河南省部分名校2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题(含答案)

河南省部分名校2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小題答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则A． B． C． D．2．已知集合，若，则的最大值是A．1 B．2 C．3 D．43．“是第二象限角”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某企业举办冬季趣味运动会，在跳绳比赛中，10名参赛者的成绩(单位：个)分别是152，136，125，131，129，123，143，119，115，138，则这组数据的中位数是A．126 B．129 C．130 D．1315．已知抛物线的焦点为，过点的直线与拋物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则A． B．． C． D．6．折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动．如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为A．5 B．4 C．3 D．27．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是A． B．2 C． D．38．函数的值域是A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设等比数列的前项和为，且(为常数)，则A． B．的公比为2 C． D．10．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱堆，记为球面．设，则下列结论正确的是A．若平面是面积为的等边三角形，则B．若，则C．若，则球面的体积D．若平面为直角三角形，且，则11．已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则A． B．为偶函数C．的图象关于点对称 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知单位向量满足，则______13．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是______14．将这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有______种．(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．16．(15分)某学校组织知识竞赛，题库中试题分A，B两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为．已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立．(1)求学生甲2题均选择种试题作答的概率；(2)若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望．17．(15分)如图，在正三棱柱中，D，E分别为棱的中点，在棱上，且EF平面．(1)求的值；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．18．(17分)已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．(17分)已经函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明：恰有三个不同的极值点，且．参考数据：取．2023-2024年度河南省高三上学期期末检测数学参考答案1．B因为，所以．2．B由题意可得，则．3．A若是第二象限角，则．若，则是第二象限角或第三象限角．故选A．4．C将这组数据从小到大排列为115，119，123，125，129，131，136，138，143，152，第5个和第6个数据分别是129和131，则这组数据的中位数是．5．C如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点，由题意可知．设，则，易证，则，即，整理得，解得，故．6．D如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，则有，故．7．C设双曲线的右焦点为．因为直线的斜率是，所以，所以．因为是线段AF的中点，所以．因为，所以．由双曲线的定义可得，则双曲线的离心率．8．B．设，，则，从而．由，得，由，得或，则在和上单调递减，在，1)上单调递增．因为，所以2，即的值域为．9．BC因为，所以．因为是等比数列，所以，即，解得，则错误．的公比，则B正确．因为，所以，则C正确．因为，所以，所以，则D错误．10．若平面是面积为的等边三角形，则，则．A不正确．若，则，则．B正确．若，则，则平面的面积为，则到平面ABC的距离，则三棱锥的体积，则球面的体积．C正确．由余弦定理可知，则，则．D不正确．11．ABD由，可得，则，令，得．A正确．令，则，故为偶函数．B正确．假设的图象关于点对称，则，则，即，则，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立．C不正确．因为的图象关于点对称，所以，令，则，则为常数)，则，从而，即，由，得-2023．D正确．12.6因为，所以，所以，则，故.13．取棱AB的中点，连接HG，FG.因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以，则是异面直线HF与AC所成的角或补角.设，则.在中，由余弦定理可得，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是.14．60480第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况，第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，故共有种填法。15．解：(1)因为，所以……1分所以，所以．………………3分因为，所以．…………5分因为，所以．……………6分(2)由余弦定理可得，即．……7分因为，当且仅当时，等号成立，…………9分所以，解得，…………………11分则的面积．…………13分16．解：(1)若学生甲第1题选择种试题作答并且答对，则第2题选择种试题作答的概率，…………………2分若学生甲第1题选择种试题作答并且答错，则第2题选择种试题作答的概率…4分(2)由题可知，的取值可能为0，1，2，………………………6分且，……………………8分．…………10分，……………………12分故的分布列为012………………………13分则．…………………15分17．解：(1)取的中点，连接EG交AD于点，连接．易证，则．………………2分因为平面，且平面平面，所以，………3分则四边形为平行四边形，故．……………5分因为为棱AB的中点．所以…………………6分所以，所以，即…………8分(2)过点作AC的垂线AM，从而有两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，设平面的法向量为，则令，得．……11分易证平面，则平面的一个法向量为．…………………12分设平面AEF与平面的夹角为，则，……………………14分即平面与平面夹角的余弦值为．…………15分由题意可得解得………………………3分(2)由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，则直线DA的方程为．…………5分联立整理得…………7分则，即．……………8分代入，得．………………9分同理可得．…………………11分因为………………13分……………15分所以直线MN的斜率为定值，且定值为-2．……………………17分19．(1)解：由，得，则，…………1分则，…………………………3分故曲线在处的切线方程为．…………5分(2)证明：，令，则．……6分因为，所以，则