2023年高考全国甲卷数学(文)真题（试卷）（附答案解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U2,3,4,5，集合M4,N2,5NUM（）544,54,5A.D.51i32（）2i2iA.111iD.1ia,b2,2cosab,ab（3.已知向量）11717525A.D.17554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）16132312A.D.San项和．若aaaaS（55.记为等差数列）nn2648A.252220D.156.执行下边的程序框图，则输出的B（）第页共页A.217.设A.13455D.89x2F,Fy21的两个焦点，点P在C0（12为椭圆C:上，若）1212524D.5eex8.y处切线方程为（）x12eeeee4A.yxyxyxD.yx42442x22y22(x2(y1A，29.已知双曲线ab的离心率为5，其中一条渐近线与圆abB两点，则||（）5255355455A.D.510.在三棱锥P中，是边长为2的等边三角形，6，则该棱锥的体积）A.132D.3623fxe(x1)2af,bf,cf已知函数A.bca，则（）222baccbaD.cabyfxy2xyfx的图象与12.函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则66第页共页11yx的交点个数为（）22A.123D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.San8S67Sa的公比为________．n13.记为等比数列前项和．若nn3π14.若fx(x2sinxa________．为偶函数，则23x2y15.若x，y满足约束条件2x3y3z3x2yxy的最大值为________．ABCD4,O为O的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，116.在正方体中，1111O的半径的取值范围是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.b2c2a217.记的内角,B,C的对边分别为a,b,c，已知2．cosA1）求bc；BAb1面积．BAc2）若-ABCAC1ABC,．18.如图，在三棱柱111ABBCC；111）证明：平面11ABAB,AA2ACC的高．1112）设，求四棱锥1119.402020只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间第页共页后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.212.413.215.516.518.018.819.219820.221.622.823.623.925.128.232.336.51）计算试验组的样本平均数；240只小白鼠体重的增加量的中位数mm与不小于m的数据的个数，完成如下列联表mm对照组试验组ⅱi95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？n(bc)22K，abcdacbdPKk20.1002.7060.0503.8410.0106.635ksinxπ20已知函数fx,x2．2xfx1）当a1时，讨论的单调性；2）若fxsinx0a的取值范围．x2y10与抛物线C:y22px(p0),B两点，．421.已知直线p1）求；2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，且0面积的最小值．第页共页（二）选考题：共10分.请考生在第2223题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）x2tcos,Pl:txy（为l的倾斜角，l与轴正半轴、轴正半轴分22.已知点y1tsin,B4．别交于1）求；2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲（10分）f(x)2|xa|a,a023.．fxx1）求不等式的解集；yfxxa与轴所围成的图形的面积为2．2）若曲线第页共页第页共页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U2,3,4,5，集合M4,N2,5NUM（）544,54,5AD.【答案】A【解析】【分析】利用集合交并补运算即可得解.【详解】因为全集U2,3,4,5}，集合MðM5，所以，U又N，所以NUM，故选：A.51i32.（）2i2iA.111iD.1i【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.51i351i【详解】1i(2i)(2i)5故选：a,b2,2cosab,ab（3.已知向量）第1共页117175255A.D.175【答案】B【解析】ab,ab,abab【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为ab，所以ab3,ab1，ab534,ab112，abab51312，232则ababa,ab2.2abab故选：4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）16132312A.D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C246其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C12C4，21423所以这2名学生来自不同年级的概率为故选：D..6San项和．若aaaaS（55.记为等差数列）nn2648A.252220D.15【答案】C【解析】an的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列nan的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．方法二：根据等差数列的性质求出等差数列n第2共页aa【详解】方法一：设等差数列的公差为d，首项为，依题意可得，n1aaada5d10ad51,2611aaadadd12又，解得：，481154Sad52．512故选：aaaaaa5a9，，48方法二：，，所以264488a4d1，于是aad514，3484Sa．53故选：6.