现代大地控制测量课件

緒論§1.1大地測量學的定義、分類和任務定義：大地測量學是為人類活動提供空間資訊的科學，著重研究地球的幾何特徵（形狀和大小）和基本物理特性（重力場）及其變化。分類：幾何大地測量、物理大地測量幾何大地測量：經典大地測量、空間大地測量物理大地測量：地面重力、航空重力、衛星重力大地測量學的任務經濟建設中的任務：

統一全國座標框架，建立國家和精密城市控制網，精確測定控制點的座標，為經濟建設服務。地學研究中的任務：1.建立與維持高精度的座標框架和區域性與全球的三維大地網，長期監測網點隨時間的變化；2.監測和分析各種地球動力學現象；3.測定地球形狀和外部重力場的精細結構及其隨時間的變化。§1.2空間大地測量技術一、原理觀測量：站星向量、衛地距離、相鄰時刻的衛地距離差、衛地距離變化率PS協議地固坐標系與協議慣性系的關係

協議地固坐標系與協議慣性系之間的座標轉換需要加歲差,章動,地球自轉角和極移改正.歲差：AslowgyrationofEarth‘saxisaroundthepoleoftheecliptic,causedmainlybythegravitationalpullofthesun,moon,andotherplanetsonEarth’sequatorialbulge.章動：AsmallperiodicmotionofthecelestialpoleofEarthwithrespecttothepoleoftheecliptic.極移：地球自轉軸相對於地球的晃動空間大地測量的觀測方法1、衛星攝影法2、衛星多普勒3、衛星鐳射測距4、甚長基線干涉測量5、衛星測高6、全球定位系統（GPS）衛星鐳射測距

測定鐳射由地面站發射經衛星反射到地面站接收的時間間隔

,計算觀測時刻地面到衛星的距離.

目前的距離測量精度已經達到釐米級.Lageos衛星的人衛鐳射觀測資料對目前低階重力場的確定起到重要作用.人衛鐳射儀裝有鐳射發射棱鏡的衛星甚長基線干涉測量觀測對象：河外類星體觀測儀器：射電望遠鏡觀測量：射電源到同步觀測的射電望遠鏡的時間差解算量：同步觀測的射電望遠鏡之間的座標差等射電源電磁波射電望遠鏡射電望遠鏡衛星測高H海面橢球面衛星測高原理全球定位系統（GPS）1989年發射工作衛星1994年部署完24顆衛星系統由三大部分組成：1、GPS衛星2、地面控制部分3、用戶部分GPS接收機§1.3地球形狀表述的數學模型和物理模型1.3.1大地水準面大地水準面：通過平均海水面的重力等位面。Whatwecallinthegeometricsensethesurfaceoftheearthisnothingelsebutthatsurfacewhichintersectsthedirectionofgravityatrightanglesandfromwhichthesurfaceoftheworld’soceanisapart.C.Gauss1828WeshallcallthepreviouslydefinedmathematicalsurfaceoftheEarth,ofwhichtheoceansurfaceisapart,geoidalsurfaceoftheEarthorthegeoid.J.Listing1873大地水準面

橢球面大地水準面大地水準面差距1.與重力線垂直，是重力等位面2.通過平均海水面全球大地水準面圖

1.3.2參考橢球面定義：與局部大地水準面吻合的旋轉橢球面。參數：長半徑a，扁率

起始子午面橢球的定位與定向：確定參考橢球與局部大地水準面的相對關係。我國的參考橢球1、1954北京坐標系

橢球參數：克拉索夫斯基橢球，長半徑a=6378245米，扁率=1/298.3

定位：從前蘇聯遠東控制網引入。2、1980西安坐標系橢球參數：IAG1967橢球，長半徑a=6378137米，扁率=1/298.257

定位：由我國的天文大地網數據。1.3.3平均地球橢球面定義：與全球大地水準面吻合的旋轉橢球面。1、正常橢球：其橢球面上的正常重力位與大地水准面上的重力位相同。參數：a，

，GM，

若採用1980大地參考系統（GRS80)，則有：橢球面上的正常重力為：大地高H處的正常重力為：2、平均地球橢球平均地球橢球：與全球大地水準面吻合，即使全球範圍內的大地水準面差距最小。1.平均橢球是正常橢球，重力位與大地水準面重力位相同2.中心與地球重心重合，品質等於地球品質3.短軸與地球自轉軸重合3、平均海水面與大地水準面

