高一数学《概率与统计》

概率默统计类概率默统计类第6讲66.1随机抽样考点1：抽样方法知识点睛知识点睛一．随机抽样随机抽样：满足每个个体被抽到的时机是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：1．简单随机抽样：从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．简单随机抽样是最简单、最根本的抽样方法．⑴抽出方法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．⑵简单随机抽样必须具备以下特点：①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的．②简单随机样本数小于等于样本总体的个数．③简单随机样本是从总体中逐个抽取的．④简单随机抽样是一种不放回的抽样．⑤简单随机抽样的每个个体被抽取的可能性均为．<教师备案>样本获取分为两种，一种是全面统计，一种是样本统计．全面统计的例子非常多，比方美国大选，每个州的选民都是通过投票选出每个州的负责人．也就是每个人都表达了自己的意见．再比方我们调查学生是海淀还是非海淀，我们也是给每个学生打了，访谈出结果，每个同学也都表达了自己的意见．再比方一些小事，像一群人中午的时候讨论去哪吃饭，每个人都可以说自己喜欢的地方．全面统计的好处在于无遗漏，数据准确无偏差，但是缺点也很明显，那就是非常的繁琐、麻烦．对于大数据的处理很无力，所以我们需要有样本统计．样本统计的意义就是从一个大数据中抽取数据样本分析，通过对样本的分析来估计原数据的性质．于是首要的问题就是如何抽样．一个合理的抽样方法的根本要求是“平等”，也就是每个个体被抽取的可能性是相同的．比方我们发现，老师选出的学生代表很可能不能真正代表全体同学的意见，因为老师选取的一定是自己比拟熟悉的学生，这类学生平时一定非常活泼．而对于一些比拟内向，“存在感”比拟低的同学来说，老师可能就不会关注，被选中的可能性就会降低．由此可以推知，人为的抽样一般是不靠谱的．再比方，现在很多的新闻都有网上的调查，有的媒体通过网上调查的数据来分析广阔人民对新闻的反应．这样的调查也是不靠谱的，因为网上调查反映出来的大多是经常上网的人的意见，而对于平时不上网的人就没有调查，所以这样的抽样也是不合理的．最常见的合理抽样方式是“抓阄”，这可以保证每个个体都能“等可能”的被选中．当然抓阄的方式有很多，比方很多时候我们不需要每个人都去抓一次，我们可以把每个人编一个号，然后由一个人来抽号就可以了．比方我们常见的彩票大致就是这个原理．不过需要注意的是彩票里面的等可能是对彩票是等可能的，对人不一样，因为一个人可以买很多彩票．<教师备案>老师在讲完简单随机抽样后可以让学生做例1的【铺垫】⑴，本小题主要是让学生理解什么是总体，什么是个体，什么是样本容量，因为简单随机抽样比拟简单，而且在后边要讲的系统抽样和分层抽样中都要用到，所以这里就不再详细讲解了．2．系统抽样：将总体分成均衡的假设干局部，然后按照预先制定的规那么，从每一局部抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．⑴抽出方法：从元素个数为的总体中抽取容量为的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设，先对总体进行编号，号码从到，再从数字到中随机抽取一个数作为起始数，然后顺次抽取第个数，这样就得到容量为的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．⑵系统抽样时，当总体个数恰好是样本容量的整数倍时，取；假设不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整．<教师备案>随着数量的增大，抓阄的方式效率会比拟低．当然，随着现在计算机的开展，数据量很大的时候也是可以通过“选号”的方式进行随机抽样．课本上提到的系统抽样其实现在已经不怎么使用了．不过作为传统意义下的抽样方法，我们还是有必要介绍一下．系统抽样的核心是“选出代表”，每个代表会直接代表一个群体的意见．系统抽样的方式分为两种，一种是横向抽样，也就是我们教科书上的抽样方式，这种例子非常多，比方军训的时候，可能我们出现过“一到三”报数，这样就把我们分成了“一”“二”“三”三个组，然后就可以随机选一个数“一”，然后所有的“一”就被选中了．同样的道理，我们对人，选取一个人的样本，那么我们就需要把总数分成组，每组个人，然后让第一组的人抓阄〔为的是随机抽样〕，比方“”抓到，那么每一组的“”就被选中了．另一种系统抽样的方式是“纵向抽样”，它出现的原理是这样的：原始的系统抽样方法会造成直观上的不公平．比方我们人里面选人去叙利亚旅游，大家肯定都不愿意去，第一组的人抓阄之后，由于第一组的号被选中，那么每一组的号就都被选中了，其他组的号会认为被第一组的号连累，因为他们是“被”选中的．虽然从可能性上说，这没有道理，不过直观上确实有点“躺枪”的意思．于是人们改变了方式，也就是纵向系统抽样．比方现在我们还是人里面选人去叙利亚，我们把所有人分成组，每组人，然后每组自行推举一个代表上台抓阄，被选中的人所在的组，整组都被选中．这样我们每个组都有人去抓阄，也就实现了直观上的公平．但是在可能性的角度，横向和纵向抽样都是“等可能”的，没有本质区别．<教师备案>老师在讲完系统抽样后就可以让学生做例1的铺垫⑵，例1⑵以及尖子班拓展⑵，这几个题都是系统抽样，老师可以选择几个让学生做做，不一定都让学生做，老师自己选择．