【数学】高中数学知识点总结最全版-精心校对

［［在此处键入］［［在此处键入］高中数学知识点总结资料下载请关注公众号：英语边边资料下载请关注公众号：英语边边第第-#-页共104页OC=1-A+Bo2C=2»-2(A+B)..简单的三角方程的通解sinx=aox=k兀+(-1)karcsina(keZ,|a区1).cosx=aox=2k兀±arccosa(keZ,|a|<1).tanx=anx=k兀+arctana(keZ,aeR).特别地,有sina=sin0oa=k兀+(-1)k队keZ).cosa=cos0oa=2k兀±0(keZ).tana=tan0na=k兀+0(keZ)..最简单的三角不等式及其解集sinx>a(|a|<1)oxe(2k兀+arcsina,2k兀+兀-arcsina),keZ.sinx<a(|a|<1)oxe(2k兀-兀-arcsina,2k兀+arcsina),keZ.cosx>a(|a|<1)oxe(2k兀-arccosa,2k兀+arccosa),keZ.cosx<a(|a|<1)oxe(2k兀+arccosa,2k兀+2乃-arccosa),keZ.n、. . _兀、Irtanx>a(aeR)nxe(k兀+arctana,k兀+—),keZ.一一/n、. 乃7 . 、7rtanx<a(aeR)nxe(k兀——,k兀+arctana),keZ..实数与向量的积的运算律设入、口为实数，那么(1)结合律：入(ua)=(入u)a;(2)第一分配律：(入+口)a=入a+口a;(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b..向量的数量积的运算律：a•b=b•a (交换律)；( 2a) •b=2 (a,b)=2 a,b= a,(2b);(a+b) •c=a•c+b•c..平面向量基本定理2,如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入使得a二入iei+入2e22,不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底..向量平行的坐标表示设a=a,y),b=(x2,y2),且b丰0,则a||b(b丰0)ox1y2-x2y1=0.a与b的数量积(或内积)a•b=|a||b|cos0..a-b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积..平面向量的坐标运算⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b二区+x2,乂+y2).(2)设a=(m，必),b=(x2,y2)，则a-b二区-x2,乂-y2).(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)，则-OB-OA=(x2-x1,y2-y1).(4)设a=(x,y),2eR，则2a=(2x,2y).(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a•b=(x1x2+y1y2)..两向量的夹角公式cos°=1 x1x2+y)y=—r(a=(x1,yJ,b=(x2,y2))•Vx1+y1yx2+y2

.平面两点间的距离公式d"=\AB\=^AB-AB="(0—xi)2+(%—乃)2(A(xi，必)，B(x2,y2))..向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b丰0,贝UA||bob—aox{y2-x2y1=0.a±b(a丰0)oa,b=0oxtx2+yry2=0..线段的定比分公式 _ _设P1(x1,y1), P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的分点，2是实数，且肝=X亚，则%i+2x2x= -~_——，+%oOP=y1+2y2 1+2y= 1+2o。尸=3+(17)。((t67.三角形的重心坐标公式67.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1).B(x2,y2)、C(x3,y3),则^ABC的重心的坐标是x1+x2+x3 弘+y2+y33 ， 3.点的平移公式x'=x'=x+h|x=x'-h, o\ ,y=y+k[y=y-koOP=OP+PP.注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形厂上的对应点为P'(x',y'),且港的坐标为(h,k)..“按向量平移”的几个结论(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+h,y+k).(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y=f(x-h)+k.(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x),则C的函数解析式为y=f(x+h)-k.(4)曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x-h,y-k)=0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)..三角形五“心”向量形式的充要条件设O为AABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则„, _,,,, —~~»2 —~»2 ——*2O为AABC的外心oOA=OB=OC.O为AABC的重心oOA+OB+OC=Q.O为AABC的垂心oOA^=OB^=OC^OA.O为AABC的内心oaOA+bOB+cOC=Q.O为AABC的NA的旁心oaOA=bOB+cOC..常用不等式：a,bgRna2+b2>2ab(当且仅当a=b时取"=”号).a,bgR+na+b>Obb(当且仅当a=b时取"=”号).2a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