平均海水面與大地水準面之間相差穩態海面地形習題1、大地測量的主要研究對象是什麼？2、近代大地測量主要有哪些新的觀測手段？3、平均橢球體與參考橢球體的區別？4、平均橢球的幾何參數與物理參數是什麼？

地球坐標系和地球橢球§2.1概述大地測量採用的坐標系：天球坐標系、地球坐標系地球坐標系：固定在地球上與地球一起自轉和公轉的坐標系地球坐標系分類：參心坐標系、地心坐標系定義坐標系的要素：原點位置與坐標軸指向；若採用大地座標還需要橢球元素。§2.2地球橢球面的數學計算和有關計算2.2.1地球橢球的幾何、物理元素橢球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：XYZO2.2.1地球橢球的幾何、物理元素（續1）幾個關係式：1954年北京坐標系，克拉索夫斯基橢球元素：2.2.1地球橢球的幾何、物理元素（續2）1980年大地坐標系採用第16屆IAG—IUGG橢球，其橢球元素為：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質1、經線和緯線的曲線方程在XOZ座標面上的起始經線方程：OXYZM1M0MLLrARSM0饒Z軸旋轉，形成緯圈（平行圈），其半徑：經度為L的經線方程：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續1）OXYZM1M0MLLrARS緯圈方程：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續2）2、橢球面法線與子午線主法線的同一性、經緯線的Frenet標架POQMP´RTNA如圖為過M點的子午面。子午線的主法線MP´位於子午面內，且垂直於子午線切線T；R為過M點的平行圈切線，顯然R垂直於M點的子午面，因此R垂直於MP´。所以，MP´垂直於橢球面在M點的切平面，因此它是橢球面的法線。Frenet標架：曲線上任意一點處的三個相互正交的單位向量構成是三維直角坐標系。一般取切向、主法向和與該兩個方向正交的第三個方向2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續3）3、旋轉橢球面及經緯線的參數方程1).以大地經度L及歸化緯度u為參數的方程uaXZOM´M在XOZ子午面內，有在三維空間坐標系中：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續4）(2).以大地經緯度L、B為參數的方程XZK0B90°+BOTM0切線M0T的斜率的導數式：由橢圓方程求導得：代入第一式得：12.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續5）將代入橢圓方程，化簡後得：1引入輔助符號：則有：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續6）

在三維空間坐標系中，橢球面上點的三維座標的經緯度表示為：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續7）(3).以大地經度L及球心緯度為參數的方程XZ

OM0

球心緯度

，向徑

，則對於XOZ平面上的橢圓有：

在橢圓上，向徑

由球心緯度

唯一確定，將上式代入橢圓方程，得：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續8）對於XOZ平面上的橢圓有：

在三維空間坐標系中，橢球面上點的經度、球心緯度表示為：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續9）

不難得出，u,B,

的關係為：因此有：由球心緯度公式，得：2.2.2旋轉橢球面的參數表示及數學性質（續10）4、旋轉橢球面的幾何性質

a).對稱性b).有界性

c).正則性：曲面上每點都對應於唯一確定的非零法向量。其單位法向量可表示為：

d).不可展性2.2.3法截線曲率及曲率半徑1、空間曲線的曲率幾曲率半徑若以曲線的弧長s為參數，曲線上的點位用向量r(s)表示。則曲線的曲率為：若以t參數，則曲線的曲率可表示為：2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續1）2、橢球面法截線的曲率(1).子午線曲率半徑不失一般性，以起始子午線為例推導。若以歸化緯度u為子午線方程的參數，則有：2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續2）則有：同理，若以大地緯度為參數，得：子午曲率半徑M，就是曲率是倒數，即：2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續3）(2).卯酉線曲率半徑定義：與子午面切線正交的法截面與橢球面的交線為卯酉線。根據微分幾何中的麥尼爾定理，卯酉圈曲率kn與平行圈曲率kr的關係為：平行圈半徑為子午面XOZ平面內的X座標，即：則有，上述兩式得卯酉曲率半徑N為：2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續4）(3).任意方向法截線的曲率半徑根據微分幾何中的Euler公式，任意方向法截線的曲率與子午、卯酉曲率半徑的關係為：因此，任意方向的曲率半徑為：當A為0，/2，