3．分层抽样：当总体有明显差异的几局部组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成假设干个互不重叠的几局部，每一局部叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．<教师备案>简单随机抽样〔抓阄〕和系统抽样都是绝对意义上的公平，但是分层抽样就是相对意义上的公平，因为我们人为的干扰了抽样的过程．不过现实意义之下我们统计数据必须进行分层，否那么统计数据会闹出笑话．常见的一个就是我家房子平米，后来搬过来一个邻居，房子面积是平米，那么我家的生活状况有没有改变．实际上没有，但是统计数字可能告诉你，你们的平均面积增加了．现实生活中，很多的统计需要分层，比方统计收入水平的时候需要分不同的城市，统计生育问题的时候要分城市和农村，统计化装品消费水平的时候要分性别等等．所以分层抽样就是为了保证每个层面上的公平性，我们按照每个层次占到总体的多少来分配选取的比例．这里老师可以开发更多的统计实例，一定要讲出现实意义来．<教师备案>老师在讲完分层抽样后可以让学生做例1的铺垫⑶，例1⑶以及目标班专用⑷，让学生熟练掌握分层抽样，因为在以后考试和北京高考中，三个抽样重点考察分层抽样．老师在讲完三个抽样后一定要让学生明白什么情况下用什么抽样，这个时候就可以让学生做例1⑴，尖子班拓展⑴．经典精讲经典精讲【铺垫】⑴为了了解参加运动会的名运发动的年龄情况，从中抽取名运发动；就这个问题，以下说法中正确的有〔〕个①名运发动是总体；②每个运发动是个体；③所抽取的名运发动是一个样本；④样本容量为；⑤每个运发动被抽到的概率相等A．B．C．D．⑵从编号为的枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取枚来进行发射实验，假设采用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法，那么所选取枚导弹的编号可能是〔〕A．B．C．D．⑶某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有种、种、种、种，现从中抽取一个容量为的样本进行食品平安检测．假设采用分层抽样的方法抽取样本，那么抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是〔〕A．B．C．D．⑴B；④⑤正确，①②③错误⑵B；⑶C；．三种抽样⑴现有以下两项调查：①某装订厂装订图书册，要求检验员从中抽取册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共家，三者数量之比为．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是〔〕A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法⑵用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组〔号，号，…，号〕，假设第16组抽出的号码为126，那么第1组中用抽签的方法确定的号码是．⑶某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为．现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有件．那么此样本的容量．⑷〔目标班专用〕某校有名学生，型血的有人，型血的有人，型血的有人，为了研究血型与色弱有没有关系，要从中抽取一个人的样本，按分层抽样，型血应抽取的人数为人．⑴D；①是系统抽样；②明显是分层抽样；⑵；不妨设第1组抽出的号码为，那么第16组应抽出的号码是，∴．⑶；种型号的产品占总体的比例是，那么样本容量．⑷该学校型血的人数为，按照分层抽样的抽样比相等得：，解得，即型血应抽取的人数为人．66.2用样本估计总体<教师备案>学习了抽样后，需要对收集的这些有代表性的样本数据进行研究，找出有用的信息，然后用这些样本来估计总体．这种估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．用来估计的图表和方法有很多种，本版块在初中的根底上来学习频率分布直方图、茎叶图和方差．考点2：频率分布直方图知识点睛知识点睛1．列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：取组距，用决定组数；③决定分点：决定起点，进行分组；④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积＝组距×＝频率．2．频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．3．总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．<教师备案>这里主要介绍的就是样本分析方法，直方图就是很重要的一种．其实直方图的形成过程就是把数据按大小排序，然后分段截取数据．实际生活中最常见的方法就是“画正字”，比方我们收到了一组数据是学生的跳绳次数，我们就可以把次数分成假设干组，然后一个一个数据看落在了哪个组里，利用“画正字”的方式看出每组里有几个数，最后画出直方图．直方图的主要作用是看出数据的分布变化趋势，很容易表示大量数据，缺点是原始数据不能在图上表示出来．