2024年高考数学优等生培优第5讲 函数的单调性-解析版42

第5讲函数的单调性【知识通关】通关一、函数单调性的定义及几何意义项目增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数.当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.图像描述自左向右看，图像是上升的自左向右看，图像是下降的要点诠释(1)函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致，一致则为增函数，不一致则为减函数.(2)函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小，“形”的表现是函数图像的上升与下降(3)“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，显然.(4)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接.(5)增(减)函数定义中的三个特征：①任意性；②有大小，即或；③同属于一个单调区间.通关二、函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件(1)对于任意的，都有；(2)存在，使得.(1)对于任意的，都有；(2)存在，使得.结论为最大值为最小值结论一、定义法证明函数单调性1.取值：即设1.取值：即设是该区间内的任意两个值，且.2.作差(商)变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差(商)的符号的方向变形.3.定号：确定差的符号(与的大小)，若符号不确定，可以进行分类讨论.4.下结论：即根据定又得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间.【例1】已知函数对任意实数均有，且当时.试判断的单调性，并说明理由.【解析】设且，则，故.所以.所以.故在上为增函数.【变式】已知给定函数对于任意正数都有，且，当时.试判断在上的单调性，并说明理由.【解析】对于有，又，所以.设，且，则，所以.故在上为减函数.结论二、函数单调性的正向与逆向理解1.正向结论:若在给定区间上是增函数,则当时,;当时,;2.逆向结论:若在给定区间上是增函数,则当时,;当时,.【例2】已知在区间上是增函数,且,则下列表达正确的是（）. A. B. C. D.【答案】B【解析】可转化为和，因为在区间上是增函数,所以且,根据同向不等式相加性质得.故选B.【变式】已知是定义在上的增函数,若,则的取值范围是_________.【答案】【解析】由已知可得，故的取值范围是.结论三、单调性结论设那么在上是增函数;在上是减函数.【例3】定义在上的函数满足:对任意的,有,则（）. A. B. C. D.【答案】D【解析】因为对任意的,有,所以函数在上是减函数,因为,所以.故选D.【变式】已知函数,若对任意,均满足,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由可知在上为增函数,所以在上恒成立,而,所以,即.故的取值范围是.结论四、单调性性质若函数在区间上具有单词性,则在区间上具有以下性质:1.与为常数具有相同的单调性.2.当非负时,与具有相同的单调性.3.与在时具有相同的单调性,在时具有相反的单调性.4.当恒不为0时,函数与单调性相反.【例4】已知函数,则（）. A.是偶函数,且在上是增函数 B.是奇函数,且在上是增函数 C.是偶函数,且在上是减函数 D.是奇函数,且在上是减函数【答案】【解析】,所以,即函数为奇函数,以函数为增函数,为减函数,故函数为增函数.故选B.【变式】若函数在上为增函数,则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】解法一：.任取,则因为,所以,以.已知函数在上单调递增,故,所以1,解得.所以的取值范围是.解法二：,因为在上单调递减,在上单调递增,所以,解得.所以的取值范围是.结论五、单调性求最值1.若函数在闭区间上是增函数,则在上的最小值为,最大值为；2.若函数在闭区间上是减函数,则在上的最小值为,最大值为.【例5】函数的值域为（）. A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据对数函数的定义可知,恒成立,解得.因此,该函数的定义域为,原函数是由对数函数和组合成的复合函数.由复合函数的单调性定义同增异减)知道,原函数在定义域上是单调递增的.根据指数函数的性质可知,,所以,,所以.故选A.【变式】已知函数,