执行下边的程序框图，则输出的B（）A213455D.89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当k1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A123，B325，k112；当k2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A358，B85，k213；当k3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A821，B21，k314；当k4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B．故选：第3共页x2F,Fy21的两个焦点，点P在C0（127.设为椭圆C:上，若）12125A.124D.5【答案】B【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△1F的面积，即可解出；2方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为0，所以FPF，121212．12Sb2tan451PFPF，所以12122故选：方法二：0，所以FPF，由椭圆方程可知，c2514c2，121222212422a25，平方得：1212222162，所以2．12121212故选：eex8.y处的切线方程为（）x12eeeee4A.yxyxyxD.yx42442【答案】C【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.exee【详解】设曲线y处的切线方程为ykx，22x1exy，x1exxex2xxexy，x2第4共页eky|x14eeyx24eeeex所以曲线y2处的切线方程为yx.x144故选：Cx22y22(x2(y1A，29.已知双曲线ab的离心率为5，其中一条渐近线与圆abB两点，则||（）5255355455A.D.5【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.c22a2b2ba22【详解】由e515，aa2b2，ay2x所以双曲线的一条渐近线不妨取，|223|5(2,d则圆心到渐近线的距离，21521545所以弦长||2r故选：D2d221.510.在三棱锥P中，是边长为2的等边三角形，6，则该棱锥的体积）A.132D.3【答案】A【解析】【分析】证明，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为得解.第5共页PE,CE【详解】取ABE，连接，如图，是边长为2的等边三角形，2，PEAB,CEAB，3PE,CE，CEE，又CE23，6，2故PC2PE2CE2CE，11121，所以VBVAS332故选：A623fxe(x1)2af,bf,cf已知函数，则（）222A.bca【答案】A【解析】baccbaD.cab【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.g(x)(x2g(x)开口向下，对称轴为x1，【详解】令63634211(63)2429626270，222636346321101122222第6共页63)，由二次函数性质知g()g(226262421122(62)484343830，2226262即11，所以g()g()，2222263)，综上，g()g()g(222又ye为增函数，故acbbca.x故选：A.12.函数yfxy2xyfx的图象与的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则6611yx的交点个数为（）22A.123D.4【答案】C【解析】11fx2xfxyx与【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出的部分大致图像，22112fxyx与考虑特殊点处【详解】因为的大小关系，从而精确图像，由此得解.2ππy2x向左平移个单位所得函数为66πππy2x2xsin2xfx2x，所以，662111与0而yx显然过两点，222112fxyx与的部分大致图像如下，2第7共页3π3π7π23π3π7π41122x,2x,2xx,x,x处fxyx与的大小关系，224423π3πsin13π11，y3π4当xf1；442242843π3π13π13π4当x当xfsinsin1，y1；4224287π47π7π217π1，y17π4f1；42428112fxyx与所以由图可知，的交点个数为3.2故选：二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.San项和．若8S67Sa的公比为________．n13.记为等比数列n【答案】【解析】n312q1，再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比.q【分析】先分析q1，【详解】若8S67S8617aa0，不合题意1得31q1.当q1时，因为8S67S，311q1q611q1q387，即81q671q381q31q371q381q73，1q.2第8共页12故答案为：π14.若fx(x2sinxa________．为偶函数，则2【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.π22fxx1sinxx1xxa2)x1x，2【详解】2且函数为偶函数，a20，解得a2，故答案为：23x2y15.若x，y满足约束条件2x3y3z3x2yxy的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，3z由图可知，当目标函数yxAz有最大值，22第9共页2x3y3x3,由3x2y3y3z3323.故答案为：1516.在正方体ABCD4,O为1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，中，1111O的半径的取值范围是________．【答案】[22,23]【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最.【详解】设球的半径为R.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R为体对角线长1423；2424432R43,R232,,,的中点1M,H,G,N，显然四边形是边长为4的正方形，且O分别取侧棱111的对角线交点，42，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即R的最小值为22.综上，R[22,23].故答案为：[22,23]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每第页共页个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.b2c2a217.记的内角,B,C的对边分别为a,b,c，已知2．cosA1）求bc；BAb1面积．