通过例2的学习，让学生可以由给出的频率分布直方图算出各组数据的频率和频数，理解横纵坐标代表的意义．频率分布折线图和总体密度曲线不需要深究，在频率分布直方图的根底上，简单介绍即可．经典精讲经典精讲频率分布直方图⑴某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度〔棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标〕，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如下图，那么其抽样的根中，长度在内的频率为______，有______根棉花纤维的长度小于．⑵〔目标班专用〕某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，那么从频率分布直方图中可分析出和分别为〔〕A．，35 B．，45C．，35 D．，45⑴，；由频率分布直方图可得，长度在内的频率为．棉花纤维长度小于20mm的频率为那么棉花纤维长度小于20mm的频数为根．⑵〔目标班专用〕A．考点3：茎叶图知识点睛知识点睛<教师备案>当样本数据较少时，可以用样本分析的另一个常用图表方法――茎叶图，这个图主要作用是两组数据的比照．一左一右很容易估计出两组数据的比照状况，而且茎叶图是把所有的数据都列出来，精确性上比直方图要好一点，但是对于数据特征的分析不如直方图直观．可以结合铺垫讲解知识点，并简单复习一下初中学过的中位数、平均数的概念．1．制作茎叶图的步骤：①将数据分为“茎”、“叶”两局部；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出．<教师备案>“按一定次序”一般是按大小顺序，也可以按统计数据的顺序．2．平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的数据值就称为中位数．当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位数那么为处于中间位置的两个数据值的平均数．经典精讲经典精讲【铺垫】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：乙：①用茎叶图表示两学生的成绩；②分别求两学生成绩的中位数和平均分．①两学生成绩的茎叶图如下图②将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：，乙：．从以上排列可知甲学生成绩的中位数为，乙学生成绩的中位数为．甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为．茎叶图随机抽取某中学甲，乙两班各名同学，测量他们的身高〔单位：〕，获得身高数据的茎叶图如图，那么以下关于甲，乙两班这名同学身高的结论正确的选项是〔〕A．甲班同学身高在以上的人数较多B．甲班同学身高的中位数较大C．甲班同学身高的平均值较小D．甲、乙班同学身高的平均值一样大C；甲班同学身高175以上的有3人，乙班有4人，故而A错误．甲班同学身高的中位数为169，乙班同学身高的中位数为．故而B错误．容易计算得知，，，故C对．考点4：统计数据的数字特征<教师备案>分析样本数据时，我们已经学过了众数、中位数和平均数这些概念，它们都可以用来表示统计数据的特征信息，各有利弊．平均数是统计数据一个非常好的特征，它可以利用所有的样本数据，而且比拟好算．也正因为平均数利用了所有的数据，所以它容易受到一些极端数据的影响．比方歌唱比赛时，去掉一个最高分和一个最低分，然后再平均，就是为了防止出现个别评委的极端喜恶，尽量表达评分的准确和公正性．再比方公布一个地区的家庭平均收入时，平均数也掩盖了一些极端情况的存在，而这些是不容无视的．怎么样能反映这些极端情况呢，也就是数据的离散程度呢，从运算方便等各方面考虑，引入了方差或标准差来进行衡量．知识点睛知识点睛统计数据的数字特征1．用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差：2．数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述：⑴极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；⑵样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根．一般地，设样本的元素为，样本的平均数为，定义样本方差为，样本标准差，简化公式：．<教师备案>这局部其实没有真正的考察，现在最多也就是通过样本的特征直接套用在整体数据上．寒假班对方差只需要初步理解它存在的意义即可，对方差的直观理解放在春季同步班讲解．经典精讲经典精讲方差甲、乙、丙三名射箭运发动在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，，分别表示甲、乙、丙三名运发动这次测试成绩的标准差，那么有〔〕甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数78910环数78910环数78910频数5555频数6446频数4664A．B．C．D．B；根据题中数据计算∴；同理得∴．66.3随机事件概率<教师备案>概率的定义是一个漫长的过程，最开始就是根据经验，对统计事实的认识．