专题05 概率题型全归纳（8种题型）-学霸满分·2023-2024学年高二数学上学期重难点专题提优训练（人教B版2019选择性必修第二册）（解析版）

专题05概率题型全归纳（八种题型）目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】条件概率 1【题型二】乘法公式 6【题型三】全概率公式 8【题型四】贝叶斯公式 12【题型五】相互独立事件的判断 16【题型六】相互独立事件的概率乘法公式 20【题型七】相互独立事件的实际应用 23【题型八】递推法求概率 28【题型一】条件概率1．连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，则，，所以.故选：C.2．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以.故选：B3．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（

）A．这四人不同的旅游方案共有64种 B．“每个景点都有人去”的方案共有72种C． D．“四个人只去了两个景点”的概率是【答案】CD【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，故有种方案，B错误；C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B选项可知，，又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以，C正确；D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.故选：CD4．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是.【答案】/0.6【分析】设出事件，根据事件的关系得到，进而求出，再利用条件概率公式求出答案.【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件，在100米比赛中站上领奖台为事件，则，，，，则，则，故.故答案为：5．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．(1)求男生甲被选中的概率；(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）古典概型的概率求法，应用列举法求概率；（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率；（3）记“挑选的2人一男一女”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率；【详解】（1）记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)，从6名成员中挑选2名成员有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为，，，，共有5种，故．（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则，由（1）知，故．（3）由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件，则，“女生乙被选中”为事件，则，故．6．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）.()（2）事件发生的条件下，事件发生的概率，相当于同时发生的概率．()（3）.()（4）.()【答案】错误错误错误错误【分析】根据条件概率的知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】（1），而，所以，（1）错误.（2）事件发生的条件下，事件发生的概率是，同时发生的概率是，所以（2）错误（3），（3）错误.（4），，不一定相等，所以不一定相等，（4）错误.故答案为：错误；错误；错误；错误【题型二】乘法公式7．盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为.【答案】【分析】分别计算“第一次取到红球”的概率和“第一次取到绿球，第二次取到红球”的概率后相加即可.【详解】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球，则，，∴没有取到黄球的概率为.故答案为：.8．在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸个球，求：(1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；(2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；（2）根据概率乘法公式计算可得.【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，则，第一个人摸出个红球后，盒子中还有个球，其中个红球，个白球，故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率.（2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件，所以.9．一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余为正品．作不放回抽取，每次取1只，求第三次才取到正品的概率．【答案】0.0083.【分析】根据随机事件的条件概率公式及乘法公式计算即可.【详解】设，则，于是,所以，第三次才取到正品的概率为0.0083.10．若，，，则；．【答案】//【分析】根据概率乘法公式和加法公式即可求解.【详解】，.故答案为：；【题型三】全概率公式11．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.077【答案】D【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.【详解】记小明步行上班为事件，骑共享单车上班为事件，乘坐地铁上班为事件，小明上班迟到为事件，则，，，，所以，所以某天上班他迟到的概率是.故选：D.12．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】AB选项，根据题意可得到，，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确．故选：ACD．13．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%､20%､30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05､0.04､0.03和0.02.从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是多少？【答案】【分析】设“任取一件产品，抽到不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解.【详解】解：设“任取一件产品，抽到不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，其中，根据题意，可得，且，所以从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率为：.14．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响.已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.【详解】（1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.（2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件为“这道题被答对”，则，，，，，，由全概率公式可得.【题型四】贝叶斯公式15．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，则，，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.故选：C.16．小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用条件概率、全概率公式求进入了下一轮情况下答的是A题板中题目的概率.【详解】设事件表示选题板中题目，事件表示选题板中题目，事件表示进入下一轮比赛，由题意，，，，又.故选：C17．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（

）A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1【答案】C【分析】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：.故选：C.18．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.【答案】【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率.【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，记取到的芯片是次品为事件，则，，，故，则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.故答案为：19．某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为.【答案】【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解即可.【详解】设下午打篮球为事件，晚上跑步为事件，易知，，∴，∴.故答案为：20．三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）取到第批产品为事件，，取到次品为事件，由全概率公式求解；（2）由条件概率公式结合乘法公式求解.【详解】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件..（2）.【题型五】相互独立事件的判断21．甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（

）A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件B．事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件C．事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件D．事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件【答案】AC【分析】根据互斥事件及相互独立事件的概念，即可判断出选项A、B和C的正误，对于选项D，利用相互独立的概率公式即可判断出结果的正误.【详解】对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确；对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误；对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确．对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则，甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误．故选：AC.22．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（

）A． B．与互斥C．与相互独立 D．与互为对立【答案】ACD【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．【详解】设2个白球为，2个黑球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件，共4个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件，对于A，由，故A正确；对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为，，，则，故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确．故选：ACD．23．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（