（4）柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2,a,b,c,deR.（5）|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|..极值定理已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2Jp；（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值;s2.推广已知x,yeR，则有（x+y）2=（x-y）2+2xy（1）若积xy是定值，则当|x-y|最大时，|x+y|最大；当|x-y|最小时，|x+y|最小.（2）若和|x+y|是定值，则当|x-y|最大时，|xy|最小；当|x-y|最小时，|xy|最大..一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a*0,A=b2-4ac>0），如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x；<x<x2o（x-xj（x-x2）<0（x；<x2）；x<x；,或x>x2o（x-xj（x-x2）>0（x；<x2）..含有绝对值的不等式当a>0时，有|x|<aox2<a2o-a<x<a.|x|>aox2>a2ox>a或x<—a..无理不等式If(x)>0df(x)>Jg(x)o<g(x)>0f(x)>g(x)If(x)>04fx>g(x)oig(x)>0f(x)>[g(x)]2If(x)>0Jf(x)<g(x)o<g(x)>0f(x)<[g(x)]2.指数不等式与对数不等式(1)当a>1时，af(x)>ag(x)of(x)>g(x);"(x)>010gaf(x)>10gag(x)o<g(x)>0j(x)>g(x)(2)当0<a<1时，af(x)>ag(x)of(x)<g(x)；"(x)>010gaf(x)>10gag(x)o,g(x)>0f(x)<g(x)

