大一高数下全微分课件

大一高数下全微分课件全微分的定义全微分的基本公式和法则全微分的应用常见函数的微分微分中值定理与导数的应用习题与解答全微分的定义01全微分是指在函数定义域内某一点处，将函数在该点的值与自变量在该点的值分别进行微小变化，函数值变化量的线性部分。全微分是函数在一点处对所有自变量偏导数的加权和，权因子是偏导数与自变量变化量的乘积。全微分可以表示为：df(x,y)=Δy=f'x(x0,y0)Δx+f'y(x0,y0)Δy。全微分的概念全微分的几何意义是将函数图像在某一点处的切线斜率表示为该点处所有自变量偏导数的加权和。如果函数在某点处的全微分不为零，则该点处函数图像的切线存在且不平行于坐标轴。全微分的几何意义可以用于判断函数图像在某点处的凹凸性。全微分的几何意义对于两个函数的和或差，其全微分等于各自全微分的和或差。线性性质链式法则乘积法则高阶导数与高阶全微分对于复合函数，其全微分等于内函数全微分与外函数偏导数的乘积之和。对于两个函数的乘积，其全微分等于两个函数各自全微分的乘积加上交叉项的全微分。高阶导数可以用于计算高阶全微分，高阶全微分可以用于研究函数的更高阶的几何特性。全微分的运算性质全微分的基本公式和法则02总结词链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。详细描述链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y))得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz*dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u)，那么dz=d(f(u))/du*du=d(f(u))/du*d(g(y))/dy*dy。链式法则乘积法则总结词乘积法则用于计算两个函数的乘积的全微分。详细描述乘积法则是全微分的另一个重要法则，它指出如果z是两个函数u和v的乘积，那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果z=u*v，那么全微分dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*du+v*dv。商的法则用于计算两个函数的商的全微分。总结词商的法则是全微分的另一个重要法则，它指出如果z是两个函数u和v的商，那么dz=(u*du-v*dv)/(v^2)。具体来说，如果z=u/v，那么全微分dz=d(u/v)/du*du-d(u/v)/dv*dv=(u*du-v*dv)/(v^2)。详细描述商的法则VS参数方程表示的函数的导数公式用于计算通过参数方程定义的函数的导数。详细描述参数方程表示的函数的导数公式是全微分的一个重要应用，它指出如果函数z由参数方程x=x(t),y=y(t)定义，那么dz/dt=(dx/dt)*(dt/dx)+(dy/dt)*(dt/dy)。这个公式可以用来计算通过参数方程定义的函数的导数，是全微分在实际问题中的重要应用之一。总结词参数方程表示的函数的导数公式全微分的应用03总结词函数增量的近似值详细描述通过计算函数的全微分，可以得到函数在某点处的增量近似值，这对于理解函数的局部变化和误差估计具有重要意义。利用全微分求函数增量的近似值利用全微分求函数极值的必要条件函数极值的必要条件总结词全微分在判断函数极值问题中起到关键作用，通过全微分等于零的条件，可以找到函数极值存在的必要条件。详细描述函数的单调性通过比较函数在不同点处的全微分值，可以判断函数的单调性，这对于理解函数的整体变化趋势和解决相关问题具有指导意义。总结词详细描述利用全微分判断函数的单调性常见函数的微分04总结词：线性变化详细描述：一次函数在自变量改变时，因变量的改变量与自变量的改变量成正比，比例系数即为函数的导数。一次函数的微分总结词非线性变化要点一要点二详细描述幂函数在自变量改变时，因变量的改变量与自变量的改变量的相应次幂成正比，比例系数即为函数的导数。幂函数的微分总结词：快速变化详细描述：指数函数在自变量改变时，因变量的改变量与自变量的改变量的相应次幂成正比，比例系数即为函数的导数。指数函数的微分对数函数的微分总结词：慢速变化详细描述：对数函数在自变量改变时，因变量的改变量与自变量的改变量的相应次幂成反比，比例系数即为函数的导数。微分中值定理与导数的应用05总结词罗尔定理是微分中值定理中的基础定理，它指出如果一个函数在闭区间上连续，开区间上可导，且在区间的两端取值相等，则在开区间内至少存在一点，使得该点的导数为零。详细描述罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，它是由法国数学家罗尔提出的。这个定理在微积分中占有重要地位，是解决许多微分问题的基本工具。在应用方面，罗尔定理可以用于证明一些函数的极值定理和泰勒展开等重要结果。罗尔定理总结词拉格朗日中值定理是微分中值定理中的一个重要定理，它指出如果一个函数在闭区间上连续，开区间上可导，则在该区间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在该区间两端点处的函数值的差除以区间的长度。详细描述拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日提出的一个重要的微分定理。这个定理是微分学中的基本定理之一，它可以用于研究函数的单调性、凹凸性以及求解一些微分方程等问题。同时，拉格朗日中值定理也是泰勒展开的基础。拉格朗日中值定理柯西中值定理是微分中值定理中的一个重要定理，它指出如果两个函数在闭区间上连续，开区间上可导，且在该区间内至少存在一点，使得两个函数的导数相等，则在该区间内至少存在一点，使得该点的导数等于两个函数在该区间两端点处的函数值的商。总结词柯西中值定理是法国数学家柯西提出的一个重要的微分定理。这个定理在研究函数的单调性、凹凸性以及求解一些微分方程等问题中有广泛的应用。同时，柯西中值定理也是研究一些复杂函数的导数性质的重要工具。详细描述柯西中值定理习题与解答06求函数z=x^2+2xy在点(1,-1)的全微分。题目1已知函数z=sin(x+y)，求在点(π/4,π/6)的全微分。题目2求函数z=e^(x+y)在点(1,0)的全微分。题目3习题部分解析3解析1根据全微分的定义，函数z=x^2+2xy在点(1,-1)的全微分为dz=2x*1+2y*(-1)=2-2=0。解析2函数z=sin(x+y)在点(π/4,π/6)的全微分为dz=cos(x+y)*cos(π/4)*cos(π/6)=-√3/3。答案3dz=e^(x+y)*(e^1)*(e^0)=e^(1+0)=edz=2x(1)+2y(-1)=2-2=0答案1答案