，3/2時，取得極值。2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續5）(4).平均曲率半徑定義：所有方向法截線曲率半徑的平均值。代入上式，得：2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續6）不難得到：NRM引入輔助量：存在下列關係：2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算1.橢球面的第一基本形式橢球面上點的向量：橢球面上的微分弧長：其中：對於橢球面：2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續1）2、子午線弧長子午線微分弧長：積分得：用二項式展開，並逐項積分得：常數A、B、C、D、E、F、G的計算公式見教材2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續2）對於小於400km的弧長，可採用以下簡化式。其中：根據：求出導數，代入上式並化簡，得：對於小於40km的弧長，可進一步簡化為：2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續3）已知B1和弧長S1~2求B2稱為反算，可採用疊代法計算。初值：疊代格式：其中：要求：2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續4）3、平行圈的半徑與弧長相同經差的平行圈弧長在赤道最長，越靠近兩極越小。2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續5）4、利用經緯格網計算橢球面的面積LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd

2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續6）上式利用二項式展開並積分，得：

取L2-L1=2

，B2=/2，B1=0算得半球面積，乘2可以估算全球面積約為5.1億平方公里習題1、導出三種緯度φ、u與B的關係。2、導出子午曲率半徑M與卯酉曲率半徑N的計算公式。3、M、N、R的關係如何？在什麼條件下三者相同？4、某點到赤道的子午弧長,求該點的緯度。a=6378245,=1/298.35、已知某點的緯度,求該點自赤道起的子午弧長。a=6378245,=1/298.3

大地線1、大地線的定義與性質法截弧：由橢球面上A點的法線與B點所確定的法截面與橢球面相割得到的曲線稱為A到B的法截弧。相對法截弧：

A到B的法截弧與B到A的法截弧。由相對法截弧構成的橢球面三角形不是閉合圖形。2.2.5大地線（續1）大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。大地線的性質：1、大地線上任何點的密切平面就是該點的法截面；

2、曲面上連接任何兩點的最短直線必為大地線。

3、大地線的測地曲率等於0曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。大地線的曲率：大地線的撓率2.2.5大地線（續2）2、大地坐標系中大地線的微分方程(1).大地線的二階微分方程以u,v

為參數的一般曲面的大地線微分方程可表示為：下標為相應的偏導數。2.2.5大地線（續3）對於橢球面，有：代入前面公式，得：則旋轉橢球面上大地線的微分方程為：2.2.5大地線（續4）(2).克萊勞定理直角坐標系中的橢球面方程：橢球面法向量為：以大地線弧長為參數的大地線主法線向量為：兩者指向一致，即：2.2.5大地線（續5）由上式的前兩個方程得：將三維空間座標與大地座標的關係及其微分關係：1代入式，整理得：122.2.5大地線（續6）將關係：即：大地線上各點的平行圈半徑與該點的大地線方位角正弦的乘積是常數。代入上式，即得克萊勞定理：2.2.5大地線（續7）(3).大地線的一階微分關係式由克萊勞定理，微分得：2.2.5大地線（續8）又如圖所示：代入上式，得：三個微分關係式可整理為：32.2.5大地線（續9）3、以弧長和大地方位角為參數的大地線方程

大地線始點座標P0(B0,L0)，大地線上任何點的位置向量都可以展開成S,A的級數形式：Frenet標架的坐標軸定義：x´指向大地線的切向t，y´指向大地線的主法向n，向內為正，z´指向大地線的副法向b，構成左手系。x´y´z´42.2.5大地線（續10）顯然有：根據曲線論中的Frenet公式：由以上兩式可求出各階導數：2.2.5大地線（續11）

將上式代入大地線展開式，得Frenet標架下的三維座標：45顧及公式：2.2.5大地線（續12）和：求導得：2.2.5大地線（續13）代入Frenet標架下的三維座標公式，得：52.2.5大地線（續14）

將坐標系饒y´逆時針旋轉A，得x”、y”、z”坐標系，則有：x´y´z´z"x"