.斜率公式k=乂必(Pi(xi,yi)、P2(x2,y2)).x2-x.直线的五种方程(1)点斜式y-y1=k(x-x1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k).(2)斜截式y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式—~y1- =—~x- (y1 wy2)(P(x1,y1) ^ P2(x2,y2) (x1 丰 x2)).y2-yi x2-xi(4)截距式x+y=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、bw0)ab一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)..两条直线的平行和垂直(1)若(:y=kx+b,l2:y=kx+b2|||l2ok=h,bwb；|±l2okk=-1.⑵若l1 : A1x+ B1y+C1 =0,12 :A2x+B2y+C2 =0,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l.||LoA1=BwC；2 A2 B2 C2l±l2oAA+BB=0;.夹角公式(1)tana=|—~—|.1+k2kl(l1:y=k1x+b1, 12:y=k2x+b2,kkw-1),AB-AB.,(2)tana=| ~二2」|.44+B1B2(l1：4x+B1y+C1=0,12:A2x+B2y+C2=0,AA+BBw0).TOC\o"1-5"\h\z, . 冗直线l1112时，直线11与12的夹角是-.2 281.l］到12的角公式k-k(1)tana=- L.+kk(l1：y=k1x+b1，12：y=k2x+b2,kkw-1)(2)tan(2)tana=4B2-A2B1A1A+4B2(l1：A1x+B1y+C1=0,12:A2x+B2y+C2=0,AA+BBw0) —直线l1112时，直线11到l2的角是-.2 2.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-%)(除直线x=x0)，其中k是待定的系数；经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中A,B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l1:4x+B1y+C1=0，12:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+2(A2x+B2y+C2)=0(除12),其中A是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+2=0(2丰0),人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(AW0,BW0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+2=0,人是参变量..点到直线的距离JA°+B°d=।Ax。/+By+C|(点P(x0,y0),直线l：Ax+By+CJA°+B°.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域设直线l:Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：若B丰0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax+By+C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.. (Ax+Bxy+C)(A2x+B2y+C2)>0或<0所表示的平面区域设曲线C:(Ax+Bxy+ q)(Ax+ B2y +C2)=0(A^BB*0)，则(A1x+B1y+C1)(A2x+ B2y+C2) > 0或<0所表示的平面区域是：(A1x+B1y+C1)(A2x+ B2y+C2) > 0所表示的平面区域上下两部分；(A1x+B1y+C1)(A2x+ B2y+C2) < 0所表示的平面区域上下两部分..圆的四种方程(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程x°+y°+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).(3)(3)圆的参数方程4x=a+rcos6y=b+rsin0(4)圆的直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2))..圆系方程(1)过点A®,%),B(x2,y2)的圆系方程是(X—X])(X—x2)+(y—y1)(y—y2)+2[(X—x1)(y1-y2)-(y—y1)(x1-X2)]=0O(x—x1)(x—x2)+(y—y1)(y—y2)+2(ax+by+c)=0，其中ax+by+c=0是直线AB的方程，A是待定的系数.(2)过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0,A是待定的系数.(3)过圆C1:x2+y2+Dx+E.y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F=0的交点的圆系方程是x+y2+D[x+E^y+F+2(x2+y2+D2x+E2y+F)=0,A是待定的系数..点与圆的位置关系点P(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种若d=7(a-x0)2+(b-y0)2，则d>ro点P在圆外；d=ro点P在圆上；d<ro点P在圆内..直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种：d>ro相离OA<0；d=ro本目切OA=0；d<ro本目交OA>0.其中d其中d=Aaa+Bb+C.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为Oi,O2,半径分别为ri,n，|O1O2|=dd>r1+r2O外离O4条公切线；d=r+r2O外切O3条公切线；|r1-r2|<d<r1+r2O相交O2条公切线；d=|r1-r21O内切O1条公切线；0<d<|r1-r2|O内含O无公切线..圆的切线方程(1)已知圆xx+jy+Dx+Ey+F=0.①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是D(x0+x)+E(y0+y)+尸=0当(x0,y0)圆外时，x0x+y0y+D(x[x)+E(y；+y)+F=0表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为y=kx+b，再利用相切条件求b,必有两条切线.⑵已知圆x'+y'=r2.①过圆上的片(x0，y0)点的切线方程为x0x+y0y=r2;②斜率为k的圆的切线方程为y=kx土rVl+k2.，…x2 y2 …「x=acos6.椭圆—+y-=1(a>b>0)的参数方程是《 .ab [y=bsin02 2.椭圆—+1r=1(a>b>0)焦半径公式ab|PFl|=e(x+亍)，|PF2|=e(亍-x)..椭圆的的内外部2 2 2 2(1)点P(x0,y0)在椭圆+——=1(a>b>0)的内部O—0-+—0-<1.ab ab(2)点P(x0，y0)在椭圆x2+y2=1(a>b>0)的外部Ox2+y2>1.ab ab.椭圆的切线方程TOC\o"1-5"\h\z“2 ,,2 ”“ ，一，(1)椭圆工+二=1(a>b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是一0r+誓=1.a' bb a'bb\o"CurrentDocument"2 2⑵过椭圆f+==1(a>b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是abx0x,y0y=1a2 b2(3)椭圆三+4=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.ab\o"CurrentDocument"2 2.双曲线j-4=1(a>0,b>0)的焦半径公式ab

