2024年高考数学优等生培优第36讲 等比数列通项公式及性质-原卷版 89

第36讲等比数列通项公式及性质通关一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，即要点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此不可能是，（2）“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个.（3）隐含条件，任一项且（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，不为的常数，数列是公比为的等比数列.（5）证明一个数列为等比数列，其依据是利用这种形式来判定就便于操作了。通关二、等比中项如果三个数成等比数列，那么称数为的等比中项，其中。要点诠释：（1）只有当与与同号即时，才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项，当与异号或有一个为零，即时，与与没有等比中项。（2）任意两个实数，与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项是等比中项不唯一（3）当时，成等比数列推不出成等比数列通关三、等比数列的通项公式首项为公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法根据等比数列的定义：，可得，所以当时，上式也成立，所以归纳得出：叠乘法根据等比数列的定义可得：,把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得，即，又也符合上式，所以迭代法，所以要点诠释：（1）通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列得首项和公比确定，改等比数列就唯一确定了.（2）通项公式中共涉及四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.通关四、等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则.（1）当时，，等比数列是非零常数列，它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.（2）当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图像是分布在曲线，且上的一些孤立的点.结论一、通项公式及其变形等比数列通项（变形公式），即可以用数列中的任意一项来表示【例1】等比数列满足，则（） A. B. C. D.【变式】已知是等比数列，，则（） A. B. C. D.结论二、公比的表示等比数列中，注意的奇偶性，如为偶数，则公比为两个.【例2】在等比数列中，，则公比的值为（） A. B. C. D.【变式】等比数列中，，则公比的值为（） A. B. C. D.结论三、下标和相等，项之积相等等比数列中，若，则.特别地，若，则.要点诠释：左面几项对应右面几项，即左、右项数必须相等，如.【例3】对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）A.成等比数列 B.成等比数列C.成等比数列 D.成等比数列【变式】已知数列为等比数列，若，则的值为（）.A.10 B.20 C.100 D.200结论四、等差数列与等比数列相互转化若为等差数列为等比数列；若为正项等比数列为等差数列.【例4】等比数列的各项均为正数，且，则.【变式】在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（）.A.6 B.7 C.8 D.9结论五、等比数列的构造是等比数列，则，成等比数列；，是等比数列，则，，成等比数列；是等比数列，则每隔相同的项抽项，抽出的项亦成等比数列，即，仍是等比数列，公比为.【例5】等比数列中，，，则等于（）. B. C. D.【变式】设是等比数列，且，，则（）.A.12 B.24 C.30 D.32结论六、对称项设法当等比数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公比为向两边分别设项：；当等比数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，，再以公比为向两边分别设项：.【例6】已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是（） B. D.【变式】已知-9，，，-1四个实数成等差数列，-9，，，-1五个实数成等比数列，则的值等于（）.-8 B.8 C. D.结论七、等比数列的单调性当，或，时，是递增数列；当，或，时，是递减数列；当时，是摆动数列；当时，是常数列；【例7】设是等比数列，则“”是数列递增数列的（）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【变式】已知为等比数列，下面结论中正确的是（）. B.C.若，则 D.若，则结论八、等比数列的判定与证明方法定义法：（为常数且）数列是等比数列.等比中项法：数列是等比数列.通项公式法：数列是等比数列.前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列.注意：若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.【例8】设