以P0點為原點的地平坐標系(站心坐標系)x、y、z，與x”、y”、z”坐標系的關係為：xy"zz"x"y2.2.5大地線（續15）

最後得到地平坐標系（站心系）中的大地線方程，稱為Weingarten級數。62.2.5大地線（續16）

法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標系中的計算式為：2.2.5大地線（續17）4、基於大地線的橢球面曲線坐標系(1).大地線極坐標系大地圓：到極點具有相同大地線長度的點所構成的軌跡。由大地線長度和大地方位角可描述曲面點的位置。如圖所示：對照第一基本形式，得：由圖中的微分直角三角形，得大地極坐標系中的微分關係式：2.2.5大地線（續18）大地線的歸化長度m的計算公式：由式求出偏導數代入得：62.2.5大地線（續19）(2).測地坐標系

以過P0點的經線及其平行線為v曲線，過P0點與經線正交的一族大地線為u曲線，構成的座標格網稱為測地坐標系測地座標在v曲線方向用Sx，u曲線方向用Sy,即：2.2.5大地線（續19）n稱為測地平行線的歸化長度因數。由式求出對A偏導數，並顧及A=90°，得：62.2.5大地線（續20）

根據球面角超的定義，在球面直角三角形中，球面角超為：根據球面三角形的Legendre定理：77將式代入上式，得：2.2.5大地線（續21）代入測地平行線的歸化長度因數公式，得：精確到二次項時的歸化長度因數計算公式為：則與子午弧長相應的測地平行線的弧長為：習題1.緯度相同的兩個點的相對法截弧是否重合？此線是否就是大地線？2.推導大地線的三個微分式。3.試述測地坐標系的定義？測地平行線是否等距？測地大地線是否等距？4.簡述weingarten級數的推導步驟。

橢球面上大地座標的計算2.3.1水準方向、邊長觀測值歸算到橢球面1、水準方向觀測值歸算到參考橢球面的改正包括三項改正，稱為三差改正。(1).垂線偏差改正(2).標高差改正用橢球半徑的近似值代入得：2.3.1水準方向、邊長觀測值歸算到橢球面(3).法截弧方向歸算到大地線方向的改正

該項改正很小，100公里約0.03“，只有一等控制網才估計此項改正。2.3.1水準方向、邊長觀測值歸算到橢球面2、空間邊長歸算至參考橢球面的改正測線端點的大地高為：橢球面上弦長

d

的計算公式省略H/R的二次項，得：2.3.1水準方向、邊長觀測值歸算到橢球面橢球面上的弧長為：2.3.1水準方向、邊長觀測值歸算到橢球面3.工程控制網中的地面觀測元素的歸算

以平均高程面作投影面，範圍小，可以用球代替橢球；球半徑採用高斯平均曲率半徑。計算公式為：不難證明：橢球半徑的誤差對邊長歸算結果影響很小，而高差誤差對邊長歸算比較敏感。2.3.2橢球面上三角形解算1、球面角超三塊面積之和為：代入球面角超定義式，得：2.3.2橢球面上三角形解算按球面三角公式：當邊長小於40公里時，第二項影響小於0.0004“，可略去2.3.2橢球面上三角形解算2、解算球面三角形的勒讓德定理勒讓德定理：對於較小的球面三角形，可用平面三角公式來解算，只需使三個平面角等於相應的球面角減去三分之一的球面角超，而邊長保持不變。ABCabc2.3.3大地主題解算大地主題解算分類：正算：已知(B1,L1)，A12，S12，計算(B2,L2)，A21反算：已知(B1,L1)，(B2,L2)，計算A12，S12

，A21短距離中距離長距離

解算方法：級數展開：

Legendre級數

Schreiber公式

Gauss平均引數公式2.3.3大地主題解算1、緯度差、經度差和方位角差展開為大地線長度的級數式由大地線的微分公式，得其一階導數為：2.3.3大地主題解算二階和三階導數採用複合函數求導法計算：