2 2|PF1|=1心+y)1，|PF2|=18—-%)1..双曲线的内外部2 2 2 2(1)点P(x0,y0)在双曲线・-y-=1(^>0,b>0)的内部。咚-件>1.ab ab(2)点P(x0,y0)在双曲线I-4=1(a>0,b>0)的外部o?-4<1.ab ab.双曲线的方程与渐近线方程的关系TOC\o"1-5"\h\z»2 、，2 »2 ,,2 7(1)若双曲线方程为 -=1n渐近线方程：-5 ==0oy=±一x.\o"CurrentDocument"a2 b2 aa b2 a% x y x2⑵若渐近线方程为y=±-xo-±y=0n双曲线可设为三-a a b a\o"CurrentDocument"2 2 2 2(九〉0，焦点在x轴上，九<0(九〉0，焦点在x轴上，九<0，焦点在y轴上)..双曲线的切线方程x0x0x y0y=iaa b2 ,(1)双曲线J-y-=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是ab2 2(2)过双曲线I-y-=1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是abx0x y0y7a? b2一.(3)双曲线-—==1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=c2.ab.抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线y2=2px(p>0)焦半径CF|=x0+p.过焦点弦长|CD|=x1+p+x2+p=x1+x2+p.2.抛物线y2=2px上的动点可设为P(匕,yo)或P(2pt2,2pt)或P(冗,乂)，其中贯=2px.2p.一 「一 be 4ac-b2 ——.一一一. .二次函数y=ax-+bx+c=a(x+—)2+ (a丰0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标为2a 4a/b4ac-b、/八…八」一、।/b4ac——+1、 …、八小、加口 4ac—-—1( , )；(2)焦点的坐标为( , )；(3)准线方程是y= 2a4a 2a 4a 4a.抛物线的内外部⑴点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部oy2<2px(p>0).点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).(2)点P(x0,y0)在抛物线y2=-2px(p>0)的内部oy2<-2px(p>0).点P(x0,y0)在抛物线y2=-2px(p>0)的外部oy2>-2px(p>0).⑶点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)的内部ox2<2py(p>0).点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)的外部ox2>2py(p>0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)的内部ox2<2py(p>0).点P(x0,y0)在抛物线x2=-2py(p>0)的外部ox2>-2py(p>0)..抛物线的切线方程(1)抛物线y2=2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).(2)过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).(3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC..两个常见的曲线系方程⑴过曲线fi(x,y)=0,f2(x,y)=0的交点的曲线系方程是工(x,y)+九f2(x,y)=0(2为参数).2 2(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程+=1,其中k<max{a2,b?}.当k>min{a2,b2}时,表示椭a2-kb2-k圆；当min{a2,b2}<k<max{a2,b2}时,表示双曲线..直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|=7(xi-x2)2+(yi-y2)2或|AB|=J(1+k2)(x2 -xj2 =|xi -x2 |v1+tan2a =| y1一y2|Ji+cot2a (弦端点A(x「y)B(x2,y2)，由y=kx+b 「方程f 消去y得到axx+bx+c=0，A>0,a为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).F(x,y)=0.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,y)=0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0-y)=0.(2)曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0成轴对称的曲线是2A(Ax+By+C) 2B(Ax+By+C)(x A2+B2/ A+B•.“四线”一方程对于一般的二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，用xox代x2，用yoy代y?，用x0y+xy0代xy，用工一代x，用yJL+Z代y即得方程Ax0x+B-x0y+xy0+Cy0y+D-±+x+E-y^+y+F=0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到..证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行..证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行..证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直..证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直..证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直..证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直..空间向量的加法与数乘向量运算的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律：入(a+b)=入a+入b..平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量..共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bW0),a〃bO存在实数入使分=入^P、A、B三点共线oAP||ABoAP=tABoOP=(l-t)OA+tOB.AB||CDoAB,无共线且AB、CD不共线oAB=/①且AB、CD不共线..共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的o存在实数对x,y，使p=ax+by.推论空间一点P位于平面MAB内的o存在有序实数对x,y,使加=xMA+以防,或对空间任一定点0,有序实数对x,y，使无=加+xMA+yMB..对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足历= +y砺+z玩(x+y+z=k),则当k=1时，对于空间任一点O,总有P、A、B、C四点共面；当k丰1时，若Oe平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若O年平面ABC,则P、A、B、C四点不共面._A、B、C、D四点共面o而与懿、就共面oAD^xAB+yACoOD^(l-x-y)OA+xOB+yOC(Oe平面ABC)..空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.一推J设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP^xOA+yOB+zOC..射影公式已知向量击;a和轴l,e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影4',作B点在l上的射影B',则 _AB'=|AB|cos〈a,e〉=a•e.向量的直角坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则(1)a+b=(ax+b,a2+b2,a3+b)；(2)a—b=(ax-b,a2-b2,a3-b)；(3)入a=(2a1,2a2,2a3)(入£R)；a•b=ab+a2b2+a3b3；.设A(占,必,Z1),B(x2,y2,z2)，贝UAB-OB-OA=(x2-再,y2-y,z2-zj..空间的线线平行或垂直r r设a=(x1,y19z1),b=(x»y2,z2)，贝U%=4x2rrrrrraPboa=4b(b丰0)o{y1=2y2；*1=4z2rrrra±boa•b=0oxtx2+yty2+ztz2=0..夹角公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，贝U/I、 ab+ab+abcos〈a,b)= / 1122_33 .aa；+a；+abb；+b；+b；推论(ab+a2b2+a3b3)2<(a；+a；+a2)(b22+b2+b2)，此即三维柯西不等式..四面体的对棱所成的角四面体ABCD中，AC与BD所成的角为氏则cose=|(AB2+CD2)-(BC2+DA2)|

