新教材2023版高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数课件湘教版选择性必修第二册

1．3.2函数的极值与导数新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习要点一函数的极值与导数条件f′(x0)x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极值❶f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点❷x0为极大值点x0为极小值点批注❶函数极值是一个局部的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．批注❷极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．要点二函数的驻点与极值点(1)若f′(c)＝0，则________叫作函数f(x)的驻点．(2)如果一个函数的导数在驻点的两侧________，则该驻点就是此函数的一个极值点❸

批注❸也就是说，若f′(c)存在，则f′(c)＝0是f(x)在x＝c处取到极值的必要条件，但不是充分条件．x＝c变号基

础

自

测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)导数为0的点一定是极值点．(

)(2)函数的极大值一定大于极小值．(

)(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(

)×××2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(

)A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A解析：由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个．

答案：A

4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，则函数f(x)的极大值为________．答案：2解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2，∴f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2.所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值为f(0)＝2.x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗题型探究·课堂解透题型1求函数的驻点、极值点和极值例1求下列函数的驻点、极值点、极值．(1)y＝(x2－1)3＋1；解析：(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴x＝－1，x＝0，x＝1均为此函数的驻点．x＝0是此函数的极小值点，y有极小值且极小值为0.x(－∞，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，＋∞)y′－0－0＋0＋y↘无极值↘极小值0↗无极值↗

x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗↘方法归纳求函数驻点、极值点和极值的步骤

x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘题型2已知函数极值求参数例2

(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_______，b＝________.4

－11

(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

已知函数极值求参数的方法巩固训练2

(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值，则a＝________，b＝________．29

当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．故f(x)在x＝－1时取得极小值，∴a＝2，b＝9.

题型3函数极值的综合应用例3若对任意a∈[3，4]，函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

方法归纳利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．巩固训练3

已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