同理可求出四階以上的導數和L、A的高階導數，代入展開式即可。2.3.3大地主題解算2、高斯平均引數公式若取大地線中點展開，得：兩式相減，得：類似地，有：12.3.3大地主題解算兩式相加，得：類似地，有：其中：將展開成級數，得：22.3.3大地主題解算由大地線的微分公式：求導，得：取：代入式，得的計算公式。並取2代入式，求出各階導數後整理得：12.3.3大地主題解算同理可得：以上3式具有4次方精度，可用於解算200公里下的大地主題。32.3.3大地主題解算因計算Bm,Lm要用到B2,L2，因此需要疊代計算。其初值為：疊代計算公式為：直到為止。最後計算緯度、經度和方位角：2.3.3大地主題解算3、高斯平均引數反算公式由正算公式，反解得：右端第二項與第一項相比為小量，可以作近似：2.3.3大地主題解算代入上式第二項，得：由此可求得平均方位角和大地線長度如下：2.3.3大地主題解算由正算公式的第三式，計算a：最後得起終點的大地方位角為：2.3.3大地主題解算4、測地坐標系與大地坐標系間的座標轉換(1).由（Sx,Sy）求解（B,L）由前面子午弧長反算公式求解B1。由（B1,L0）和方位角A=90°，Sx可計算（B，L）(2).由（B,L）求解（Sx,Sy）

先計算(B,L)到(B,L0)距離S’，按球面三角公式求解Sy和B到B1的距離，加上B0到B的距離即為Sx.2.3.4大地主題微分公式1、大地主題正解微分公式終點的經緯度（B2,L2）和大地線方位角A21，與起點的經緯度（B1,L1）和大地線方位角A12，以及大地線長度S的微分關係。2.3.4大地主題微分公式2、大地主題反解微分公式起點大地線方位角A12和大地線方位角A21，以及大地線長度S與起點和終點的經緯度（B1,L1）和（B2,L2）的微分關係。習題1、地面觀測方向歸算到橢球面上需要加哪幾項改正？2、地面觀測距離歸算到橢球面上二步改正的幾何意義？3、P1與P2與為控制點，已知：計算歸算到橢球面上的長度4、已知 利用Gauss平均引數公式正反算。

參心坐標系和參考橢球2.5.1垂線偏差與Laplace方程1、天文經度、天文緯度和天文方位角天文經度：包含測站垂線的子午面與起始子午面的夾角；天文緯度：測站垂線的與赤道面的夾角；天文方位角：包含測站垂線的子午面與測站垂線和照準面所張成的垂直面的夾角；天文天頂距：測站垂線與觀測方向的夾角2.5.1垂線偏差與Laplace方程

因地極移動，觀測的天文經緯度、方位角需要歸算到地極原點，稱為極移改正，其公式如下：

觀測值在地面取得，歸算到橢球面上時，天文緯度和方位角需要作如下改正：2.5.1垂線偏差與Laplace方程2、垂線偏差和大地水準面差距大地水準面參考橢球面數值積分，得：2.5.1垂線偏差與Laplace方程3、垂線偏差公式和Laplace方位角

如圖所示：xyz為大地站心坐標系，x1y1z1為天文站心坐標系。兩者的關係為：12.5.1垂線偏差與Laplace方程

天文和大地坐標系分別與原點在站心，坐標軸與三維空間直角坐標系指向相同的坐標系的關係如下：2.5.1垂線偏差與Laplace方程由上面第一式代入第二式，略去高次項，整理得：上式與式相比較，得：12.5.1垂線偏差與Laplace方程並得出Laplace方程：顧及天文站心系（x1，y1，z1）與大地站心系（x，y，z）的關係：和天頂距、方位角和站心座標的關係：2.5.1垂線偏差與Laplace方程將第二式代入第一式，得：將展開式：2.5.1垂線偏差與Laplace方程代入上式，並略去二次以上的項，得：由第三式，得：由第一式或第二式，顧及上式，並略去高次項得：2.5.1垂線偏差與Laplace方程

如果橢球短軸不平行與地軸，大地起始子午面不平行大地起始子午面，則還要考慮三個旋轉角的影響，此時，大地經緯度和方位角與天文經緯度和方位角的關係可推廣為：2.5.2參考橢球的定位和定向1、橢球定位和定向的意義和條件橢球定位：確定橢球中心的位置，即三個平移量橢球定向：確定橢球坐標軸的指向，即三個旋轉量參考橢球定位、定向應滿足的條件：（1）橢球短軸與指定曆元的地球自轉軸平行；（2）大地起始子午面與天文起始子午面平行；（3）在一定區域內橢球面與大地水準面最為密合。相應的數學運算式為：2.5.2參考橢球的定位和定向2、橢球定位和定向的方法在大地原點Pk存在關係：上式隱含了三個旋轉角為0。2.5.2參考橢球的定位和定向（1）、單點定位大地測量工作剛開始，沒有充分資料確定垂線偏差和大地水準面差距，假設在大地原點處，