历史上对概率的理解可以分为三个阶段：第一阶段：大量统计中发生的几率有多大．比方很多数学家都玩过“扔硬币”这个游戏，而且还统计了结果，如图．大家发现，扔了很多很屡次之后，结果都差不多是正反面各占一半，所以大家认为硬币出正面的概率是．可能有人觉得这个做法很无聊，但是这只是概率的现象，是一个结果层面的东西，并不是概率的本质．不过现在计算机在估计概率的时候也是用这样的方法进行屡次的实验，最终估计出一个结果．第二阶段：人们开始想一些复杂的问题．这里面著名的问题有两个，一个是赌徒分金问题〔注：两个赌徒玩掷硬币，规定正面那么甲加一分，反面那么乙加一分，谁先得到分谁就可以赢得一袋金币，现在进行到甲乙，警察来了，说不让赌了，那么这些金币该怎么分．〔【解析】按照的比例分；假设警察没有来，那么乙赢的概率为：，甲赢的概率为：，应该按照的比例分金币〕，另一个问题是掷两个骰子，至少有一个的概率〔【解析】：〕．这些问题根本上是很难通过实验来得出结论，毕竟情景比拟复杂，这就促使人们要从概率的理论角度入手解决．费马在概率的定义方面做出了杰出的奉献，因为他引入了“等可能”这个概念．就是我们需要先认同一些根本的“等可能”的条件，然后再由此出发考虑复杂情况．第三阶段：古典概型有弊端，因为古典概型的必然要求是要把一个事件分解成假设干等可能的根本领件，不过有些问题中这件事是做不到的．比方打靶问题．所以才有了几何概型这个概念．之后随着函数论的开展，我们用函数根底定义概率的时候我们就有了新的概率理论．后续的离散型随机变量说的就是这个阶段的问题．建议老师在一开始教学的时候强化概率的直观解释．比方：掷硬币模型，再比方：猜黑白〔俗称手心手背〕．其实这就是利用了概率均等的原理进行的．我们可以想一想，手心手背其实是很有效的一个等概率选取方式．另外，猜拳也是一个非常有效的等概率选取方式．这些概率其实挺难算的，不过我们可以让学生直观的理解概率的意义．同样的问题还有：【趣题】1．甲乙两个人去公园，公园有个景点，在这个景点中两个人各自独立的选取个，假定甲和乙同时出发，游览每一个景点的时间都是相同的，那么他们在最后一个景点相遇的概率是多少？【解析】下面有三种方法，老师在给学生讲本讲的时候可以讲法一，法二和法三供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，考虑甲最后在的一个景点，乙最后在任何一个景点的可能性相同，恰好在甲所在的景点的概率为．法二：甲最后一个景点为号景点的概率都为，乙最后一个景点为号景点的概率也为，故他们最后一个景点为同一个景点的概率为．法三：他们参观景点的所有顺序有种，每种参观景点的顺序出现的可能性相同，故在最后一个景点相遇的情况有，故所求概率为．2．华约的自招考题：个人传球，每个人都等概率的传给其他人，由甲开始第一次传球，设为传球次数，次传球后球在甲手里的概率记为，问当趋向于无穷的时候，趋向于多少？【解析】下面有两种方法，老师在给学生讲此题的时候可以讲法一，法二供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，因为每个人都等可能的传给其他人，所以球在甲手里的概率为，传次球后球在甲手里的概率依然为．法二：记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，那么有，．所以与的关系式为，①设，比照得．于是①式可以变形为，从而是公比为的等比数列，其首项为．故有，，②由②可得．另外还可以介绍一些概率不能直观解释的例子：比方生日悖论：世界上任取个人，他们至少有两个人生日在同一天的概率是多少？请见以下图〔转自维基百科〕由此可见，当取到个人的时候，概率已经超过了，选取人的时候，概率应该在左右．还有一个例子：乒乓球体育比赛中规定：如果双方得分是，那么一方至少要得分才能获胜，也就是至少比对方多两分．那么这种“延球”制相对于没有延球制度，到底是对强者更有利，还是帮助弱者有更大的时机翻身呢？〔【解析】延球制度对强者更有利；假设强者很强，那么再比赛一局有可能强者胜也有可能弱者胜，但是再比赛两局或者比赛无穷多局，肯定是强者赢的概率更大〕，这些其实都是通过直观解释概率比拟复杂的问题．接下来我们可以定义事件：考点5：随机事件的概率知识点睛知识点睛一．事件1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．例子：判断以下现象是否为随机现象①某路口单位时间内通过“宝马”牌轿车的车辆数；②边形的内角和为；③某同学竞选学生会主席成功；④一名篮球运发动每场比赛所得的分数．答案：⑴①③④是随机现象2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．3．事件在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母来表示随机事件，简称为事件．<教师备案>建议老师和学生强调，我们其实可以把任何一件事情看成一个事件，但是我们必须把事件说的准确．比方我们不能说抛硬币是一个事件，而“抛一次硬币出现了正面”才是一个事件，因为这样我才能定义这个事件的概率．再比方说我们不能说“掷骰子”是一个事件，我们必须说“掷一次骰子出现了偶数”是一个事件．简单的说就是我们对事件的描述必须是准确的，有结果的．<教师备案>根本领件放到古典概型里再讲，老师在讲完事件后就可以让学生做例5⑴，这道题是考查事件的．二．随机事件的概率计算1．如果事件同时发生，我们记作，简记为；2．