2cose=.异面直线所成角cose=|cos(a,b)|rr_]a.bJ_ |x1x2+jy«z1z2||aHb|Jx：+y「+z「•^x22+y22+z22rr(其中e(0o<e<90o)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量).直线AB3平面所成角_ AB-m-... B=arcsin—> (m为平面a的法向量).\AB\\m\.若AABC所在平面若B与过若AB的平面a成的角e,另两边AC,BC与平面a成的角分别是4、e2,A、B为AABC的两个内角，则sin24+sin24=(sin2A+sin2B)sin2e.特别地，当NACB=90°时，有sin24+sin2%=sin2e..若AABC所在平面若夕与过若AB的平面a成的角e,另两边AC,BC与平面a成的角分别是我、e2,A、B为AABO的两个内角，则tan2e+tan2e?=（sin2A+sin2Bjtan2e.特别地，当NAOB=90°时，有sin2e+sin2e?=sin2e..二面角a-1-P的平面角八 m-n3 m-n/-一“十一 八人」一日、e=arccos———或兀-arccos―—―（加，〃为平面a,P的法向量）.|加||勿| |加II勿I.三余弦定理设AC是a内的任一条直线，且BCXAC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为仇，AB与AC所成的角为%,AO与AC所成的角为6.则cos6=cos6cos6..三射线定理若夹在平面角为g的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是4,62，与二面角的棱所成的角是9,则有sin2gsin26=sin26+sin262-2sin6sin6cosg;|61-62|<g<180°—(4+62)(当且仅当6=90°时等号成立)..空间两点间的距离公式若A(X1/1/1),B(x2,y2,22)，贝Ud/乃=\ABh4ab=ab=7(x2-x1)2+(y2-y1)2+(22-21)2..点Q到直线1距离h=—J(|a||b|)2-(a-b)2(点P在直线1上，直线1的方向向量a=PA,向量b=A0).a1.异面直线间的距离d=1cp”(11,12是两异面直线，其公垂向量为蔡，C、D分别是11,12上任一点，d为11,12间的距离).|〃|.点B到平面a的距离d二\"'(孟为平面a的法向量，AB是经过面a的一条斜线，Aea).|川.异面直线上两点距离公式d=Jh2+m2+n2+2mncos6.d=%h?+m2+n2-2mncos（E/4,/F）.d=Jh?+m2+n2-2mncosg(邛=E-AA'-F).(两条异面直线a、b所成的角为9,其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,AE=m,AF=n,EF=d)..三个向量和的平方公式— — —c―2 —2 —2 —— —— ——(a+b+c)=a+b+c-\-2a-b-\-2b-c-\-2c-af2f2f2 ff /f ff ]f ff /ff\=a+b+c+l\a\-\b\cos(a*)+2|“.|c|cos«,c)+21cl.|a|cos(c,a).长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为卜12、13,夹角分别为仇、％、63，则有12=12+12+12ocos26+cos26+cos26=1osin26T+sin26+sin26=2.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例)..面积射影定理S=工.cos6(平面多边形及其射影的面积分别是S、S',它们所在平面所成锐二面角的为6)..斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是1，侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和嚓棱柱，它的直截面的周长和面积分别是q和S1,则①S斜棱柱侧=c1.②嚓棱柱=Si1..作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行..棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方)；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比..欧拉定理(欧拉公式)V+F-E=2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为〃的多边形，则面数F与棱数E的关系："1万E=—nF；2(2)若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E=-mV.2.球的半径是R,则 4 .其体积V=—兀R3,3其表面积S=4»R2..球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为—a,外接球的半径为—a.12 4.柱体、锥体的体积V主体=-Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).喙彳^=-Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高)..分类计数原理(加法原理)N=mx+m2+ 1-mn..分步计数原理(乘法原理N=mxxm2x-«-xmn..排列数公式… n! ,An=n(n-->••(n-m+1)= .(n,m£N，且m<n).(n-m)!注:规定0!=1..排列恒等式(1)Am=(n-m+1)Am-1;nAm_—n_Am.An = An-1；n-mAm=nA：，nAn=A：：：-A：；Am+1=Am+mA-1.1!+2-2!+3-3!+…+〃•加=(n+1)!-1.153.组合数公式m_Am_n(n-1)•一(n-m+1) n!(n£N*,mgN，且m(n£N*,mgN，且m<n).Am 1x2x•…xm m!•(n-m)!

