新教材2023版高中数学第五章计数原理章末质量检测北师大版选择性必修第一册

章末质量检测(四)计数原理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是()A．18B．16C．14D．102．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有()A．7种B．12种C．64种D．81种3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2x))6的展开式中的常数项为()A．120B．160C．200D．2404．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是()A．72B．96C．144D．2405．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为()A．6B．7C．8D．96．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6的展开式中含xeq\f(3,2)项的系数为160，则实数a的值为()A．2B．－2C．2eq\r(2)D．－2eq\r(2)7．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为()A．－40B．40C．30D．－308．“中国梦”的英文翻译为“ChineseDream”，其中Chinese又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A．360种B．480种C．600种D．720种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列各式中，等于n！的是()A．Aeq\o\al(n－1,n)B．Aeq\o\al(n,n＋1)C．nAeq\o\al(n－1,n－1)D．m！Ceq\o\al(m,n)10．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是()A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq\o\al(3,7)B．若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(1,5)11．下列有关排列数、组合数计算正确的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),n！)B．(n＋2)(n＋1)Aeq\o\al(m,n)＝Aeq\o\al(m＋2,n＋2)C．Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)＝Ceq\o\al(3,101)D．Ceq\o\al(n－2,2n－1)＋Ceq\o\al(2n－1,n＋1)是一个常数12．某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有()A．18B．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3)C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)D．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(1－2x)n的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为________．14．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．15．在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有________种．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？18．(本小题满分12分)一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？(2)2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？19．(本小题满分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))10的展开式．(1)求展开式中含x4项的系数；(2)如果第3r项和第r＋2项的二项式系数相等，求r的值．20．(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数．(1)A，B必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．21．(本小题满分12分)已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－\f(1,\r(x))))n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．22．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个，其中红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)如取1个红球记2分，1个白球记1分，从口袋中取5个球，总分不小于7的取法有多少种？章末质量检测(四)计数原理1．解析：分两类：第一类，M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6个第一、二象限内的点；第二类，M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8个第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，知共有6＋8＝14个不同的第一、二象限内的点．故选C.答案：C2．解析：要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12种不同的配套方法．故选B.答案：B3．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2x))eq\s\up12(6)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(6－k)(2x)k＝2kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))x2k－6，令2k－6＝0，解得k＝3，所以展开式中的常数项为23×Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝160.故选B.答案：B4．解析：从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到2位女生所形成的3个空隙中，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝144种不同的排法．故选C.答案：C5．解析：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝9种．故选D.答案：D6．解析：由二项式定理得展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))(－a)kx6－eq\f(3,2)k，令6－eq\f(3,2)k＝eq\f(3,2)，得k＝3，由Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))(－a)3＝－20a3＝160，得a＝－2.故选B.答案：B7．解析：(2x－y)5的展开式的通项为Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))(2x)5－k(－y)k＝25－k(－1)kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))x5－kyk.令5－k＝1，得k＝4，则x·2·Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))xy4＝10x2y4；令5－k＝2，得k＝3，则y·22·(－1)·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))x2y3＝－40x2y4.所以(x＋y)(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为10－40＝－30.故选D.答案：D8．解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝600种，故选C.答案：C9．解析：根据题意，依次分析选项：对于A，Aeq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n))＝n×(n－1)×……×2＝n！，故A正确；对于B，Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n＋1))＝(n＋1)×n×(n－1)×……×2＝(n＋1)！，故B错误；对于C，nAeq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n－1))＝n×(n－1)×……×1＝n！，故C正确；对于D，故m！Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝m！eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),m！)＝Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))，故D错误．答案：AC10．解析：若任意选择三门课程，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))，故A错误；若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，故B错误；若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，故C正确；若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，故D错误．答案：ABD11．解析：A错，Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))·m！；B正确；C错，应为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(101))－1；D正确，由组合数定义可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤n－2≤2n－1（ⅰ）,0≤2n－1≤n＋1（ⅱ）))由(ⅰ)得n≥2，由(ⅱ)得eq\f(1,2)≤n≤2，所以n＝2.所以Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(2n－1))＋Ceq\o\al(\s\up1(2n－1),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝2.所以B、D正确．答案：BD12．解析：根据捆绑法得到共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝36.Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝18≠36.答案：CD13．解析：∵(1－2x)n的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴2n－1＝32，即n＝6，∴(1－2x)6展开式中的第4项为T4＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))13(－2x)3＝－160x3.答案：－160x314．解析：可以分为三类，第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种选法．根据分类加法计数原理知，一共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝42种不同的选法．答案：4215．解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(9))(eq\r(2))9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(eq\r(2))9＝16eq\r(2)；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：16eq\r(2)516．解析：从五人中选四人有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝5种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲、乙、丙、丁，则有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝4种组队方式；若所选四人为甲、乙、丙、戊，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8种组队方式；若所选四人为甲、乙、丁、戊，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8种组队方式；若所选四人为甲、丙、丁、戊，则有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种组队方式；若所选四人为乙、丙、丁、戊，则有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种组队方式．由分类加法计数原理得，不同的组队方式有4＋8＋8＋2＋2＝24种．答案：2417．解析：(1)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，不同的选法种数为6×7×8＝336.(2)分三类，每类又分两步：第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法，故不同的选法种数为6×7＋6×8＋7×8＝146.18．解析：(1)将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排，所以，排法种数为Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝48种．(2)将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝72种．19．解析：(1)展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))(－2)kx10－eq\f(3,2)k，令10－eq\f(3,2)k＝4，解得k＝4，故展开式中含x4项的系数为Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))(－2)4＝3360.(2)第3r项的二项式系数为Ceq\o\al(\s\up1(3r－1),\s\do1(10))，第r＋2项的二项式系数为Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(10))，∵Ceq\o\al(\s\up1(3r－1),\s\do1(10))＝Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(10))，∴3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10，解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)，∴r＝1.20．解析：(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝120.(2)按女生的选取情况分为四类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生，所有选法数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理知，所有选法数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝25200.21．解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2))eq\s\up12(n－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))x2n－eq\f(5k,2).(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－eq\f(5,2)k＝0，解得n＝10.(2)令2n－eq\f(5,2)k＝5，得k＝eq\f(2,5)(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6eq\b\lc\(\rc\)