k

=

k=Nk

=0。則有：

表示：單點定位時大地原點的法線與垂線一致，大地高等於正常高2.5.2參考橢球的定位和定向（2）、多點定位根據以前的天文大地測量成果，來對橢球進行定位、定向和計算橢球元素。由前面的大地座標微分公式，2.5.2參考橢球的定位和定向顧及：展開大地座標微分公式，略去旋轉參數項，取最後一式代入上式，得：根據條件：求解定位參數。2.5.2參考橢球的定位和定向也可以根據垂線偏差關係：

將大地座標微分公式，略去旋轉參數項，展開後的前二式代入上式。根據條件：求解橢球的定位參數。2.5.3參心坐標系的建立

參考橢球定位後，採用天文大地測量方法，進行三角測量、導線測量、空間大地測量（GPS、SLR、SALT、VLBI）、精密水準測量、重力測量等手段，建立參心坐標系，求得覆蓋全區域的大地控制測量數成果。§2.6協議地球參考系(CTRS)和平均地球橢球2.6.1協議協議地球參考系(CTRS)的定義和建立定義：坐標軸指向BIH1984.0系統，坐標軸定向使地殼各方向的運動之和為0。建立：由各板塊的SLR、VLBI站以及部分IGS站確定。2.6.2當今技術條件下的平均橢球

利用低軌衛星觀測數據求定平均橢球的四個參數，並對平均橢球進行定位和定向。

習題1、天文方位角歸算到參考橢球上要加哪些改正？寫出其改正公式。2、若某測站的垂線偏差為=7.02,=-4.38,測得某方向的天頂距為854856.3,已知該方向的方位角為1354325.6。求：改正後的天頂距。3、參考橢球定位滿足什麼條件？有哪兩種方法？

通用橫軸墨卡托投影3.6.1墨卡托投影

墨卡托投影為等角割圓柱投影，圓柱與橢球面相割於B0的兩條緯線，投影後不變形。特性：等角航線在投影平面上為直線。因此，該投影便於在航海中應用。3.6.2通用橫軸墨卡托投影

簡稱為UTM，與高斯投影相比，僅僅是中央子午線的尺度比為0.9996，其投影公式如下：3.6.2通用橫軸墨卡托投影長度比和子午線收斂角計算公式。3.6.2通用橫軸墨卡托投影通用橫軸墨卡托投影的反算步驟：1.先由通用橫軸墨卡托投影座標計算高斯投影座標；

2.再利用高斯投影反算公式，計算大地緯度和經度。3.6.2通用橫軸墨卡托投影與高斯投影的比較§3.7局部區域中的高斯投影及其相應的區域性橢球

局部區域中採用地方獨立坐標系，其高斯座標以往並非由經緯度求得的，而是直接將邊長投影到平均高程面（投影面）,再選定過測區中心附近的座標縱軸，計算高斯投影邊長和方向改正，並由起始點座標、起始方位角來平差計算各控制點座標。§3.7局部區域中的高斯投影及其相應的區域性橢球地方獨立坐標系的參數：1.投影面一般採用區域的平均高程面；2.投影的中央子午線一般採用過位於區域中心附近的子午線，或採用經度為整分或整度的子午線。3.原點的座標一般加上某個整數，使整個區域中的座標不出現負值，也有些城市如上海，其加常數為0。§3.7局部區域中的高斯投影及相應的區域性橢球

城市及工程控制網採用地方獨立坐標系，邊長的投影面是區域的平均高程面而並不是國家參考橢球面。其高斯座標所對應的橢球面應是與投影面相接近的區域性橢球面，而不是國家參考橢球面。§3.8地圖投影座標框架的局限性及建議3.8.1地圖投影座標框架的局限性

地圖投影座標框架=平面投影坐標系統+高程坐標系統問題：1.平面座標與高程屬於兩個不同的系統；

2.平面座標的投影會產生變形，大範圍內變形會超過要求；

3.各帶區的平面座標之間的相互變換關係比較複雜，更不能實現無縫連接。3.8.2採用真三維座標框架的建議1.採用大地坐標系統；2.採用新大地坐標系統。習題1.已知某點的座標：B=290405.3373L=1211033.2012

