析【典例1】（春•双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明．

【答案】（2）成立【解答】解：（1）取AB中点M，连接ME，∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，∴AM＝BM＝BE＝CE∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）图2：结论是AE＝EF理由如下：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．图3结论是AE＝EF，理由如下：在BA的延长线上取一点N．使AN＝CE，连接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．

【变式1-1】（春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC＝2，则FC的长为．【答案】6【解答】解：在AB上取点P，使AP＝CE，连接EP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∵AP＝EC，∴BP＝BE，∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△PAE和△CEF中，，∴△PAE≌△CEF（ASA），∴PE＝CF，∵AB＝BC＝8，AP＝CE＝2，∴PB＝BE＝6，∴CF＝PE＝PB＝6；故答案为：6．

【变式1-2】（2021春•柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．【答案】（1）略（2）AE＝EF成立【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，，

∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：AE＝EF成立，理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME与△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．【变式1-3】（春•西乡塘区期末）如图所示，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝4，点H是AD边上的一动点，连接CH，作HE⊥CH，使得HE＝CH，连接AE．

（1）求证：∠DCH＝∠AHE；（2）如图2，过点E作EF∥AD交对角线BD于点F，试探究：在点H的运动过程中，EF的长度是否为一个定值；如果是，请求出EF的长度．【答案】（1）略（2）EF的长度是一个定值，且EF＝4【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDH＝90°，∴∠DCH+∠CHD＝90°，∵HE⊥CH，∴∠CHE＝∠CHD+∠AHE＝90°，∴∠DCH＝∠AHE；（2）解：EF的长度是一个定值，且EF＝4；理由是：如图2，在CD取一点M，使CM＝AH，连接HM，∵CD＝AD，∴DM＝DH，∵∠CDH＝90°，∴∠DMH＝45°，∴∠CMH＝135°，在△CMH和△HAE中，

∵，∴△CMH≌△HAE（SAS），∴∠HAE＝∠CMH＝135°，∴∠EAG＝45°＝∠ADB，∴DF∥AE，∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形，∴EF＝AD＝BC＝4．夯实基础夯实基础1．（2022秋•佛山期末）如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝2，则BE的长为（）A． B． C． D．2【答案】A【解答】解；如图，把△ADF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴G、B、E三点共线，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，

∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，∵CD＝5，DF＝2，∴CF＝3，则GE＝BG+BE＝2+x，CE＝5﹣x，∴EF＝2+x，∵∠C＝90°，∴（5﹣x）2+32＝（2+x）2，解得，x＝，∴BE的长为．故选：A．2．（2021春•钦州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为．

【答案】2【解答】解：取AB的中点M，连接EM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E是边BC的中点，点M为AB的中点，∴AM＝BM＝BE＝CE，∴△BME为等腰直角三角形，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF为正方形外角的平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°+45°＝135°，∵∠AEF＝90°，∠BEM＝45°，∴∠AEM+∠CEF＝45°，而∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MAE＝∠CEF，在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2，∴EF＝2．故答案为2．3．（2022春•长寿区期末）已知：四边形ABCD是正方形．

（1）如图1，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证：AE＝EF；（2）如图2，若把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余的条件不变，试证明AE＝EF仍然成立．【解答】（1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE＝CE，∵点G为AB的中点，∴BG＝AG，∴AG＝CE，故答案为：AG＝CE；（2）证明：取AG＝EC，连接EG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝∠ECF＝135°，

∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△GAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF．4．（2022春•济源期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

【解答】（1）证明：如图2，在AB上取点P，连接EP，使AP＝EC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∵AP＝EC，∴BP＝BE，∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△PAE和△CEF中，，∴△PAE≌△CEF，∴AE＝EF；

（2）证明：延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，∵BA＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠H＝45°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝45°，∴∠H＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B+∠BEA，∠CEF＝∠AEF+∠BEA，∴∠HAE＝∠CEF，在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF，∴AE＝EF．5．（2021春•天元区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）请证明AE＝EF请证明．（2）若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是线段BC上任意一点”，其余条件不变，那么（1）中的结论AE＝EF是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请你说明理由．

【解答】解：（1）如题图2，取AB中点M，连接ME，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∵M、E为AB、BC的中点，∴BM＝BE＝AM＝CE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF为外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵∠FEC+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△EAM≌△FEC（ASA），∴AE＝EF；（2）成立，证明如下：在AB上取点M，使得BE＝BM，连接ME，∴BM＝BE，AM＝CE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF为外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵∠FEC+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△EAM≌△FEC（ASA），∴AE＝EF；能力提升能力提升6．（2020春•江川区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

（1）求证：AE＝EF；（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵BM＝BE，∠BME＝45°，∠FCG＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝135°，AM＝CE，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）仍然成立．在边AB上截取AE＝MC，连接ME，

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝120°．∵AE＝MC，∴BE＝BM，∴∠BEM＝∠EMB＝60°，∴∠AEM＝120°．∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，∴∠AEM＝∠MCN＝120°，∵∠CMN＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM＝MN．7．（2020春•南岗区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若S△CEF＝2，求EF的长．【解答】解：（1）如图，取AB的中点M，连接ME，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°，∵点E是边BC的中点，∴AM＝EC＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝∠FCG＝45°，∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，又∠AEB+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）∵△AME≌△ECF，∴S△AME＝S△ECF＝2，AE＝EF，∴2＝×AM×BE，∴4＝BE2，∴BE＝2，∴AB＝4，∴AE＝＝＝2，∴AE＝EF＝2．

8．（2019春•望花区期末）已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，求证：AE＝EF；（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：取AB中点M，连接EM，∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，

在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．9．（春•广州校级期中）正方形ABCD边长为8，E、F分别是BC、CD边上的动点，且AE⊥EF．（1）如图①，延长EF交∠BCD的外角平分线于M点，求证：AE＝EM．（2）如图②，若点E是BC的中点，求CF的长及△AEF的面积？【解答】证明：（1）如图，在AB上截取BH＝BE，连接EH，

∵BH＝BE，AB＝BC，∴EC＝AH，∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝135°，∵CM是∠BCD的外角平分线，∴∠DCM＝45°，∴∠ECM＝135°＝∠AHE，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠MEC＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEM，且AH＝EC，∠AHE＝∠ECM，∴△AHE≌△ECM（ASA）∴AE＝EM；（2）∵点E是BC的中点，∴BE＝EC＝4，在Rt△AEF中，AF2＝AE2+EF2，在Rt△AEF中，AE2＝AB2+BE2，在Rt△AEF中，EF2＝EC2+CF2，∴64+（8﹣CF）2＝64+16+16+CF2，∴CF＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△EFC﹣S△ADF，∴S△AEF＝64﹣×8×4﹣×4