154.组合数的两个性质⑴cn=cnn-m ；⑵cm+cnm-1=cnm+i.注:规定c=1.n-n-m+1 -icn = cnmnrm - rm -cn cn-1 ；n-m\o"CurrentDocument"n «mim_m「m-1cn=cn-1 ；mn£C=2n;r=0⑸C+C+i+C+2+…+C=C;⑹c+c+cn+…+c+…+cn=22.⑺c+c+cn+•••=c+c+c：+…2n-1.⑻c+2c+3c+…+nc；=n2n-1.⑼cc+cm-1cn+•••+coc=c+n（10）c；）2+cn）2+©丫+…+q）2=c2nn..排列数与组合数的关系Am=m！Cm ..单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有Am—种；②某（特）元不在某位有Am-Am-1 （补集思想）=An-1Am-1 （着眼位置）=A-+Am-1Am- （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：k（k<m<n）个元在固定位的排列有AkAm-k种.②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ann-k+1Ak种注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（k<h+1）,把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh+1种.（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？An当n>m+1时，无解；当n<m+1时，有」胆=cn+1种排法.nn m+1n（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为cm+n..分配问题（1）（平均分组有归属问题）将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有

(mn)!(n!)m(2)(平均分组无归属问题)将相异的m•n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有TOC\o"1-5"\h\z(mn)!

m!(n!)mCn .cn,C「 (mn)!

m!(n!)mN一CmnCmn-n Cmn-2n… C2n Cnm!(3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+…+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有N=C；C2〃…C”.m!=p'm' .p p-n1nm n1!n2!…nm!(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+…+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n，n2，…，nm件，且n，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有N=C-G-ni.C•m' = p!m!a!b!c!… nJn2!...nm!(a!b!c!...)(5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+…+nm)个物体分为任意的n1，n2，…，nm件无记号的m堆，且%，n，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N=—p—.n1!n2!…nm!(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+…+nm)个物体分为任意的n1，n2，…，nm件无记号的m堆，且n，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 p n!n2!...nm!(a!b!c!...)(7)(限定分组有归属问题)将相异的p(p=n1+n2+…+〃加)个物体分给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得々件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n，n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有N=N=C'C-ni…C；：P!

n1!n2!…nm!.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为f(n)=呜-3!+4!-…+(—吟］・推广：n个元素与n个位置，其中至少有m个元素错位的不同组合总数为f(n,m)=n!-Cm(n-1)!+Cm(n-2)!-Cm(n-3)!+Cm(n-4)!-…+(—l)夕图5—夕)!+…+(—l)朗玛5—⑼！TOC\o"1-5"\h\z「1 02 03 04 「p 「m=n![1-常+C-关+谭-…+(-l)〃于+…+(-l门谭].