BAc2）若【答案】（）132）4【解析】）根据余弦定理即可解出；2）由（）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】b2c2a2AAa2b2c2A，所以2，解得：1．A【小问2详解】aBbAbsinABsinBAsinBaBbAcsinABsinBAsinC由正弦定理可得sinABsinABsinBsinABsinB1，sinABsinAB变形可得：sinABsinABsinB2ABB，13而01，所以A0Aπ，所以sinA，2212133故的面积为S△ABCbcsinA1．224-ABCAC1．ABC,18.如图，在三棱柱111第共页ABBCC；111）证明：平面11ABAB,AA2ACC的高．2）设，求四棱锥11111【答案】（）证明见解析.2）1【解析】AC1AC1A1(1)由得1A1B；1面11A1AOCCAO1ACOCC,由三角形全等可证为中点，11(2)作11ACx1xAO，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.1设【小问1详解】AC1，,证明：因为AC1,又因为ACB90，C,1AACC，,11又因为A1A，11B,11B.1所以平面11【小问2详解】如图，第页共页A1AOCC，垂足为O.作11A1BAAO11A，1因为平面，平面BCCBCC，11111111AO11B，1ACCAO1所以四棱锥的高为.111AC，AC,BC,1ACAC1,,1AB又因为，为公共边，11AC全等，所以.1与ACx1ACx，11设1O为CC中点，11,112AC1AC122,12又因为,即x2x22，解得x2，2AOAC2122121，111ACC的高为1．所以四棱锥11119.402020只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为第页共页7.89.212.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.51）计算试验组的样本平均数；240只小白鼠体重的增加量的中位数mm与不小于m的数据的个数，完成如下列联表mm对照组试验组ⅱi95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？n(bc)22K，abcdacbdPKk20.1002.7060.0503.8410.0106.635k【答案】（）2i）m23.4ii【解析】）直接根据均值定义求解；2i）根据中位数的定义即可求得m23.4，从而求得列联表；ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.22039621.622.823.623.925.128.232.319.820【小问2详解】i4020位与第21位数据的平均数，第页共页由原数据可得第位数据为，后续依次为2021位数据为，，23.223.6m23.4，2故列联表为：m6m14620对照组试验组142020204040(661414)202020202ii）由（i）可得，K26.4003.841，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.sinxπ20.已知函数fx,x．22xfx1）当a1时，讨论的单调性；2）若fxsinx0a的取值范围．πfx【答案】（）在上单调递减22）a0【解析】fxfx，再利用换元法判1）代入a1后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简断得其分子与分母的正负情况，从而得解；2gxfxsinxgx0，g00g00进而得到a0，再分类讨论a0与0两种情况即可得解；x法二：先化简并判断得x0恒成立，再分类讨论a0，0与a0三种情况，利用零点存x2在定理与隐零点的知识判断得a0时不满足题意，从而得解.【小问1详解】第页共页sinxπfxx,xa1，所以，2x2x2x2xsinxsinx2x2sin2x则fx11x24x3x3x2x21x23x2，3xx3π令tx，由于x，所以tx，2t3x2x2t322t3t2t22t2t2tttt2t12，2t2t2t110，t10，cos3xt0，33x2x2πfx0在上恒成立，32xπfx在上单调递减.2【小问2详解】法一：sinxπgxfxsinxsinx0x，2x21sin2xπgxax0x则，3x2g0f000，gxfxx0若则g0a11a0，解得a0，sinx1当a0时，因为sinxsinx1，2xx2π1x0x1，0x11，又，所以2x2xfxxx0，满足题意；x2π当0时，由于0x，显然0，2第页共页xxfxxxx0，满足题意；2xx2综上所述：若fxsinx0，等价于a0，a的取值范围为,0.法二：sinxx2sinxsinx2xsinxsin3xxsinx，2x2x2x2πx0x1，0x1，，所以2xπ故x0在上恒成立，2x2x所以当a0fxxx0，满足题意；x2π当0时，由于0x，显然0，2xxfxxxx0，满足题意；2xx2sinxsin32xx当a0时，因为fxsinxsinx，2xsin3xπ3sin2x2x2sinx4gx0xgxa令，2x23x3sin20202sin40注意到g0aa0，30ππ若0x，gx0gx在上单调递增，22注意到g00，所以gxg00fxx0，不满足题意；π若00，g00g0g00，2π所以在上最靠近x0处必存在零点πxg10，，使得122第页共页gxx在上单调递增，gx0，所以gxx1在1xgxg00fxx0，不满足题意；1综上：a0.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论a0这种情况的关键是，注意到g00，从而分类讨论πgxgx0，从而推得存在在上的正负情况，得到总存在靠近x0处的一个区间，使得2gxg00，由此得解.x2y10与抛物线C:y22px(p0),B两点，．421.已知直线p1）求；2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，且0面积的最小值．p2【答案】（）2）1282【解析】p）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；2：xn，Mx,y,Nx,y,0m,n1122的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】Ax,y,Bx,y设，AABBx2y10y242p0，所以yy4p,yy2p，由可得，2ABABy2222ABxxyy5yy5yy4yy415，ABABABABAB2p2p60，因为p0，解得：p2．即【小问2详解】F0，显然直线的斜率不可能为零，设直线：xnMx,y,Nx,y，，1122y24xy44n0，所以，yym,yyn，12122由可得，xn第页共页16m0，所以mynmynyy0216n0m2n0，xxyy0，1212即，12122myymnyyn0，12122y