概率的统计定义：一般地，在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．当是必然事件时，，当是不可能事件时，．3．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件和事件至少有一个发生〔即发生，或发生，或都发生〕所构成的事件，称为事件与的并〔或和〕，记作．假设，那么假设发生，那么、中至少有一个发生，事件是由事件或所包含的事件组成的集合．4．互斥事件的概率加法公式：假设、是互斥事件，有假设事件两两互斥〔彼此互斥〕，有．事件“”发生是指事件中至少有一个发生．5．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作．有．例子：抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或”，那么以下每对事件是互斥事件但不是对立事件的是〔〕A．与B．与C．与D．与答案：C<教师备案>1．因为事件的概率记为等等，这种写法和函数很相似，其实我们可以理解，概率可以认为是一个事件到一个和之间实数的映射关系．有了事件的定义之后，我们可以定义事件的交集和并集，交集指的就是同时发生，并集就是二者至少有一个发生．所谓的互斥事件就是交集为空的事件，也就是不能同时发生的事件．而互斥事件中有一类特殊的事件就是对立事件，他们不仅交集为空，还满足并集为全集．形象的说，一组对立事件就是对全部可能发生情况的一个划分．于是我们就有了互斥事件和对立事件的公式．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．<教师备案>老师在讲完互斥事件与对立事件后就可以让学生体会一下什么是互斥事件，什么是对立事件，可以做例5⑵，在学生弄清互斥与对立的关系后就可以让学生求互斥与对立事件的概率，就可以让学生做例6和备选．经典精讲经典精讲判断事件⑴指出以下事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：①在标准大气压下且温度低于时，冰融化；②今天晚上下雨；③没有水分，种子发芽；④技术充分兴旺后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；⑤买彩票中一等奖．⑵有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订一种报”，事件为“至多订一种报”，事件为“不订甲报”，事件为“一种报也不订”．判断以下每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与；⑦与；⑧与；⑨与．⑴①为不可能事件，②为随机事件，③为不可能事件，④为不可能事件，⑤为随机事件．⑵①不是互斥事件；②不是互斥事件；③是互斥事件，不是对立事件；④是互斥事件，且为对立事件；⑤不是互斥事件；⑥不是互斥事件；⑦不是互斥事件；⑧不是互斥事件；⑨不是互斥事件设和是两个随机事件，表示事件和事件都不发生的是〔〕A．B．C．D．D计算随机事件概率某射手射击一次射中环、环、环、环的概率分别为，计算这名射手射击一次：⑴射中环或环的概率；⑵至少射中环的概率；⑶至多射中环的概率．射手一次射中环、环、环、环，是彼此互斥事件，分别记为事件，⑴射中环或环表示事件与的并，故；⑵至少射中环是事件的并，故；⑶至多射中环的对立事件是至少射中环，至少射中环是事件与的并，故所求概率为．或者利用⑵来求⑶，至少射中环与至多射中环是对立事件，故至多射中环的概率是，至多射中环是三个彼此互斥事件“至多射中环”、“恰好射中环”和“恰好射中环”的并，故所求的概率为．甲、乙两人下棋，乙不输的概率是，下成和棋的概率为，分别求出甲、乙获胜的概率．记甲胜为事件，乙胜为事件，和棋为事件，故彼此为互斥事件，乙不输为，法一：甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥事件．其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“和棋”的并，从而可以求出乙胜的概率，进而可求出甲胜的概率．，，故，．即甲、乙获胜的概率分别为．法二：乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率．乙不输与甲获胜是对立事件，故，又结果只有三种：甲胜、和棋和乙胜，且两两互斥，故，即甲、乙获胜的概率分别为．66.4古典概型与几何概型考点6：古典概型知识点睛知识点睛一．古典概型1．根本领件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为根本领件．它包含所有可能发生的根本结果．所有根本领件构成的集合称为根本领件空间，常用表示．<教师备案>老师讲完根本领件后，就可以让学生做考点6的【铺垫】，让学生能够写出所有的根本领件，从而为下边要讲的古典概型公式做铺垫．根本领件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．2．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的根本领件；⑵等可能性：每个根本领件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型．3．概率的古典定义：随机事件的概率定义为．