）A． B． C．事件与事件相互独立 D．【答案】ABD【分析】根据古典概型的计算公式，相互独立事件的定义，结合条件概率的计算公式逐一判断即可.【详解】由题意，故A正确；，故B正确；，因为，所以事件与事件不相互独立，故C错误；，故D正确.故选：ABD.24．下列各对事件中，为相互独立事件的是（

）A．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”【答案】ABD【分析】由独立事件的概念逐项判断即可.【详解】对于A，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立的，故A正确；对于B，由于第1次摸到球有放回，因此不会对第2次摸到球的概率产生影响，因此是相互独立事件，故B正确；对于C，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；对于D，样本空间，事件，事件，事件，所以，，，即.故事件M与N相互独立，故D正确.故选：ABD.25．现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中.(1)求不透明的布袋中4种球的个数；(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，事件第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，①求证：；②判断：与是否相互独立？请说明理由.【答案】(1)标记数字1的红球有个，标记数字1的红球有个，标记数字1的白球有个，标记数字2的白球有个.(2)①证明见解析；②相互独立，理由见解析.【分析】（1）根据题意，结合分层抽样的方法，准确计算，即可求解；（2）①根据相互独立事件的概率乘法公式，分别求得和，即可得证；②根据题意，事件可分为两种情况，结合互斥事件和独立事件的概率公式，求得，再利用互斥事件和独立事件的概率公式，求得，得到，即可得到结论.【详解】（1）解：由题意得，共有个球，因为分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中，其中标记数字1的红球有个，标记数字2的红球有个，标记数字1的白球有个，标记数字2的白球有个，所以标记数字1的红球有个，标记数字1的红球有个，标记数字1的白球有个，标记数字2的白球有个.（2）解：从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，事件第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，①由相互独立事件的概率乘法公式，可得，，所以；②由相互独立事件的概率乘法公式，可得，事件可分为两种情况：第一次取到标记数字2的球，第二取到了标记数字1的球和第一次取到标记数字1的球，第二取到了标记数字1的球，且两种取法为互斥事件，所以，事件可分为：第一次取到了标记数字1的红球，第二次取到了标记数字1的球和第一次取到了标记数字2的红球，第二次取到标记数字的球，且两种取法为互斥事件，所以，因为，事件与事件相互独立.【题型六】相互独立事件的概率乘法公式26．甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．【详解】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，．故选：C．27．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】上半部分电路畅通的概率为：，下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：.故选:A．28．已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（

）

A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828【答案】A【分析】首先根据独立事件概率公式求能听到声音的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.【详解】设能听到声音为事件，则,所以听不到声音的概率.故选：A29．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为.【答案】【分析】利用相互独立事件得概率公式计算即可求解.【详解】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1，发送0接收0，发送1接收1的3个事件的积.3次发送和接收相互独立，所以所求概率为.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1这四个事件的和.所以所求概率为.故答案为：；.【题型七】相互独立事件的实际应用30．A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为．【答案】/0.25【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.【详解】设A、B比赛A获胜为事件M，A、C比赛C获胜为事件N，C、B比赛B获胜为事件Q，且M、N、Q相互独立，则，设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D，则.故答案为：.31．已知甲､乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立.设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.(1)若进行三局比赛，求“甲至少胜2局”的概率；(2)若规定多得两分的一方赢得比赛.记“甲赢得比赛”为事件，最多进行6局比赛，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）分甲胜3局和胜2局分类讨论，结合独立事件的概率乘法公式即可求解；（2）分比赛进行2局甲赢得比赛，4局甲赢得比赛，6局甲赢得比赛，三种情况考虑，结合独立事件的概率乘法公式即可求解.【详解】（1）记“甲至少胜2局”为事件，则因为互斥，所以，（2）若比赛最多进行6局，甲赢得比赛包括以下3种情况：比赛进行2局甲赢得比赛，比赛进行4局甲赢得比赛，比赛进行6局甲赢得比赛设“比赛进行局甲赢得比赛”则因为，且互斥所以32．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.

(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；(2)若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①分析第一轮比赛后所在组，再确定后续比赛的胜负情况使A获得季军，应用独立事件的乘法公式求概率即可.②分D首场笔试胜利和失败两种情况讨论，由全概率公式可得.（2）可通过分类把复杂事件分为几个容易分析的事件，再解决问题.【详解】（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为，①由题意，第一轮比赛一组，一组，要A获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或进入负者组，后续两轮先胜后败，所以A获得季军的概率为.②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败，事件：队伍D获得亚军有三种情况：，得（2）由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为，要使D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：①若A与D在决赛中相遇，分为A：1胜，3胜，D：1负4胜5胜，或A：1负4胜5胜，D：1胜，3胜，概率为；②若B与D决赛相遇，D：1胜，3胜，B：2胜3负5胜，或D：1胜，3负，5胜，B：2胜3胜，概率为，③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，概率为；所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.33．作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打个球甲赢的概率；(2)求该局打个球结束的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题知，，，∴，∴，∴该局打4个球甲赢的概率为．（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，，∴，，∴，∴该局打5个球结束的概率为．【题型八】递推法求概率34．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概