J1 J2 J2 J4 /夕 AmAn An An An "n "n.不定方程占+x2+…+x〃=加的解的个数(1)方程占+x2+…+%=( (n,meN*)的正整数解有Cn-1个.(2)方程x1+x2+…+x〃=( (n,meN*)的非负整数解有Cn-1个.n+m-1(3)方程x1+x2+…+%=m(n,meN*)满足条件xi>k(keN*,2<i<n-1)的非负整数解有n--1 小m+1-(n-2)(k-1) 1 .(4)方程匹+x2+…+%=( (n,meN*)满足条件x‘4k(keN*,2<i<n-1)的正整数解有cn-1-c1cn-1 +c2cn-1 --•-+(2cn-2cn-1 个.n+m-1 n-2m+n-k-2 n-2m+n-2k-3 n-2 m+1-(n-2)k.二项式定理(a+b)n=c:an+c；an-1b+c：an-2b2+…+cran-rbr+…+c；b”;二项展开式的通项公式Tr+1=cran-rbr(r=0,12…n)..等可能性事件的概率P(A)=.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B)..n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1+A2+——+An)=P(A1)+P(A2)+——+P(An)..独立事件A,B同时发生的概率P(A•B)=P(A)•P(B)..n个独立事件同时发生的概率P(A1,A2 An)=P(A1)• P(A2) P(An)..n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)=cP(1-P)n-k..离散型随机变量的分布列的两个性质(1)P>0(i=1,2,…)；(2)P1+P2+…=1..数学期望E匕=x1P1+x2P2+…+招匕+….数学期望的性质(1)E(a&+b)=aE©+b.(2)若占〜B(n,p)，则E&=np.(3)若占服从几何分布,且P化=k)=g(k,p)=qZp，则E&=-.P.方差戊=(x1—E疔.p1+(x2-E疔.p2+.一+(乙—£})2.夕〃+一..标准差K=4DI..方差的性质(1)D(a&+b)=a2D&；(2)若占〜B(n,p)，则D匕=np(1-p).(3)若占服从几何分布，且PC=k)=g(k,p)=qk-1p，则D占=4.

p.方差与期望的关系D匕=E&?-(E^)2..正态分布密度函数,xe(-8,+8,xe(-8,+8),准差..标准正态分布密度函数

1 -x2f(x)=^~6e2，xe(-s,+s).177.对于N(〃,a2)，取值小于x的概率f(xi〔话)P(xt<x0<x2)=P(x<x2)-P(x<xt)=F(x2)-F(x1)=①(x-L)-①]xlZ£178.回归直线方程y=a+bxy=a+bx，其中<E(x「x)(y,--y) Ex“一nxyb= nE(x「x)2_ i=1a=y-bxi=1nE2 —2xz. -nxi=1179.相关系数179.相关系数nEU-x)(y,-y)nE(xi-x)5-y)i=1E(x‘-x)2E(y「y)2i=E(x‘-x)2E(y「y)2i=1i=1n n(Ex；-nx2)(Eyj-ny2)i=1 i=1|r|W1,且|r|越接近于1,180.特殊数列的极限相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.limqn=<nfs01不存在Iql<1q=1|q|<1或q=-1limnfsk. k-1 . .a^n+a^^n +,•,+%bM+b7W1+ 1"仇Olbk不存在S=lima1(1-qn)=旦nfs1-q 1-q（S无穷等比数列｛aq-1J（Iq|<1）的和）..函数的极限定理limf(x)=aolimf(x)=limf(x)=a.x-xx0 x—xx0 x—xx0+.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(X)在点X0的附近满足:(1)g(x)<f(x)<h(x);(2)limg(x)=a,limh(x)=a(常数)，则limf（x）=a.xfx0本定理对于单侧极限和xfs的情况仍然成立.183.几个常用极限lim—=0,lima=0 (|a\<1)；TOC\o"1-5"\h\znf8n n78limx=x0,lim1=—.184.两个重要的极限sinx(1)lim =1；x70 x(2)lim|1+1| =e(e=2.718281845…).x78I xJ185.函数极限的四则运算法则若limf(x)=a，limg(x)=b，贝Ux7x0 x7x0(1)Jim[f(x)±g(x)]=a±b；⑵lim[f(x),g(x)]=a-b;⑶limqx)=a(b丰0).TOC\o"1-5"\h\zx7x0g(x) b.数列极限的四则运算法则n78若liman=a,limbn=b，贝n78lim(an±bn)=a±b；n78' /lim(an•bn)=a-b；n78' /lima=a(bw0)n