<教师备案>古典概型实际是最土的一个方法，通俗的讲就是数数，把所有的可能列出来，看我们要研究的事件占了几个．这个问题中的事件要求所有的根本领件必须是等可能的，一个比拟经典的例子就是掷两个硬币的时候，我们可能遇到的情况有正正，正反，反反三种，但是他们并不是等可能的，不能作为一组根本领件．另一方面，我们的根本领件要尽量的细一点，也就是要足够的根本．比方我们要研究掷一个骰子，我们把点数分成六种情况，那么点数就是六个根本领件，也就可以研究之前提过的，掷两次，至少有一个的概率．理论上我们也可以把掷出或，掷出或，掷出或看成一组根本领件，但是这组根本领件就非常的粗，我们要研究掷两次至少出现一个的时候就没有方法了．总的来说，古典概型的核心就是数数，需要注意的就是根本领件的选取要等可能，而且要尽可能的细．经典精讲经典精讲【铺垫】同时转动如下图的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为．①写出这个试验的根本领件空间；②求这个试验的根本领件总数；③“”这一事件包含哪几个根本领件？“且”呢？④“”这一事件包含哪几个根本领件？“”呢？①这个试验的根本领件空间为：；②根本领件的总数为；③“”包含以下个根本领件：；“且”包含以下个根本领件：．④“”包含以下个根本领件：；“”包含以下个根本领件：．古典概型一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片．⑴假设一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；⑵假设第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率．⑶〔目标班专用〕按⑵的抽取方式，抽出的两张卡片的和为偶数的概率是多少？⑴设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．其中数字之和大于的是，，所以．⑵设表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的根本结果有：，共个根本结果．事件包含的根本结果有，共个根本结果．所以所求事件的概率为．⑶．【拓展】袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码，设号码为的球的重量为〔克〕．这些球以等可能性〔不受重量，号码的影响〕从袋里取出．⑴如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．⑵如果任意取出1球，求重量不大于其号码的概率；⑶如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率．⑴设“其号码是3的倍数”为事件，那么⑵由，可解得由题意知，5，6，7，8，9，10，11，共8个值，所以所求概率为；⑶任意取出个球，一共有种情况设第号和第号的两个球的重量相等，其中，当时，可以得到，那么，，…，，共5种情况，所以所求概率为．盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求以下事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．将6只灯泡分别标号为1，2，3，4，5，6；从6只灯泡中取出2只的根本领件：、、、、、、、、、、、、、、共有15种⑴从6只灯泡中取出2只都是次品的事件只有1个，因此取到2只次品的概率为．⑵不妨设标号为1、2的为次品，故取到的2只产品中正品，次品各一只的事件有、、、、、、、共有8种，而总的根本领件共有15种，因此取到2只产品中恰有一只次品的概率为．考点7：几何概型知识点睛知识点睛几何概型事件理解为区域的某一子区域，的概率只与子区域的几何度量〔长度、面积或体积〕成正比，而与的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件的概率定义为，其中表示区域的几何度量，表示区域的几何度量．<教师备案>古典概型需要数数，但是有些问题是不能数出来的，比方打靶问题，于是人们引入了几何概型．关于几何概型的例子，我们讲义上提到了很多，在这里建议老师可以介绍一下几何概型的应用问题，比方几何概型可以用来计算．方法就是随机取点原理：在边长为的正方形内做一个内切圆，在正方形内随机取点，设共取了个点，其中有个落在了圆以内，那么当趋向于无穷的时候，就无限接近圆的面积和正方形面积的比值，通过这个原理我们就可以得到的精度很高的近似值．这种通过概率的角度来研究图形面积的方法称为蒙特卡洛方法．同样的方法可以被用于求不规那么图形面积的近似值．说是近似，其实只要“投点”的次数足够多，这个精度是可以非常高的．现代计算机计算面积的时候也是这么做的．经典精讲经典精讲几何概型⑴在区间中任意取一个数，那么它与之和大于的概率是______．【追问】大于如果改成大于等于，结果会有什么变化？⑵〔目标班专用〕小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末在家看书的概率为．⑶一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，假设蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个外表中至少有一个的距离不大于10，那么就有可能撞到玻璃上而不平安；假设始终保持与正方体玻璃容器6个外表的距离均大于10，那么飞行是平安的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是平安的概率为〔〕A．