計算：1).該點的3帶UTM投影座標；2).該點UTM投影的長度變形。

邊角網的按座標參數平差5.7.1邊角網平差中誤差方程式的列立1、邊長觀測值誤差方程式5.7.1邊角網平差中誤差方程式的列立2、方向觀測值誤差方程式5.7.1邊角網平差中誤差方程式的列立定向角未知數的近似值也可用下式計算：對向觀測方向ik的誤差方程為：角度為兩個方向之差，其誤差方程式為：5.7.1邊角網平差中誤差方程式的列立一個測站nk個方向的誤差方程為：消去定向角未知數的等效誤差方程可表示為：(1).消去定向角未知數5.7.1邊角網平差中誤差方程式的列立求得座標改正數後，可利用下式計算定向角未知數。(1).合併對向觀測誤差方程式

兩個對向觀測的誤差方程式為：可合併成等效誤差方程如下：對多個誤差方程,則合併為：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法1、控制網秩虧問題的實質及基準數據的引入

秩虧的實質是缺少必要的基準數據。各類控制網的必要基準數據如下：水準網：1

平面控制網：4

三維控制網：7

四維控制網：11

消除秩虧只能靠引入基準數據，不同的基準引入方法對應於不同的計算方法。5.7.2控制網平差定位的各種處理方法(1).引入作為固定值的基準數據固定基準數據的數目不能少於必要的基準數據。如果等於必要基準數據，稱為獨立網，如果超過必要基準數據，稱為附合網。

(2).引入作為加權位置約束的基準數據

將座標參數分成兩組，分別對應於基準數據座標m1與待定點座標

m2

；m1

d。(3).基準數據用於擬合（偽逆法）

5.7.2控制網平差定位的各種處理方法相應的誤差方程可表示為：其法方程及其解為：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法

(3).基於偽逆（Moore-penrose廣義逆）的平差定位

廣義逆對應於最小範數解。

(4).附加基準方程消除秩虧一般形式的基準方程為：與誤差方程一起組成的法方程為：解為：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法以一點、一方位作為基準的係數矩陣相應於偽逆解的係數矩陣5.7.2控制網平差定位的各種處理方法2、邊角控制網附加基準方程的求解

(1).基於偽逆的求解偽逆求解的附加條件：即：顧及偽逆解與獨立網解的關係。附加條件等價於：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法基準矩陣與誤差方程係數陣和法方程係數陣之間滿足條件：

附加基準方程的求解公式：令：則有：15.7.2控制網平差定位的各種處理方法展開上式，得：取：滿足第四式。代入第二式，得：代入第一式，並顧及第三式，得：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法方程的解可表示為：1展開，得：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法估值的精度：顧及：則，估值的精度為：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法基準矩陣的標準化：

重心化座標為：5.7.2控制網平差定位的各種處理方法(2).固定必要基準數據（按獨立網）情況下的求解5.7.2控制網平差定位的各種處理方法(3).所固定的基準數據多於必要基準數據情況下的求解5.7.2控制網平差定位的各種處理方法(4).精密邊角控制網基準數據的實際選取根據實際情況選取。

高程控制網的建立§6.1我國的高程系統6.1.1水準面的定義和性質

重力的方向和大小由重力位唯一確定，它可表示成重力位的梯度。當S方向取鉛垂線法向時：

顯然，由於水準面上各點的重力不同，所以水準面是不平行的，即：兩個等位面的間距是不同的。AB6.1.1水準面的定義和性質水準面曲率半徑與重力位的關係：表示：水準面的形狀由重力位唯一確定。6.1.2水準測量高差的多值性AB不同水準路線得到不同的高差。6.1.3高程系統位差唯一：1、正高程系統AA

dHdhW=CAW=W0O大地水準面A點水準面則：A點的正高為：式中：為大地水準面上A

點到A點的平均重力。6.1.3高程系統2、正常高程系統6.1.3高程系統平均橢球面似地球表面地球表面AA

正高與正常高的關係：

稱為高程異常，高程異常與擾動位T的關係：6.1.3高程系統正常高可分解成三項之和。

第一項為主項，後面兩項為改正項。則相應的正常高高差可表示為：其中：簡化為：6.1.3高程系統3、力高和地區力高系統§6.1我國的高程系統6.2.1水準測量的高程基準面大地水