B．C．D．⑴几何概型，只能在取数，所求概率为．【追问】结果不变，．⑵〔目标班专用〕；概率为．⑶C；如下图，小正方体与大正方体的左右间隔都是10，所以小正方体的棱长为10，概率是小正方体体积与大正方体体积之比．【拓展】如图，，，，在线段上任取一点，试求：⑴为钝角三角形的概率；⑵为锐角三角形的概率．如图，由平面几何知识：当时，；当时，，．⑴当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形，记“为钝角三角形”为事件，那么，即为钝角三角形的概率为．⑵当且仅当点在线段上时，为锐角三角形，记“为锐角三角形”为事件，那么，即为锐角三角形的概率为．点评：为直角三角形的概率等于，但直角三角形是存在的，因此概率为的事件不一定是不可能事件．易混点一：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几局部，按事先确定的规那么在各局部抽取在起始局部抽样时才用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几局部组成1．某年级有个班，每个班同学按编号，为了了解班上某方面情况，要求每班编号为号的同学去开一个座谈会，这里应用的抽样方法是〔〕A．分层抽样B．系统抽样C．简单随机抽样D．抽签法B根据定义可知这种方法为系统抽样，应选B．2．某校高中部有学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，其余为高三年级学生，假设采用分层抽样从高中部所有学生中抽取一个容量为的样本，那么每个年级应该抽取多少人？高一＿＿＿，高二＿＿＿，高三＿＿＿．；；．高一：，高二：，高三：．易混点二：互斥事件与对立事件⑴不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件⑵两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件事件与互斥不一定对立；与对立一定互斥．3．判断以下给出的每对事件：⑴是否为互斥事件，⑵是否为对立事件，并说明理由从扑克牌张〔红桃、黑桃、方块、梅花点数从各张〕中任取一张．⑴“抽出红桃”与“抽出黑桃”⑵“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”⑶“抽出的牌点数为的倍数”与“抽出的牌点数大于”⑴是互斥事件，不是对立事件理由是：从张扑克牌中，任意抽取一张．“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．⑵既是互斥事件，又是对立事件理由是：从张扑克牌中，任意抽取一张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件⑶不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从张扑克牌中，任意抽取一张．“抽出的牌点数为的倍数”与“抽出的牌点数大于”这两个事件可能同时发生，如抽得，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．实战演练实战演练【演练1】⑴某学校有职工人，其中教师人，教辅行政人员人，总务后勤人员人．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为的样本．以下的抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是：〔〕方法：将人从编号，然后制作出有编号的个形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌，然后从中抽取个号签，编号与签号相同的个人被选出．方法：将人分成组，每组人，并将每组人按编号，在第一组采用抽签法抽出号，那么其余各组号也被抽到，个人被选出．A．方法，方法，方法B．方法，方法，方法C．方法，方法，方法D．方法，方法，方法⑵某单位有名老年人，名中年人，名青年人．为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了个人进行体检，其中有名老年人，那么．⑴C；⑵36；由比例可得抽取的中年职工共有12人，青年职工共有18人，于是．【演练2】某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图的频率分布直方图，那么估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于的车辆数为〔〕A． B．C． D．D不小于的频率为：．故车辆数为．【演练3】甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，那么这天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和．24；23．【演练4】在边长为的正方形内任取一点，那么点到点的距离小于的概率为．当点在阴影内部时，满足到点的距离小于，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比．【演练5】某商场为吸引顾客消费推出一项优